Кое-что о радикалах

53

КОЕ-ЧТО О РАДИКАЛAX

А. Г. МОРДКОВИЧ

— А теперь, — сказал Экзаменатор, — я хочу предложить вам еще одну задачу, весма несложную. Вот она:

Найти стороны прямоугольного треугольника, если известно, что проекция одного камета на синоменду равна 6 см, а проекция другого камета на 1,5 см меньше длины этого камета.

… Через несколько минут Абитуриент вдвоем к Экзаменатору.
— Ну, как, решили задачу? — спросил Экзаменатор.
— Да! — ответил Абитуриент.
— И что же получилось?
— Задача не имеет решения.
— И вы можете это доказать?

— Конечно! Рассмотрим треугольник ABC (см. рисунок); C — верхина прямого угла, CH — высота. Пусть AC = x, тогда по условию AH = = x—1,5, а BH = 6.

54

Используем известное соотношение
$$CH^2 = BH \cdot AH$$ или $$CH^2 = 6(x - 1,5).$$

Приименив к прямогольному треугольнику $ACH$ теорему Пифагора, получим

$$\sqrt{AC^2 - CH^2} = AH,$$

то есть

$$\sqrt{x^2 - 6(x - 1,5)} = x - 1,5.$$

— Ну, что же, пока все верно, — заметил Экзаменатор, — хотя должны сказать, что путь решения выбран не самый рациональный.

— А далее, — продолжал Абитуриент, — осталось простые вычисления:

$$\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 1,5; \quad \sqrt{(x - 3)^2} = x - 1,5;$$

$$x - 3 = x - 1,5; \quad -3 = -1,5.$$

Так как последнее равенство неверно, то задача не имеет решения.

— К сожалению, я должен Вас разочаровать, — сказал Экзаменатор, — задача имеет решение. Ее можно решить, например, так: из известного соотношения $AC^2 = AB \cdot AH$ имеем $x^2 = (x + 4,5) (x - 1,5), 3x = 4,5 \cdot 1,5$ и $x = 2,25$, то есть $AC = 2,25$ см. Тогда $AB = 6,75$ см, а $BC = 4\sqrt{2}$ см.

И, перехватив недоуменный взгляд Абитуриента, Экзаменатор добавил:

— Вас, видимо, интересует, где ошибка в Ваших рассужdenях. Ну, что же, давайте разберемся.

ГДЕ ОШИБКА?

— Вы помните,— начал Экзаменатор,— что я, хотя и с оговоркой, одобрил Ваши геометрические рассуждания. Значит, ошибка могла произойти только в том, что вы назвали «простыми вычислениями». А точнее, ошибка допущена при извлечении квадратного корня. Вы не учили, что, по смыслу задачи, величана $\sqrt{(x - 3)^2}$ должна быть положительной. Да и вообще, в области действительных чисел, знак $\sqrt{}$ подразумевает арифметическое, неотрицательное значение корня. Так, $\sqrt{16} = 4$, и нельзя писать, что $\sqrt{16} = -4$ или $\sqrt{16} = \pm 4$. Поэтому нельзя утверждать, что всегда $\sqrt{a^2} = a$: при $a \geq 0$ это равенство справедливо, но ведь число $a$ может быть и отрицательным! Упростите, например, $\sqrt{(-3)^2}$:

Абитуриент написал:

$$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3.$$

— Правильно. Иными словами,

$$\sqrt{(-3)^2} = -(-3).$$

И вообще, если $a < 0$, то $\sqrt{a^2} = -a$.

