Паркеты из правильных многоугольников

25

Например, на рис. 2, 6, повернуть всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, квадратов и треугольников, на 60° векруг центра одного из шестиугольников, мы получим ту же самую сетку вершин и сторон. Центр каждого шестиугольника этого паркета является «центром симметрины шестого порядка»*).

Заддача 1. Найдите все центры симметрины 4-го, 3-го и 2-го порядка паркета, изображенного на рис. 2, а.

ЧТО ТАКОЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ПАРКЕТ
Сточки зреня симметрины наше определение паркета не сликом удално. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв общий паркет из шестиугольников (рис. 1, в), можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь «паркет» в смысле нашего определения. Но можно доказать (попробуйте!), что, подразделив, например, три шестиугольника, как показано на рисунке 3, и оставив все остальные не подразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрию. Чтобы установить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы ведем такое определение:

Паркет называется правильным, если его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую заданную его вершину.

Заддача 2. Докажите, что паркеты, представленные на рисунках 1 и 2, правильны и построите самостояльно возможное больше правильных паркетов.

*) Точка O называется центром симметрины n-го порядка некоторой фигуры, если при повороте этой фигуры векруг O на $\frac{360^\circ}{n}$ она наложится на саму себя.

26

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА

Оказывается, что все разнообразие правильных паркетов можно описать. Если длина $h$ стороны многоугольников паркета задана, то существует molько конечное число различных (не накладывающих друже на друже) правильных паркетов. Сколько именно, я не хочу вам говорить.

Перечислить их все и тем самым ответить на вопрос об их числе — это и есть основная задача, которую вам предстоит решить.

НЕКОТОРЫЕ УКАЗАНИЯ

Решение задачи естественного начасть с использования устройства вершин паркета. Правильный $n$-угольник имеет $n$ внешних углов (рис. 4), сумма которых равна четырем прямым углам (убедитесь в этом сами). Поэтому каждый угол правильного $n$-угольника равен

$$\alpha_n = 2d - \frac{4d}{n} = 2\left(1 - \frac{2}{n}\right)d.$$

В вершине паркета должны сходиться многоугольники с суммой углов, равной 4d. Так,

$$\alpha_3 = \frac{2}{3}d, \alpha_4 = d, \alpha_6 = \frac{4}{3}d, \alpha_8 = \frac{3}{2}d$$

и для паркетов, изображенных на рис. 1 и 2, имеем:

$$4\alpha_4 = 4d,$$

$$6\alpha_3 = 4d,$$

$$3\alpha_6 = 4d,$$

$$\alpha_4 + 2\alpha_8 = 4d,$$

$$\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6 = 4d.$$

В общем же случае, обозначая через $m_n$ число приложений к вершине $n$-угольников, мы должны получить

$$\sum m_i\alpha_i = 4d,$$

(1)

где в сумму мы включаем слагаемые с теми номерами $i$, для которых $m_i > 0$, а $\alpha_i = 2\left(1 - \frac{2}{i}\right)d$.

Первая наша задача состоит в том, чтобы найти все решения уравнения (1) с целыми $m_i > 0$. Уравнение (1), сокращая на 2d, удобно записать в виде

$$\sum m_i\left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Для каждого решения уравнения (2) надо использовать соответствующее