Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

70

Вариант 2

1. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны друг другу по modulo. Найдите угол отклонения нити в крайнем положении.

2. Материальная точка движется так, что ее координаты со временем изменяются по законом: $x = a \sin \omega t, y = a \cos 2\omega t$. Найдите уравнение траектории точки и закон изменения ее модуля скорости от времени.

3. Полягая, что воздух (M=29 кг/кмоль) состоит в основном из кислорода ($M_1 = 32$ кг/кмоль) и азота ($M_2 = 28$ кг/кмоль), определяйте процентное содержание этих газов в атмосфере.

4. В U-образной трубке высота столбца воздуха в запаяном левом колене $L = 300$ мм, а избыточная высота столбца пути в открытом правом колене $h = 110$ мм (рис. 3). В правое колено должны столбко ртути, что ее уровень поднялся на $\Delta h = 40$ мм. На сколько поднялся уровень в левом колене? Атмосферное давление $p_a = 760$ мм pt. ст.

5. К источнику тока с ЭДС $\mathcal{E} = 10$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом подключена система из 4-х резисторов сопротивлением $R = 1$ Ом каждый. Как нужно соединить эти резисторы, чтобы в них выделилась максимальная мощность?

6. Предмет находится на расстоянии $L$ от экрана. Между ними расположена собственная линия с фокусным расстоянием $F$. Перемещением линии можно получить на экране как уvelienное, так и уменшенное изображение. Найдите отношение размеров изображений в общих случаях.

Публикацию подготовили А. С. Боргаковский, Г. Г. Спирин

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите неравенство
   $$\frac{1}{2x+1} - \frac{2}{3x+2} \leq \frac{4}{5x+4} - \frac{3}{4x+3}.$$

2. Бассейн можно наполнить водой с помощью 2-х насосов, если первый работает 4 минуты, а второй — 3 минуты. Время наполнения бассейна с помощью одного первого насоса на 3 минуты меньше, чем с помощью одного второго. Найдите эти времена.

3. Решите уравнение
   $(\sin 2x - \cos 2x)^2 + \sin 6x = 1.$

4. Решите уравнение
   $$x^{\log_3 x} - 1 + \log_{1/3} x = x^{3 - \log_3 x}.$$

5. В равновой трапеции лежат две касаошесяя окружности радиусами $R$, каждая из которых касается обихостов и одной из боковых сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях. Найдите стороны трапеции.

6. Решите уравнение
   $$\sqrt{x-1} + \sqrt{5-x} = x^2 - 6x + 7.$$
   Вариант 2

7. Решите уравнение
   $$\sqrt{x+4} - \sqrt{2x+1} - \sqrt{3x+1} = 0.$$

8. На предприятии работает 3 машинстики разной квалификации. Первая печатает в час на 2 страницы большие, чем вторая, у третий на печатание страницы уходит на 4 минуты большие, чем у первой и в 4/3 раза большие времени, чем у второй. Сколько страниц в час печатает первая машинстика?

9. Решите уравнение $\sin^4 x - \cos^4 x = 1.$

10. Решите уравнение
    $$10^{(6 \log_2 x)^{10}} - 13 \cdot x^{\lg x} = 1.$$

11. В треугольнике ABC стороны AC равна 26, а медианы, проведенные из вершин A и C, равны соответствующим 36 и 15. Найдите третью медиану.

12. Найдите все значения параметра $a$, для которых неравенство
    $$\sin^5 x + \cos^5 x - a(\sin x + \cos x) \geq \frac{a^2 - 11}{2} (\sin x + \cos x) \sin x \cos x$$
    выполнен при всех $x$, удовлетворяющих условию $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$.

Физика
Задачи устного экзамена

1. С какой скорость и в каком направлении должны лететь самолет, чтобы за время $t = 2$ ч проелетть точно на север путь $l = 300$ км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом $\alpha = 30^\circ$ к меридиану со скоростью $v_B = 27$ км/ч?
2. Медный шар массой $m = 20$ кг падает в воде, увлекая за собой скрепленный с ним нитью стальной шар той же массы. Определите ускорение шаров и наяжение нити. Плотность меди $q_M = 8,9 \text{ г/cm}^3$, стали $q_c = 7,8 \text{ г/cm}^3$, воды $q_B = 1 \text{ г/cm}^3$. Считать нить идеальной. Силами сопротивления воды пребывания.
3. Найдите первый космический скорость для планыеты, масса которой в 3 раза больше массы Земли. Радиус планыеты больше земного в 2 раза. Прийть первый космический скорость для Земли равной $v_I = 8$ км/с.
4. Два цилиндрических сосуда соединины у дна тонкой трубкой с краном (рис. 1). Один сосуд имеет сечение $S_1 = 15 \text{ cm}^2$ и заполнен ptrутью до высоты $h_1 = 20$ см; вторый сосуд имеет $S_2 = 5 \text{ cm}^2$ заполнен ptrутью до высоты