Trường toán buổi tối

61

Trường toán buổi tối trực thuộc khoa Cơ học-Toán học của Đại học Tổng hợp Quốc gia Moskva (VMSh) đã hoạt động năm thứ bảy. Mục tiêu chính của trường là góp phần phát triển toán học cho học sinh, mở rộng hiểu biết toán học của các em. VMSh tiếp tục truyền thống của các câu lạc bộ toán học hoạt động tại Đại học Moskva đã hơn ba mươi năm, và về thực chất, bản thân nó là một câu lạc bộ toán học tự do, thu hút hơn 800 học sinh. Việc vào học tất cả các buổi của VMSh là tự do, học sinh có thể tham gia trong suốt cả năm.

Mỗi tuần một lần, học sinh các lớp 6—9 tập hợp trong 26 nhóm của VMSh. Các nghiên cứu sinh và sinh viên khoa Cơ học-Toán học của trường đại học, sinh viên Viện Sư phạm Moskva mang tên V. I. Lenin, Viện Thép và các trường đại học khác hướng dẫn các nhóm. Ngoài việc giải các bài toán thú vị, trong các buổi học còn phân tích nhiều vấn đề toán học vượt ra ngoài khuôn khổ chương trình trung học. Các buổi học thường được tổ chức dưới dạng trò chơi. Đây là một ví dụ. Người hướng dẫn kể: “Một chàng cao bồi bước vào quán bar và xin nước. Thay vì trả lời, chủ quán rút súng lục ra và bắn lên trần nhà. Chàng cao bồi cảm ơn rồi đi ra. Chuyện gì đã xảy ra? Các bạn thiếu dữ kiện ư? Được thôi, tôi sẵn sàng trả lời thành thật một số câu hỏi của các bạn liên quan đến trường hợp này. Nhưng lưu ý rằng các câu hỏi phải bắt đầu bằng những từ: “Có đúng là…” Còn tôi chỉ trả lời “có” hoặc “không”. Sau hai mươi phút hỏi han và dò xét, một ai đó chợt hiểu ra: “Một cái xương mắc trong cổ họng chàng cao bồi và vì sợ mà bật ra!!!”

Mỗi tuần, các nhà khoa học hàng đầu Moskva đọc cho học sinh lớp 8—9 các bài giảng về những vấn đề của toán học hiện đại.

Một hình thức hoạt động của VMSh là “olympiad tại nhà”. Mỗi tuần các em nhận đề của 4—5 bài toán, được cho hai tuần để giải. Các lời giải viết được nộp cho ban hướng dẫn nhóm để chấm. Cuối một chu kỳ gồm 20 bài toán, ban giám khảo được chọn từ các hướng dẫn viên của nhóm tổng kết cuộc thi. Trong các buổi kiểm tra được tiến hành (có cho điểm!), tất cả các em phải thể hiện sự hiểu biết về các phương pháp giải những bài toán thi.

Các buổi học ở VMSh có ảnh hưởng tốt đến việc học của học sinh. Chẳng hạn, cả hai người Moskva tham gia đội tuyển Liên Xô tại olympiad toán học quốc tế năm 1969 đều là học sinh VMSh. Nhiều sinh viên hiện nay của khoa Cơ học-Toán học và khoa Vật lý Đại học Moskva, của Viện Vật lý-Kỹ thuật, trước đây từng học ở VMSh. Trong số các học sinh cũ của VMSh có sinh viên hóa học, sinh học, kinh tế học, tâm lý học…

Kết thúc, chúng tôi đưa ra một số bài toán thi của Trường toán buổi tối dành cho lớp 8—9. Phần lớn trong số đó cũng phù hợp với học sinh lớp 6—7.

Bài toán

1. Có 7 đồng xu giống hệt nhau về hình thức, nhưng trong đó có 5 đồng xu thật và 2 đồng giả. Mỗi đồng xu thật nặng 10 g, còn mỗi đồng giả nặng 9,8 g. Cần thực hiện ít nhất bao nhiêu lần cân bằng cân đĩa không có quả cân để chắc chắn xác định được các đồng xu giả?

2. Sasha vẽ hình bình hành ABCD, đánh dấu điểm M — trung điểm của cạnh BC, điểm N — trung điểm của cạnh CD rồi đi chơi. Lila tinh quái đến gần bản vẽ và xóa tất cả, trừ các điểm A, M, N. Hãy giúp Sasha khôi phục bản vẽ, tức là tìm các điểm B, C và D.

3. Trong phòng có 10 người, chó và ruồi. Mỗi người có 2 chân, mỗi con chó có 4 chân, mỗi con ruồi có 6 chân. Tổng cộng trong phòng có 46 chân. Điều này có thể xảy ra như thế nào (Hãy tìm mọi khả năng.).

