Nghịch lý vệ tinh

15

L. BLITZER

NGHỊCH LÝ
SPUTIIKOV

Định luật quán tính đã được biết đến rộng rãi. Và mặc dù trên Trái đất, chúng ta chưa bao giờ nhìn thấy một vật thể chuyển động đều mà không có lực nào tác dụng lên, tuy nhiên, một quả bóng trên băng có thể đóng vai trò là một mô hình tốt cho vật thể đó: lực ma sát nhỏ và lực hấp dẫn được bù lại bằng phản lực của băng. Trong không gian, nơi các vệ tinh nhân tạo bay lên, không có gì được bù đắp bởi trọng lực. Do đó, có những vật không chịu tác dụng của bất kỳ lực nào (ngoại trừ lực hấp dẫn) chuyển động dọc theo các hình elip, parabol hoặc hyperbol. Đây có thể coi là “định luật quán tính” đối với vệ tinh*).

“Định luật thứ hai của Newton” trông như thế nào đối với một vệ tinh, tức là tốc độ của vệ tinh sẽ thay đổi như thế nào nếu có bất kỳ lực nào tác dụng lên nó ngoài lực hấp dẫn hướng về Trái đất? Điều này được mô tả trong bài báo mà chúng tôi đọc lại từ “Tạp chí Vật lý Hoa Kỳ” năm 1971. Nội dung của § 2 được sửa đổi một chút để xét chuyển động không dọc theo hình elip mà dọc theo một đường tròn, vì có thể dễ dàng tìm được công thức cho chuyển động đó bằng cách sử dụng sách giáo khoa vật lý phổ thông. Độ elip của quỹ đạo vệ tinh trong trường hợp này là không đáng kể.

Bài báo đã được N. Ya chuẩn bị xuất bản. Smorodinskaya.

I. Giới thiệu

Bạn nghĩ điều gì sẽ xảy ra với tốc độ và động năng của một vệ tinh nhân tạo của Trái đất khi phanh trong khí quyển? Bạn chắc chắn sẽ mắc sai lầm nếu bạn chỉ được hướng dẫn bởi những gì trải nghiệm “trần thế” hàng ngày mách bảo bạn. Hóa ra tốc độ và động năng của vệ tinh được trả về khi phanh trong khí quyển!

Hiện tượng đáng kinh ngạc này thực sự bất ngờ đến nỗi nó được gọi là nghịch lý. Chúng ta đã thảo luận ở đây ba sự phát triển dường như hoàn hảo, việc giải thích chúng gắn liền với nghịch lý này.

1. Giảm kích thước quỹ đạo của vệ tinh và tăng tốc độ của nó trong bầu khí quyển trái đất.

2. Sự dao động của vệ tinh xích đạo của Trái đất so với vị trí cân bằng ổn định.

3. Thay đổi tính liên tục của một nơi trên trái đất.

Hiện tượng đầu tiên được giải thích là do lực cản trong khí quyển, nguyên nhân thứ hai nằm ở “không gian ba chiều” của hành tinh chúng ta, và hiện tượng thứ ba là do các thủy triều hình thành trên bề mặt Trái đất.

16

II. Quỹ đạo Keplerian không bị xáo trộn

Chúng ta hãy nhớ các phương trình chuyển động đơn giản nhất tuân theo định luật Kepler. Nếu Trái đất có hình cầu đối xứng và nếu không có bầu khí quyển hoặc các yếu tố gây nhiễu khác xung quanh nó, thì người ta biết rõ rằng quỹ đạo của vệ tinh Trái đất sẽ là một hình elip, một trong những tiêu điểm của nó sẽ nằm ở tâm Trái đất (Hình 1).

Khi quỹ đạo của vệ tinh gần với một đường tròn có bán kính $a$ thì chu kỳ quay quanh Trái đất của nó bằng

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}},$$

trong đó $\mu = \gamma M$ (γ là hằng số hấp dẫn và $M$ là khối lượng của Trái đất).

Theo định luật thứ ba của Kepler, chu kỳ quay của vệ tinh theo quỹ đạo hình elip có bán trục lớn bằng $a$ cũng sẽ giống nhau.

Có thể chứng minh rằng khi chuyển động theo quỹ đạo tròn thì thế năng $U$, động năng $K$ và tổng năng lượng $E$ của vệ tinh được biểu thị bằng $a$, và khối lượng của vệ tinh $m$ như sau:

$$U = -\frac{\mu m}{a}*),$$

$$K = \frac{\mu m}{2a},$$

$$E = -\frac{\mu m}{2a}.$$

*) Xem bài viết của N. M. Speransky “Thế năng của các vật thể trong trường hấp dẫn” trang 20.

Cơm. 1. Hình elip Keplerian. $F$—lực nhiễu loạn.

Từ đó, rõ ràng là các đại lượng này có liên quan bởi mối quan hệ

$$U = -2K = 2E.$$

Đối với quỹ đạo hình elip, sự tương ứng (5) và công thức (2)–(4) vẫn đúng, nhưng thay vì động năng và thế năng, chúng ta cần nói về động năng trung bình (trên một vòng quanh Trái đất) và thế năng trung bình của vệ tinh.

III. Giải thích nghịch lý

Bây giờ chúng ta hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi một lực bổ sung tùy ý nào đó tác dụng lên vệ tinh. Rõ ràng, nếu lực này lớn hơn lực hấp dẫn ($\frac{\mu}{r^2}$) thì nó sẽ đóng vai trò chính. Ví dụ, điều kiện này được đáp ứng tại thời điểm phóng vệ tinh. Nếu lực nhiễu nhỏ so với lực hấp dẫn thì quỹ đạo phải là Keplerian (nghĩa là hình elip hoặc hình tròn.) Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp này.

Bất kỳ lực gây nhiễu nào tác động liên tục $F$ đều có thể được thay thế bằng một chuỗi các xung động nhỏ vô hạn. Do công thực hiện bởi lực $F$ trong một khoảng thời gian nhỏ tùy ý $\Delta t$, năng lượng của vệ tinh trở về giá trị $\Delta E$:

$$\Delta E = F_T \Delta S = F_T v \Delta t,$$

trong đó $F_T$ là thành phần tiếp tuyến của lực $F$, hướng tiếp tuyến với quỹ đạo và $v$ là tốc độ của vệ tinh.

Một mức năng lượng tăng vô cùng nhỏ $\Delta E$ tương ứng với sự tăng bán kính quỹ đạo của vệ tinh thêm một lượng vô cùng nhỏ $\Delta a$.

Bây giờ chúng ta hãy xem công thức (4). Chúng ta sẽ thấy rằng khi năng lượng của vệ tinh tăng thì bán kính quỹ đạo của nó cũng tăng. Hãy tính xem bán kính sẽ thay đổi bao nhiêu $\Delta a$