Một kết quả xuất sắc. Bài toán thứ mười của Hilbert đã được giải!

14

Đã giải quyết bài toán thứ mười của Hilbert!

Số «Kvant» này đã được chuẩn bị để in thì giới toán học đã xôn xao trước một thành tựu xuất sắc của nền toán học Xô viết và, có lẽ, của cả thế giới (!): nghiên cứu sinh hai mươi tuổi Yuri Matiyasevich, vừa tốt nghiệp Đại học Leningrad, đã chứng minh tính không giải được bằng thuật toán của bài toán thứ 10 của Hilbert.

Y. Matiyasevich tuy còn trẻ về tuổi đời nhưng trong toán học hoàn toàn không phải người mới. Ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường, sau khi trở thành người đoạt giải Olympic Toán học quốc tế, rồi trong những năm sinh viên, ông đã thu được nhiều kết quả quan trọng và thú vị trong logic toán học. Ngay năm sau, 1968, ông công bố ba công trình, về thực chất đã mở đầu cho «cuộc tấn công» vào bài toán thứ 10 của Hilbert. Và đây là kết quả mà theo đúng nghĩa đen ngày mai sẽ đi vào sách giáo khoa. Nhân tiện, trong tuyển tập «Các bài toán của Hilbert» do Nhà xuất bản «Nuka» xuất bản mới năm ngoái có một bài viết dành cho bài toán thứ 10, trong đó thậm chí không nhắc đến việc bài toán thứ mười của Hilbert là không giải được bằng thuật toán.

Điều đáng chú ý là Yuri Matiyasevich không chuyên về lý thuyết số, lĩnh vực mà dường như vấn đề giải được các phương trình Diophantine thuộc về, mà chuyên về logic toán học. Ông là học trò của N. A. Shain và S. Yu. Maslov — đại diện của «trường phái Leningrad» về logic toán học và lý thuyết thuật toán, theo đuổi khuynh hướng kiến tạo trong logic và toán học, do ủy viên thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. A. Markov đứng đầu.

«Tiểu sử» của bài toán như sau.

Năm 1900, tại Đại hội Toán học Thế giới ở Paris, một trong những nhà toán học lớn nhất thế giới, David Hilbert, đã nêu ra hai mươi bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau của toán học mà theo ông, việc giải quyết chúng có ý nghĩa đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển tiếp theo của khoa học này *). Kể từ đó, sự chú ý của các nhà toán học trên toàn thế giới luôn tập trung vào những «bài toán Hilbert» này. Một số đã được giải quyết, một số vẫn kiên quyết không chịu khuất phục.

Bài toán số 10 được phát biểu như sau: «Cho một phương trình với số lượng ẩn tùy ý và các hệ số nguyên hữu tỉ (tức là phương trình dạng $P(x_1, \dots, x_n) = 0$, trong đó $P$ là đa thức bậc tùy ý với các hệ số nguyên theo các ẩn $x_1, \dots, x_n$); yêu cầu chỉ ra một phương pháp mà bằng một số hữu hạn phép toán có thể biết được phương trình có nghiệm nguyên hay không (tức là có tồn tại một bộ số nguyên $x_1^0, \dots, x_n^0$ sao cho $P(x_1^0, \dots, x_n^0) = 0$)».

*) Xem D. Hilbert, «Các bài toán toán học». Nuka, 1969.

Mặc dù cách phát biểu bài toán thứ mười đơn giản và sơ cấp, «phương pháp» cần tìm (hay như toán học hiện đại gọi là, thuật toán) vẫn không thể tìm ra, điều này dĩ nhiên dẫn đến ý nghĩ rằng nó đơn giản là không tồn tại. Sau khi vào những năm ba mươi người ta có được định nghĩa toán học chính xác về khái niệm thuật toán, việc tìm kiếm một lời giải phủ định cho bài toán thứ 10 đã trở nên khả thi.

Chúc mừng Y. Matiyasevich và người thầy của ông về đóng góp xuất sắc cho khoa học, ban biên tập «Kvant» dự định trong thời gian tới sẽ kể chi tiết hơn về kết quả nổi bật này.