Таким образом,

$$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

— Я понял,— воскликнул Абитуриент,— это можно коротко записать так: $\sqrt{a^2} = |a|$, ведь модель $a$ определяется точно так же:

$$|a| = \begin{cases} a, если a \geq 0, \\ -a, если a < 0. \end{cases}$$

— Совершенно верно. Точно так же и в вашей задаче: нельзя писать

55

$$\sqrt{(x-3)^2} = (x-3), \text{ потому что } (x-3) \text{ может быть и отрицательным числом.} \text{Если воспользоваться тем, что } \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|, \text{ то приdem к управлению } |x-3| = x-1, 5.$$

Далее следует рассмотреть два случая: 1) $x-3 \geq 0$; 2) $x-3 < 0$. Вы рассмотрели только первый случай, поэтому вывод о том, что задача не имеет решения, был сделан преждевременно. Во втором случае $|x-3| = -(x-3)$. Тогда из уравнения $-(x-3) = x-1, 5$ получаем $x = 2, 25$, то есть $AC = 2, 25$ см.

Все ясно, — сказал Абитурент.
В таком случае нашу беседу будем считать законченной. На прошание позволью себе дать вам следующий совет:

Не забывайте, что $\sqrt{a^2} = |a|!$

На этом мы рассмотемся с Абитурентом и Экзаменатором, но совет Экзаменатора примем к сведению. В частности, примем его при решении следующого примера.

Пример 1. Упростить выражение

$$\sqrt{\frac{a+x^2}{x} - 2\sqrt{a}} + \sqrt{\frac{a+x^2}{x} + 2\sqrt{a}}, \text{ если } x > \sqrt{a}.$$

Решение. Имеем

$$\sqrt{\frac{a+x^2-2x\sqrt{a}}{x}} + \sqrt{\frac{a+x^2+2x\sqrt{a}}{x}} =$$

$$\frac{\sqrt{(V\bar{a}-x)^2}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{(V\bar{a}+x)^2}}{\sqrt{x}} = \frac{|V\bar{a}-x|}{V\bar{x}} + \frac{|V\bar{a}+x|}{V\bar{x}}.$$

Так как по условию $x > \sqrt{a} \geq 0$, то $|V\bar{a}-x| = -V\bar{a} + x$, $|V\bar{a}+\bar{x}| = \sqrt{a} + x$, и данное выражение преобразуется так:

$$\frac{-V\bar{a} + x + \sqrt{a} + x}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x}.$$

НЕСКОЛЬКО СЛОВО О СВОЙСТВАХ РАДИКАЛОВ

При решении примеров на действия с радиkalами приходится применять различные свойства радиkalов. Так, в примере 1 мы воспользовались, причем довольно-tаки беззаботно, известным свойством:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{b}.$$

Однако следует учеть, что это равенство имеет место лишь в случае, когда $a \geq 0$ и $b > 0$. Если же $a$ и $b$ — отрицательные числа, то запись $\frac{\sqrt{a}}{b}$ не имеет смысла в области действительных чисел. В примере 1, на нашей части, ошибки не произшло, так как $(V\bar{a}-x)^2 > 0$, $(V\bar{a}+x)^2 > 0$ и, кроме того, по условию $x > 0$. Но, во всяком случае, из сказанного выше можно сделать следующее вывод: надо быть очень внимательным, раскрывая корень (чемной степени) из произведения или из дроби. В общем случае, когда знак $a$ и $b$ неизвестен, целесообразно проводить следующее рассужждение:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}} = \sqrt{\frac{|a|}{|b|}}.$$

56

Итак, если числа $a$ и $b$ имеют одинаковые значки, то

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}$$

и аналогично

$$\sqrt{ab} = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{|b|}.$$

Пример 2. Упростить

$$\sqrt{\frac{a-\sqrt{x}}{a+\sqrt{x}}} + \sqrt{\frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}} - \sqrt{\frac{16}{a^2-x}},$$ если $x = 4(a-1)$.

