Выдающийся результат. Десятая проблема Гильберта решена!

14

Десятая проблема Гильберта решения!

Этот номер «Кванта» уже подписывается в печать, когда математический мир облеглела все о выдащемся достинения советской и, пожалуй, мировой (!) математики: недавний выпускник Ленинградского университета двадцатилетний аспиран Юрий Матиясевич доказал алгоритмческую неразрешимость знаментий десятий проблемы Гильберта.

Ю. Матиясевич хотя и молод по возрасту, но в математике отноудь не новичок. Еще на школьной скамбе, став победителем международной математической olимппады, он затем в студенческе годы получил веса важные и интересные результаты в математической логике. Уже в следующем, 1968 году, им опубликованы три работы, в которых, по сути, началась «атака» 10-й проблемы Гильберта. И вот—результат, который уже буквально завтра войдет в учебники. Кстати, в вышедшем лишь в прошлом году в издательстве «Нука» сборнике «Проблемы Гильберта» есть статья, посвященная 10-й проблеме, в котором даже не упоминается, что десятая проблема Гильберта алгоритмческую неразрешима.

Любопытно, что Юрий Матиясевич специализит не по теории чисел, к «ведомству» которого, казалось бы, относится проблема разрешимости диофантовых уравнений, а по математической логике. Он ученик Н. А. Шаина и С. Ю. Маслова—представитель «Ленинградской школи» математической логики и теории алгоритмов, придерживающихся так называемого конструктивного направления в логике и математике, возглавляемого членом-корреспондентом Академии наук СССР А. А. Марковым.

«Биография» проблемы такова.

В 1900 году на Всемирном конгрессе математков в Париже один из крупнейших математков мира Давид Гильберт выделил двадцатилетный проблеми из различных областей математики, решения которых представило бы, по его мнению, особую важность для дальнейшего развития этой науки *). К этим «проблемам Гильберта» с тех пор неизменно приковано внимание математков всего мира. Часть их уже решена, часть упорно не поддается решению.

Проблема № 10 формулируется следующим образом: «Пусть задано уравнение с произвольным числом

*) См. Д. Гильберт, «Matематические проблемы». Нука, 1969.

неизвестных и целыми разиональными коэффициентами (т. е. уравнение вида $P(x_1, \dots, x_n) = 0$, где $P$—многочлен произвольной степени с целыми коэффициентами от неизвестных $x_1, \dots, x_n$); требуется указыть способ, по которой с помощью конечного числа операции можно было бы узнать, разрешимо уравнение в целых числах или нет (т. е. существует ли такой набор целых чисел $x_1^0, \dots, x_n^0$, что $P(x_1^0, \dots, x_n^0) = 0$)».

Несмотря на простоту и элементарность формулировки десятиой проблемы, искомый «способ» (или, как говоря в современной математике, алгоритм никак не удалалось найти, что, естественно, наводило на мысль о том, что его просто-напросто не существует. После того, как в тридцатых годах нашей степени популяло точно математическое определение, стало возможным говорить о поисках такого отрицательного решения 10-й проблемы.

Поздравляя Ю. Матиясевич и его учитель с заменательным вкладом в науку, редакция «Кванта» предподает в ближайшее время подробнее расссказать об этом выдающемся результаты.