[О решении уравнения a^2 + b^2 = c^2 в целых числах]

55

В журнале «Квант» (1975, № 12, с. 73) опубликовано другое, более сложное, решение этой задачи.

Способ решения, основанный на применении композиции преобразования, можно использовать для составления и решения аналогичных задачи. Решая более общую задачу, чем рассмотренная, получим следующий результат:

Если на сторонах произвольного треугольника ABC построены треугольники ABM, BCN, ACP и при этом выполены следующие условия:
a) треугольники BCN и ACP подобыны и ориентированы противоположно;
b) треугольник ABM равендренный с основанием AB (или М — середина стороны AB); сумма ориентированных углов BMA, APC и CNB (или AMB, BNC и CPA) равна 360°, то $\angle PMN = 2\angle PAC$ и PM=MN.

Еще одну аналогичную задачу, в котором треугольники, построенные на сторонах данного треугольника, не являются подобными, читатель найдет ниже (упражнение 4).

Упражнения
4. На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены треугольники ABM, BCN и CAP такие, что $\angle BAM = \angle CAP = 15^\circ$, $\angle ABM = \angle CBN = 30^\circ$ и $\angle ACP = \angle BCN = 45^\circ$. Найдите углы треугольника MNP.
5. На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены равносторонние треугольники ABM, BCN и ACK. Докажите, что

Из уравнения $a^2 + b^2 = c^2$ следует, что числа $a+b$ и $c$ имеют одинаковую четность и $a+b>c$. Положим $a+b-c=2n$ и введем переменные: $x = a-2n$, $y = b-2n$. Тогда $a=x+2n$, $b=y+2n$, $c=x+y+2n$ и исходное уравнение можно записать так: $xy=2n^2$. Следовательно, все решения уравнения $a^2+b^2=c^2$ можно получить следующим образом: для каждой натурального $n$ разложить число $2n^2$ на два множителя $x$ и $y$ и положить затем $a=x+2n$, $b=y+2n$, $c=x+y+2n$. Например, пифагорова тройка (5, 12, 13) отвечает значением $n=2$, $x=1$, $y=8$.