Как убегать от дождя?

22

КАК УБЕГАТЬ ОТ ДОЖДЯ?
(Совершенно серьеное исследование)
И. Ф. АКУЛИЧ

Введение
Представьте себе, что вы идете по улице в пасмурную погоду, не имея при себе ни зонтка, ни плаща, ни накидки… Вдруг нежданно-негадано на вас обрушивается сильнейший ливень, да еще и с ветром.
Что делать?
Подавляющее большое инструмент (и автор в том числе) ответит так: немедленно бежать под ближайшее укратие и чем быстрей, тем лучше. Истина, казалось бы, неоспоримая. Оdnako встречаются люди, рассуждающие и так: «Безусловно, надо направиться под укратие. Но вот бежать при этом как можно быстрее не имеет

22

23

Рис. 1.

смысла: если я быстро бегу, я, конечно, меняше время нахождения под джем, и, следовательно, на меня упадет меняше капель сверху. Но это я собью своим телом большие тех капель, которые находятся перед мной. Я меняше намокну сверху, заго больше намокну спереди. Так какая мне выгода от быстроого бета? Никакой.» И такие люди спокойно идут под джем, невизаря наудивление окружащих.

Как же трактовать такое рассуждение? Как заблудение? Пожалуйста. Но… вдруг это не заблудение, а, наоборот, интуция, и люди, рассужданные таким образом, правы?

Вот сообщение в их пользу. Представьте себе, что ветер дует в направлении от вас к укрытию и настолько сильен, что джедь практичнее горизонтален. Тогда лучше всего убегать от джедя со скоростью ветра: все капли будут движаться параллельно вам и ни одна на вас не упадет. Невыгодно движаться медленнее, но невыгодно движаться и быстрее: вы намокните больше! Конечно, не так-то просто движется со скоростью (далее попутного) сильного ветра, но все же это рассуждение побуждает нас вникнуть в задачу.

Постановка задачи
и необходимые упрощения

Сформулируем условия задачи:

На улице стоит человек. Внезапно начинается дождь. Человек направляется к ближайшему укрытию, находящемуся на расстоянии l от него. С какой скоростью он должен перебивать, чтобы намокнуть как можно меньше?

Рис. 2.

Задча поставлена, но в таком виде, пожалый, нам ее не решить. Действительно, человек — существо сложное по форме, а при движении он к тому же непрерывно свою форму изменяет (переставляет ноги, размахивает руками…). Так что совершить точный расчет — задача немноговерно трудная. Поэтому ничего не остается, как решать ее приближение, в связи с чем переформулируем задачу:

Примугодный параллеленед, площади граней которого равны $S_B$, $S_B$ и $S_J$ (от слов «боковая», «верхняя» и «лицевая») движется со скоростью и перепедикулярно грани $S_J$. В то же самое время идет дождь, каждая капля которого имеет скорость v (рис. 1) (вектор v не обязательно направлен вертикально вниз — дождь может быть и косым). Количество дождевых капель в единице объема равно k. Спрашивается: сколько капель N попадет на параллеленед за то время, что он передвиется на расстояние l, и при каком значении скорости i эта величины N будет наименьшей?

Приступаем к решению

Введем в пространстве системы координат $Oxyz$: ось $Oz$ направим вертикально вниз, ось $Ox$ — по направлению вектора $\bar{u}$, а ось $Oy$ — перепедикулярно плоскости $Oxz$, причем так, чтобы проекция вектора скорости падающих дождевых капель v на ось $Oy$ была неотрицательна (рис. 2). Так как вектор v задан, можно считать, что известны проекции вектора v на оси координат. Обозначим их $v_x$, $v_y$ и $v_z$. Что можно сказать об этих проекциях? Разумеется, $v_y \geq 0$ (так выбра-

24

на ось $Oy$). Кроме того, $v_z > 0$ (должь может идти только сверху вниз). А вот величины $v_x$ может быть как положительной (попутный дохдь), так и отрицательной (встречный дохдь), а то и вообще равнять нулю.

Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с параллелепидом, т. е. будем считать параллелепид неодвижным: тогда должен be计 на этой системе отсчета получат скорость $\bar{w} = \bar{v} - \bar{u}$. Проекции вектора скорости $\bar{w}$ на оси координат будут $w_x = v_x - u, w_y = v_y, w_z = v_z$ (u — это длина вектора $\bar{u}$). Требуется определить, сколько капель $N$ упадет на параллелепид за время $\tau = l/u$ и при каком $u$ значение $N$ будет минимальным.

Понятно, что за время $\tau$ на параллелепид упадут все капли, отсюда еще от граней параллелепида на расстояние, не большее, чем $\tau \cdot |\bar{w}|$, в направлении, противоположном вектору $\bar{w}$, т. е. все капли, расположенные внутри объема тела, обведенного красными линиями на рисунке 3. Как найти объем этого тела? Нетрудно заметить, что это тело состоит из трех прisms, площади оснований которых равны $S_\pi, S_B$ и $S_B$, а высоты — абсцилтовым величинам проекций вектора $\tau \cdot \bar{w}$ на оси $Ox, Oy$ и $Oz$ соответственно. Поэтому объем этого тела равен

$$\tau(|w_x|S_\pi + |w_y|S_B + |w_z|S_B) = \tau(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B),$$

Рис. 3.