4. Cũng tìm hai số tự nhiên mà tổng các bình phương của chúng bằng 16 000. (Hãy chỉ ra tất cả các nghiệm.).

5. Ở nước Rezolventa có một mạng lưới thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường sắt trực tiếp, sao cho từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố khác nào cũng có thể đi theo đường thẳng, không đi qua các thành phố còn lại. Hãy vẽ sơ đồ mạng đường sắt của nước này sao cho có ít giao điểm đường nhất. (Tại một chỗ không được có quá hai đường giao nhau.).

6. Cho các điểm A và B trên mặt phẳng. Tìm quỹ tích các điểm C trên mặt phẳng sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn.

7. Chứng minh rằng không có lũy thừa nào của số 2 kết thúc bằng bốn chữ số giống nhau. Tìm một lũy thừa của số 2 kết thúc bằng ba chữ số giống nhau.

8. Rồng Gorưnych có 2000 cái đầu. Một phú ông trong truyện cổ tích có thể chặt bằng một nhát kiếm 33, 21, 17 hoặc 1 cái đầu của nó, nhưng đồng thời Rồng sẽ mọc thay thế tương ứng 48, 0, 14, 349 cái đầu. Nếu tất cả các đầu đều bị chặt thì đầu mới không mọc lại. Phú ông có thể giết Rồng không?

A. A. Orlov, A. L. Rozenal

64

2. $A = \frac{e^2}{d} \approx 14$.

Năng lượng toàn phần của electron trong nguyên tử bằng

$$W = E_{\text{động}} + E_{\text{thế}} = \frac{mv^2}{2} - \frac{2e^2}{d} = \frac{e^2}{d} - \frac{2e^2}{d} = -\frac{e^2}{d}.$$

3. $T_1 = \frac{T_0}{\left(1 - \frac{P}{p_0 S}\right)\left(1 - \frac{P}{\rho g l S}\right)}$.

4. $a = \frac{mg}{m + H^2 l^2 C}$.

Suất điện động cảm ứng sinh ra trong thanh là $E = Hlv$. Điện tích của tụ điện là $Q = EC = CHlv$, vì vậy dòng điện trong mạch là $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = HlCa$ ($a$ — gia tốc của thanh). Từ trường tác dụng lên dòng điện này một lực $F = IHl = H^2 l^2 aC$. Bây giờ cần viết phương trình chuyển động của thanh $mg - F = ma$ và giải nó theo $a$.

Về ba câu hỏi vật lí

1. Dễ nhất là dùng nhiệt lượng kế.
2. Trong hệ tọa độ gắn với bảng, vào lúc viên phấn chạm bảng, nó có vận tốc $v_1 = u + (-v)$. Vì lực ma sát tác dụng lên viên phấn và lên bảng hướng dọc theo vectơ $v_1$, nên nó không thể làm thay đổi hướng vận tốc của viên phấn đối với bảng. Khi chuyển động, chỉ có độ lớn của vận tốc tương đối thay đổi. Điều đó có nghĩa là vết phấn trên bảng là một đường thẳng, tạo với hướng chuyển động của bảng một góc $\alpha$ sao cho

$$tg \alpha = \frac{u}{v}.$$

3. Điện trở của bóng đèn pin nhỏ — vài ôm. Điện trở của cả dây đèn — vài trăm ôm. Điện trở của ngón tay — vài nghìn ôm. Khi mắc nối tiếp, độ giảm điện áp trên các đoạn mạch tỉ lệ với điện trở của các đoạn; vì vậy trên ngón tay, nếu đưa nó vào đui đèn, sẽ có hầu như toàn bộ điện áp mạng.

Về câu hỏi «4, 5 và 6»
Có thể. Xem hình vẽ.

1. Ba lần cân. Cần không chỉ chỉ ra phải cân các đồng xu theo thứ tự nào để chỉ dùng ba lần cân, mà còn chứng minh rằng hai lần cân là không đủ.

2. Có thể dùng tính chất rằng trung điểm của đoạn $MN$ nằm trên đường chéo $AC$ và chia nó theo tỉ số 3:1.

3. Ba nghiệm (không kể một nghiệm “suy biến”, khi số người bằng 0).

4. Bốn nghiệm. Hãy xét số $x^2 + y^2$ cho những số dư nào khi chia cho 4 tùy theo bốn khả năng của $x$ và $y$.

5. Chín điểm giao nhau.

6. Xem hình:

7. Chẳng hạn, $2^{39}$ kết thúc bằng ba chữ số tám.

8. Không. Mỗi lần số mặt ngửa thay đổi một lượng chia hết cho 3.