Вечерняя математическая школа

61

Вечерняя математическая школа при механико-математическом факультете Московского государственного университета (ВМШ) работает уже седьмой год. Основная ее цель — способствовать математическому развитию школьников, расширить их математический кругозор. ВМШ продолжает традиции математических кружков, работающих при Московском университете вот уже более тридцатилетки лет, и, по существу, сама является свободным математическим кружком, охватывающим более 800 школьников. Вход на все занятия ВМШ свободный, включиться в работу школьного в течение всего года.

Раз в неделью в 26 группах ВМШ собираются ученики 6—9-х классов. Проводят занятия в группах аспираты и студенты механико-математического факультета университета, студенты Московского педагогического института им. В. И. Ленина, Института стали и другихузов. Кроме решения интересных задач, на занятиях разбияются различные вопросы математики, выходящие за рамки программы средней школы. Занятия зачастую проводятся в виде игры. Bot пример. Руководитель рассказывает: «Ковбой вощел в бар и попросил воды. Вместо ответа хозяйили выхватил колгот и выстрелл в потолок. Ковбой поблагодарил и вышел. В чем дело? Вам не хватает данных? Ну, что же, я готов правдивно ответить на некоторые ваш вопросы, относится к этому случае. Только учтите, вопросы должны начинаться словами: «Верно ли, что…» А я будут ответить только «да» или «нет». После двадцатиминутных расспросов и выпытываний кого-то осеняет: «У ковбой в горле застряла кость и от испуга выскочила!!!»

Ученикам 8—9-х классов каждую недельу ведущее учение Московы читают лекции по проблемам современной математики.

Одной из форм работы ВМШ является «домашняя олимпида». Каждую неделью ребятам разделют условия 4—5 задач, на решение которых дается две недели. Решения в письменном виде сделятся руководством группы на проверку. В конце цикла, состоящего из 20 задач, жюри, выбранное из руководителей группы, подводит итоги конкурса. На проведимых зачетах (с отметкой!) все ребята должны проявить понимание методов решения конкурсных задач.

Занятия в ВМШ хорошо сказывают на учебе школьников. Так, оба Москвы, принимающие в составе советской команды участке в международной математической олимпиде 1969 года,— были ученики ВМШ. Многие нынешние студенты механита и физика МГУ, физико-технического института когда-то учились в ВМШ. Есть среди бышших учеников ВМШ студенты — химики, биологии, экономисты, психологи…

В заключение приводим некоторые из конкурсных задач Вечерней математической шкoles для 8—9-х классов. Большинство из них доступно и ученикам 6—7-х классов.

Задачи

1. Имеется 7 одинаковых по виду монет, но среди них 5 монет настоящие, а 2 фальшивые. Настоящие монеты весят по 10 е, а фальшивые — по 9,8 е. Какое наименьшее число взвешивания на чашечных весах без гриbs надо сделать, чтобы наверняка определять фальшивые монеты?

2. Саша нарисовал параллелограмм ABCD, отметил точку M — середину стороны BC, точку N — середину стороны CD и пошел гулять. Вредная Лила подоблась к чертежу и стерла все, кроме точек A, M, N. Помогите Саша восстановить чертеж, то есть найти точки B, C и D.

3. В комнате 10 человек, собак и мух. У каждой человека 2 ноги, у собаки — 4 и у муки — 6 ног. У всех в комнате 46 ног. Как это может быть (Найти все возможности.).

4. Найти также два натуральных числа, сумма квадратов которых равна 16 000. (Укажите все решения.).

5. В стране Резольвента сеть городов. Между любыми двумя из них имеется прямое железнодорожное сообщение, так что из любого города в любой другой можно попасть по прямолинейному пути, не проезжая остальные города. Нарисуйте такую схему железнодорожного сообщения этой страны, чтобы на ней было как можно меньше пересечений дорог. (В одном месте может пересечаться не больше двух дорог.).

6. Данны точки A и B на плоскости. Найти геометрическое место точек C на плоскости таких, что треугольник ABC — остроугольный.

7. Доказать, что никакая степень числа 2 не окачивается четрьями одинаковыми цифрами. Найти степень числа 2, окачивающегошую треугольнику одинаковыми цифрами.

8. У Змея Горьныча 2000 голов. Сказочный богатый может срить ему одним ударом меша 33, 21, 17 или 1 голову, но при этом у Змея вырадает взамен соответствующего 48, 0, 14, 349 голов. Если отрублены все головы, то новых голов не отрастает. Сможет ли богатый одоблить Змея?

А. А. Орлов, А. Л. Розеналь

64

2. $A = \frac{e^2}{d} \approx 14$.

Полная энергия электрона в атоме равна

$$W = E_{\text{киин}} + E_{\text{пот}} = \frac{mv^2}{2} - \frac{2e^2}{d} = \frac{e^2}{d} - \frac{2e^2}{d} = -\frac{e^2}{d}.$$

3. $T_1 = \frac{T_0}{\left(1 - \frac{P}{p_0 S}\right)\left(1 - \frac{P}{\rho g l S}\right)}$.

4. $a = \frac{mg}{m + H^2 l^2 C}$.

Э. д. с. индукции, возникающая в стержне, $E = Hlv$. Заряд конденсатора $Q = EC = CHlv$, поэтому ток в цепи $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = HlCa$ ($a$ — ускорение стержня). Магнитное поле действует на этот ток с силой $F = IHl = H^2 l^2 aC$. Теперь нужно записать уравнение движения стержня $mg - F = ma$ и решить его относительно $a$.

К trem во росам по физике

1. Проше всего с помощью калорметра.
2. В системе координат, связанной с dockой, в момент попадания мела на dockу он имеет скорость $v_1 = u + (-v)$. Так как сила трения, действующая на мел и на dockу, направлена вдоль вектора $v_1$, то она не может изменить направление скорости мела относительно dockи. При движении меняется только величины относительной скорости. Это означает, что следела на dockе — прямая линия, составляющая с направлением движения dockи угол $\alpha$ такой, что

$$tg \alpha = \frac{u}{v}.$$

3. Сопротивление лампочки от карманного фонаря мал — несколько от. Сопротивление всей гирлянды — несколько сотен от. Сопротивление пальца — несколько тысяч от. При последовательном соедининии padения направлений на участках цепи пропорциональны сопротивлениям участков; поэтому на пальце, если его сунуть в патрон, придется практически все направление сети.

К вопросу «4, 5 и 6»
Можно. См. рисунок.

1. Три взвешивания. Нужно не только показать, в каком порядке следует взвешивать монеты, чтобы обойти треяние взвешиваниями, но и доказать, что двух взвешивания недостаточно.

2. Можно воспользоваться тем, что середина отрезка $MN$ лежит на диагонали $AC$ и делит ее в отношении 3:1.

3. Три решения (не считая одного «вырожденного», когда число людей равно 0).

4. Четыре решения. Разберите, какие остатки при делении на 4 дает число $x^2 + y^2$ в зависимости от четырех $x$ и $y$.

5. Девять точек пересечения.

6. См. рисунок:

7. Наример, $2^{39}$ оканчивается треями восеммерками.

8. Нет. Каждый раз число голов меняется на число, кратное 3.