Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

65

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1 (механико-математический и экономический факультет)

1. На плоскости найдите точку, симметрично точке с координатами (2; 4) относительно прямой, заданной уравнением $2x+y=3$.
2. Решите уравнение
   $$\log_{x+2}\log_2\log_{x+3}(11x^2+46x+48)=0$$
3. Окружность $O_1$ радиусом $3r$ касается продолжения сторонны $AB$ угла $ABC$, ее центр лежит на стороне $BC$. Окружность $O_2$ радиусом $r$ касается сторон угла $ABC$ и окружности $O_1$. Найдите угол $ABC$.
4. Решите уравнение
   $$\arcsin\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\cos x\right)+\arccos\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\sin x\right)=\frac{\pi}{2}$$
5. В основании четырехугольной парамиды $SABCD$ лежит прямой угол $ABCD$, $AB=5$, $BC=2$. Известно, что $SB=4$, $SA=3$, $SC=x$, $SD=y$. При каких значениях $x$ и $y$ объем парамиды наибольший, чем равен этот объем?
   Вариант 2 (факультеты естественных наук и геологии-геофизических)
6. Парабола с вершиной на оси $Ox$ касается прямой, проходящей через точки $A(-1, -1)$ и $B(4, 4)$, в точке $A$. Найдите уравнение параболы.
7. Решите уравнение
   $$4\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos 2x-2\sin^2 x=\sin 2x$$
8. Около прямого треугольника $ABC$ с кастетами $AC=5$, $BC=12$, описана окружность. Точки $E$, $G$ — середины менших дуг $AC$, $BC$ этой окружности, точки $F$ — середина дуг $AB$, не содержащей точки $C$. Найдите площадь четырехугольника $AEFG$.
9. Решите уравнение
   $$\log_{x+2}\log_2\log_{x+3}(11x^2+46x+48)=0$$
10. Все ребра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $ABC$ равны 1. Призма $AKLA_2K_2L_2$ с боковыми ребрами $AA_2$, $KK_2$, $LL_2$ симметрина призме $ABCA_1B_1C_1$ относительно точки $A$. Точка $E$ принадлежит отрезку $AK$, $AE:EK=1:3$, точка $F$ принадлежит отрезку $K_2L_2$, $K_2F:FL_2=3:5$. Найдите длину отрезка, по которой прямая $EF$ пересекает призму $ABCA_1B_1C_1$.

Вариант 3 (механико-математический и экономический факультеты)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 7^{2x}+4^{2y+1}=85, \\ 7^x-4^y=5. \end{cases}$$
2. Найдите все корни уравнения
   $$\frac{\sin 2x-0,8\cos x+1}{\sin \frac{x}{2}}=5\cos \frac{x}{2},$$
   лежащие на отрезке $\left[\frac{5\pi}{6}; 2\pi\right]$.
3. В тупоугольном треугольнике $ABC$ площадью $24\sqrt{5}$ медианы $AN$, $CM$ пересекаются под углом arccos $\frac{2}{3}$. Найдите стороны треугольника, если $AN-CM=3$.
4. При каких значениях параметра $a$ уравнение
   $$ax^2+3x+2a^2-3=0$$
   имеет только целые решения?
5. В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равносторонний треугольник $ABC$ со сторонами 2, боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ равны 1. Точка $K$ — середина ребра $AB$, точка $L$ — середина ребра $B_1C_1$, точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$, точка $N$ — середина ребра $AC$. Через прямые $KL$, $MN$ проведены параллельные плоскости. Найдите объем части призмы, содержащей между этим плоскостями.

Вариант 4 (физическая факультет)

1. Решите уравнение
   $$\text{ctg}x+\frac{\text{ctg}^2x}{3}+\frac{\text{ctg}^3x}{9}+\frac{\text{ctg}^4x}{27}=0.$$
2. Решите неравенство
   $$\left(2^{x+1}-3^{x+1}\right)\sqrt{2^{2x}-2^{x+3}\cdot3^x+11\cdot3^{2x}} \geq 0.$$
3. В параллельном треугольнике $ABCD$ точки $M$ — середина стороны $AB$. Известно, что биссектриса угла $C$ делит площадь треугольника $AMD$ пополам. Найдите длину стороны $AD$, если $CD=4$.
4. Найдите все решения системы неравенств
   $$\begin{cases} x^2-6x+6y \leq 0, \\ y^2-2xy+9 \leq 0. \end{cases}$$
5. В основании четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ со сторонами 5 и диагональю $AC=8$. Шаркается ребер $AA_1$, $BB_1$, $DD_1$ и касается плоскости $ABCD$ в точке $C$. Найдите радиус шара.

Вариант 5 (физические естественные наук и геологии-геофизических)

1. Решите уравнение
   $$\lg \frac{4x^2+1}{2-x}+\lg \frac{2-x}{11x+4}=0.$$
2. Найдите все корни уравнения
   $$\frac{\sin 2x-0,8\cos x+1}{\sin \frac{x}{2}}=5\cos \frac{x}{2},$$