Решение. Выразим, наоборот, $a$ через $x$: $a = \frac{x+4}{4}$, и подставим в данное выражение. Оно преобразуется так:

$$\sqrt{\frac{x-4\sqrt{x}+4}{x+4\sqrt{x}+4}} + \sqrt{\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4\sqrt{x}+4}} - \sqrt{\frac{16^2}{(x+4)^2-16x}}$$

$$= \frac{|\sqrt{x}-2|}{|\sqrt{x}+2|} + \frac{|\sqrt{x}+2|}{|\sqrt{x}-2|} - \frac{16}{\sqrt{x^2}-8x+16}$$

$$= \frac{(x-4\sqrt{x}+4) + (x+4\sqrt{x}+4)}{|(\sqrt{x})^2-4|} - \frac{16}{|x-4|} = \frac{2x+8}{|x-4|} - \frac{16}{|x-4|} = 2\frac{x-4}{|x-4|}.$$

Заметим еще, что $x > 4$, если $a > 2$, и $x < 4$, если $1 \leqslant a < 2$.

Окончательный ответ:

2, если $a > 2$,

• 2, если $1 \leqslant a < 2$.

Мы пользовались — и это часто бывают полезно — таким свойством модуля: для всех $a$ и $b$

$$|a| \cdot |b| = |ab|, \quad |a|^2 = a^2.$$

А сейчас мы остановимся еще на одном важном свойстве корня.

Пример 3. Упростить

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}.$$

Решение. Часто рассуждают так. Пользоваться известным свойством корня, можно у второго сомножителя показать корня умножить на 2 и одновременно подкренное выражение возвести в квадрат; получим

$$\sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$$

$$= \sqrt[10]{\frac{1}{2}(19+6\sqrt{10})} \sqrt[10]{19^2-(6\sqrt{10})^2} = \sqrt[10]{1} = 1.$$

Но здесь есть ошибка! Правильный ответ — минус единица. Дело в том, что $3\sqrt{2}-2\sqrt{5} < 0$, поскольку $(3\sqrt{2})^2 = 18 < (2\sqrt{5})^2 = 20$.

Поэтому неверно, что $\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = \sqrt[10]{(3\sqrt{2}-2\sqrt{5})^2}$, а верно, что $\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}} = -\sqrt[5]{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = -\sqrt[10]{(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})^2}$.

Пример 4. Упростить $\sqrt[8]{(\pi^2-10)^4}$.

57

Здесь тоже неверно было бы просто разделить показатель корня и подкоренного выражения на 4:

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{\pi^2 - 10}$$

(полученный результат не имеет смысла, поскольку $\pi^2 < 10$). Верно равенство такое:

$$\sqrt[8]{(\pi^2 - 10)^4} = \sqrt{10 - \pi^2}.$$

В итоге мы приходим к такому выводу:

Пользуясь основными свойствами radикалов в тех случаях, когда немуверенности, что под корнем стоит положительное число, нужно следить, чтобы, во-первых, полученный результат имел смысл (при необходимости нас выручит знак modуля) и, во-вторых, чтобы полученный результат имел том же знак, что и первого аналогное выражение.

ЗАДАЧИ

1. Перечислите условия, при которых верны следующие равенства ($k$ и $n$ — натуральные числа):

a) $$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a};$$
e) $$a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b};$$
6) $$\sqrt[n]{a^n} = a;$$
ж) $$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a^k};$$
b) $$(\sqrt[n]{a})^n = a;$$
з) $$\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[k]{a};$$
г) $$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};$$
и) $$(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k};$$
д) $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{n \sqrt[n]{b}};$$
к) если $a < b$, то $$\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$$.

2. Упростить следующие выражения:

a) $$(\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}) \cdot (\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} - \sqrt{\frac{a-1}{a+1}});$$
6) $$\sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} + \sqrt{3xy} - \sqrt{\frac{3y+x^3}{2x}} - \sqrt{3xy};$$
b) $$\frac{(4a^2m^{-2} + a^{-2}m^2 - 4)^{-1/2}}{2ma (m^2 - a^2)^{-1/2}} \cdot \left(2 \sqrt{m^4 - \frac{a^2}{m^{-2}}} - \frac{2a^2}{\sqrt{1 - a^2}m^{-2}}\right);$$
г) $$\frac{a + \sqrt{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[12]{(9 - 4\sqrt{5})^3}}{\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[6]{9 + 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}}.$$