Потенциальная энергия тел в поле тяготения

20

В поле тяготения

Еще в школьном курсе физики указывается на существование глубокой аналоги между gravитационным и электростанческим полями, вытекающей из формального математического сходства закона тяготения Ньютона и закона Кулона. И в поле тяготения и в электростанческом поле работа по перемещению тел или электрических зарядов не зависит от формы пути, а определяется лишь потенциальами точек начала и конца перемещений и величины масс или зарядов. Отсюда, в свою очередь, следует, что работа по замкнутому контуру, как в том, так и в другом поле равна нулю.

Потенциаль любой точки электростанческого поля $\varphi = \frac{kQ}{r}$, где $Q$ — точный заряд, образованший поле, $r$ — расстояние от данного заряда до точки, в котором определяется потенциаль $\varphi$, а $k$ — постоянная, зависит от выбора системы единиц. В системе СГС $k = 1$; в системе СИ $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$; $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Работа по перемещению точного заряда $q$ равна

$$A = q \left( \frac{kQ}{r_2} - \frac{kQ}{r_1} \right),$$

где $r_1$ соответствует начальной точке, в которой находится заряд $q$, а $r_2$ — его конечному положению.

Из аналоги между gravитационным и электростанческим полем заклонаем, что работа $W$ в gravитационном поле, например, Земли равна

$$W = -m \left( \frac{\gamma M}{r_2} - \frac{\gamma M}{r_1} \right),$$

где $\gamma$ — gravитационная постоянная (козффициент пропорциональности в законе тяготения), $M$ — масса Земли, $m$ — масса точного тела, переносимо в поле силы тяготения Земли, а $r_1$ и $r_2$ — соответственно начальное и конечное расстояния от данного тела до центра планеты.

Мы поставили в этой формуле знак «—», так как два тела всегда пригиваются. Это соответствует взаимодействию положительного и отпечатального зарядов. Для того чтобы увеличить расстояние между телами $(r_2 > r_1)$, нужно совершить положительное работу. При уменьшении расстояния между телами направление перемещения тела совпадает с направлением действия на него силы. Следовательно, в этом случае работа структальная.

Определим теперь потенциальную энергию тела на расстоянии $R$ от центра Земли. Так как изменение потенциальной энергии равно работе, затрачиваемой на перемещение тела, то, полагая, что потенциальная энергия равна нулю бесконечно далеко от Земли $(r_1 = \infty)$, найдем

$$U = -\frac{\gamma M}{R} m.$$

График зависимости $U$ от расстояния $R$ показан на рисунке 1. Это гипербола, изображенная сплошной красной линии. На поверхности Земли $U = -\frac{\gamma M}{R_3} m$, где $R_3$ — радиус Земли.

Obviously shear задачи, связанные с перемещением тела у поверхности Земли, мы получаем другой формуле:

$$U = mgh,$$