Thế năng của vật thể trong trường hấp dẫn

20

Trong trường hấp dẫn

Ngay cả trong một khóa học vật lý ở trường, người ta cũng chỉ ra rằng có một sự tương đồng sâu sắc giữa trường hấp dẫn và trường năng lượng, xuất phát từ sự giống nhau về mặt toán học của định luật hấp dẫn Newton và định luật Coulomb. Cả trong trường hấp dẫn và trường năng lượng, công của các vật chuyển động hoặc điện tích không phụ thuộc vào hình dạng của đường đi mà chỉ được xác định bởi thế năng của các điểm bắt đầu và kết thúc chuyển động và độ lớn của khối lượng hoặc điện tích. Từ đây, đến lượt nó, công dọc theo một vòng kín, cả trong trường này và trường kia, đều bằng 0.

Điện thế của bất kỳ điểm nào trong trường nhà máy điện $\varphi = \frac{kQ}{r}$, trong đó $Q$ là điện tích chính xác hình thành nên trường, $r$ là khoảng cách từ điện tích này đến điểm xác định điện thế $\varphi$ và $k$ là một hằng số, phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ đơn vị. Trong hệ thống GHS $k = 1$; trong SI $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$; $k$ là hệ số tỷ lệ trong định luật Coulomb.

Công thực hiện để di chuyển điện tích chính xác $q$ bằng

$$A = q \left( \frac{kQ}{r_2} - \frac{kQ}{r_1} \right),$$

trong đó $r_1$ tương ứng với điểm ban đầu nơi đặt điện tích $q$ và $r_2$ tương ứng với vị trí cuối cùng của nó.

Từ sự tương tự giữa trường hấp dẫn và trường năng lượng, chúng ta kết luận rằng công $W$ trong trường hấp dẫn chẳng hạn của Trái đất bằng

$$W = -m \left( \frac{\gamma M}{r_2} - \frac{\gamma M}{r_1} \right),$$

trong đó $\gamma$ là hằng số hấp dẫn (hệ số tỷ lệ trong định luật hấp dẫn), $M$ là khối lượng của Trái đất, $m$ là khối lượng của vật thể chính xác, có thể chuyển đổi trong trường lực hấp dẫn của Trái đất, và $r_1$ và $r_2$ lần lượt là khoảng cách ban đầu và cuối cùng từ vật thể này đến tâm hành tinh.

Chúng ta đặt dấu “—” vào công thức này vì hai vật luôn cúi xuống. Điều này tương ứng với sự tương tác của các điện tích dương và điện tích in dấu. Để tăng khoảng cách giữa các cơ thể $(r_2 > r_1)$, phải thực hiện công việc tích cực. Khi khoảng cách giữa các vật giảm đi thì hướng chuyển động của vật trùng với hướng của lực tác dụng lên nó. Vì vậy, trong trường hợp này công việc có tính kết cấu.

Bây giờ chúng ta hãy xác định thế năng của vật ở khoảng cách $R$ tính từ tâm Trái đất. Vì độ biến thiên của thế năng bằng công tiêu tốn để di chuyển vật thể, nên giả sử rằng thế năng bằng 0 ở rất xa Trái đất $(r_1 = \infty)$, chúng ta tìm thấy

$$U = -\frac{\gamma M}{R} m.$$

Biểu đồ $U$ so với khoảng cách $R$ được hiển thị trong Hình 1. Đây là một hyperbola, được biểu thị bằng một đường liền nét màu đỏ. Trên bề mặt Trái đất $U = -\frac{\gamma M}{R_3} m$, trong đó $R_3$ là bán kính Trái đất.

Rõ ràng lực cắt bài toán, gắn liền với chuyển động của một vật ở gần bề mặt Trái đất, ta thu được một công thức khác:

$$U = mgh,$$