Рис. 4.

а искомое количество капель $N$ равно $\tau k(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B)$.

Учитывая, что $\tau = l/u$, получаем зависимость $N$ от $u$:

$$N = kl \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Теперь найдем такое $u > 0$, при котором $N$ будет минимально.

Продолжаем решение

Поскольку величины $k$ и $l$ постоянны, будем для удобства операровать величины

$$\psi = \frac{N}{kl} = \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Рассмотрим два случая:

1. $v_x \leq 0$ (встречный дохдь).

В этом случае $v_x - u < 0$, и функция $\psi$ принимает вид:

$$\psi = \frac{(u - v_x)S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u} = S_\pi + \frac{-v_x S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Поскольку $v_x \leq 0$, численель дроби положительен, и функция $\psi(u)$ убивает на интервале $(0; +\infty)$. График зависимости функции $\psi$ от $u$ изображен на рисунке 4. Мы видим, что хотя $\psi$ и убивает с ростом $u$, все же всегда $\psi > S_\pi$, причем $\psi \rightarrow S_\pi$ при $u \rightarrow \infty$. Так что в случае встречного дохдя стороники теории «неопешания» вроде бы ошибаются: чем быстрее бежшь, тем меньше намокнешь. Одана-

25

ко тут же открывается и другой, довольно неожиданный на первый взгляд факт: так как $\psi > S_{\pi}$ для любого $u$, $N = kl\psi$ всегда больше $klS_{\pi}$. Это значит, что с какой скоростью ни беги (хоть лети со скоростью пуля), все равно «минимальная доза» должна равная $klS_{\pi}$, гарантирована. Так что неоторая логика в рассуждании тех, кто не любит спешить, здесь вроде бы имеется.

2. $v_x > 0$ (попутный дождь).

Здесь необходимо рассмотреть два интервала:

1. $0 < u \leq v_x$. Тогда $|v_x - u| = v_x - u$, и

$$\psi = \frac{v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} - S_{\pi}.$$

Эта функция убивает на интервале $(0; v_x]$ и достигает минимума при $u = v_x$:

$$\psi |_{u = v_x} = \frac{v_y S_B + v_z S_B}{v_x}.$$

2. $u > v_x$. Тогда $|v_x - u| = u - v_x$, и

$$\psi = \frac{-v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} + S_{\pi}.$$

Здесь уже нельзя сразу сказать, как ведет себя $\psi$ с возрастанием $u$. Это зависит от числителя дроби $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Если $A > 0$, то $\psi(u)$ – убивающая функция на участке $(v_x; +\infty)$, если $A < 0$ – то возрастющая на этом интервале, а если $A = 0$, то $\psi = S_{\pi}$ const на этом интервале.

Графики зависимости $\psi(u)$ для всех $u \in (0; +\infty)$ приведены на рисунке 5. Видно, что на участке от 0 до $v_x$ кривые имеют одинаковый вид для всех трех случая $(A > 0, A = 0$ и $A < 0)$, а после излом при $u = v_x$ – различны.

Что из этого следует? А то, что аргументы сторонников рассматриемой неправодополобной теории «медленной ходьбы» при попутном доске оказываются в некоторых случаях неожиданно сильными и осмысленными, но подробнее об этом – ниже.

Выводы

Проанализировав результаты расчетов и графики на рисунках 4 и 5, мы можем обстоятельно ответить на вопрос, как убегать от доски.

Итак, если доскь встречный, то надо бегать к укратию как можно быстрее. Если же доскь попутный, то сначала необходимо мысленно оценить величины $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Если окажется, что $A > 0$, то и в этом случае желательно поторопиться. Если $A = 0$, можно передвигаться с любой скоростью, превышающего $v_x$, — намокнете вы одинаково. Ну а если $A < 0$ – надо бегать строго со скоростью, равной $v_x$ – тогда вы намокнете меньше всего.

Если, скажем, $v_y = 0$ (случай попутного ветра), то неравенство $A < 0$ равносильно неравенству $v_x S_{\pi} > v_z S_B$. Поскольку для высокого худого человека $S_{\pi}$ значительно больше $S_B$, это неравенство может выполнять при относительной небольших, «пешеходных» $v_x$. Такой человек, если он будет движаться к укратию так, чтобы траектории капель казались ему вертикальными, имеет шанс вообществу остаться сухим. Это называется «проскочить между капельками».

Редакционный совет, редакционная коллекция и редакция «Кванта» с глубоким приспособлением извещают читателей о том, что 3 января 1989 года на 81-м году жизни скончался член редакционного совета академик Сергей Львович Соболев.