Побываем на устном экзамене

44

Побъявем на устном экзамене

Е. Б. Ваховский, А. Б. Волинский

Что справивалот на устном экзамене по математике? Такой вопрос особенно часто задают поступающие в те вызы, где предъявляются повышенные требования (МГУ, МФТИ и другие). Стандартный ответ, заключающейся в том, что нужно четко ответать на билеты и знать все пункты программы, мало кого удовлетворяет. «Как ответать на билет и какие имеются билеты, мы знаем по выпускным школьным экзаменам, — говорят абитуренты, — но нам неизвестно, что справивалот после ответа на билет».

В известной мере этот вопрос оправдан. В то время как имеющаяся сейчас литература может дать поступающим почти полное представление о письменных экзаменах, материалы устных экзаменов существуют только в виде брошюрок, изданных в различных институтах для внутреннего пользования.

В настоящее.state авторы сделали попытку на несколько примерах проплосировать специфку устного экзамена.

Статья делится на две части. В первой части будет приведены формулировки задач без решения (наболее сложные задачи будут сначала краткими указаниями); во второй части будут данные решения или указания. Предполагается, что читатель вначале самостояльно попробует свои силы, затем заглянет в указание, если такое имеется, и лишь потом посмотрит в решение, если все условия будут безрезультатны.

Если рассмотреть все вопросы (задачи), задаваемые на устном экзамене, то их условия можно разделить на два уровня.

К вопросам первого (более простого) уровня можно ответить те вопросы, на которые абитуриент, твордо знающий программу, может и должен ответить почти сразу — через несколько минут. Если абитуриент неправильно ответает или затрудняет при ответе на такой вопрос, то это значит, что он имеет серые проблемы в основах элементной математики.

Задачи второго уровня — более сложные. Они, безусловно, потребуют от абитуриента активного, а не простого форматного владения школьной программы. Следует, правда, отметить, что такие вопросы могут встречаться только в институтах с повышенными требованиями по математике.

Вопросы первого уровня

1. Решить уравнение
   $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 1} = 1.$$

2. Если в уравнение $x^2 + px + q = 0$, где $p, q$ — действительные числа
   a) $q > 0$, то верно ли, что корни его одного знака?
   b) $q < 0$, то верно ли, что корни его разных знаков?

45

3. Внутри окружности радиуса $R$ находится две другие окружности, касающиеся друг друга и данной окружности. Найти перimetр треугольника, вершинами которого служат центры трех окружностей.

4. Может ли для углов треугольника удовлетворять равенство
   $$\sin A + \sin B = \sin C?$$

5. Возможно ли равенство $\sin \alpha = \lg \sin \alpha$?

6. Доказать, что треугольник является равновесным, если у него равны две медианы.

7. Доказать, что для произвольной трапеции $ABCD$ справедливо равенство $AO \cdot BO = DO \cdot CO$, где $O$ — точка пересечения диагональной AC и BD.

8. Полуокружность радиуса $R$ разделена на три равные части и точки деления соединитель с одним из концов диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найти площадь, ограниченную двумя хордами и заключенной между ними дугой.

9. В некоторых парамиде двумя границы углы при основании равны $\alpha$ и площадь основания $S$. Найти площадь боковой поверхности.

Вопросы второго уровня

1*. Найти множество точек плоскости $M(x, y)$, координаты которых удовлетворяют равенению

$$\sin x + \sin y = \frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|}.$$

2*. Решить уравнение $tg x + \text{ctg} x = -1,75$.

3*. Решить неравенство $2^{3x} + 3^{2x} - 2 \cdot 11^x > 0$.

4*. При каких условиях квадратный треугольен $ax^2 + bx + c (a \neq 0)$ с действительными коэффициентами является квадратом линейного двухчлена с действительными коэффициентами?

5*. Сколько сфера можно проведити через точки в пространстве?

6* Можно ли пересечить плоскостью параллелепид таким образом, чтобы в течение получился правильный пятугольник?

Указание. Применить теорему о пересечении двух параллельных плоскостей треугольников.

7*. Треугольник $ABC$ — остроугольный, $\angle A = \alpha$. На стороне $BC$ как на диаметре описана полуокружность; $P$ и $Q$ — точки пересечения этой полуокружности со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно. Найти отношение площадей треугольников $ABC$ и $PAQ$.

8*. На стороне произвольного выпуклого четырехугольника как на диаметре построены круги. Доказать, что они покрывают весь четырехугольник.

9*. Найти первые три десятичных знака числа $7, 0,999$.

10*. a) Существует ли воспоминания парамида, у которой все ребра равны?

6. Для каких $n$ существует правильная $n$-угольная парамида, у которой все ребра равны?

11*. В параллелограмме $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторона $BC$ и $CD$ соответственно. Доказать, что отрезки $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

12*. В угол вписаны две окружности: $A$ и $B$ — точки касания первой окружности со стороны угла, $A_1$ и $B_1$ — второй. Отрезок $AB_1$ пересекает эти окружности в точках $C$ и $C_1$. Доказать, что $AC = B_1C_1$.

13*. Построить треугольник, если данные: прямая, на которой лежит основание, и две точки — основания высот, опущенных на боковые стороны.

14*. Существует ли треугольник, у которой середины

a) биссектрис лежат на одной прямой;

b) высотт лежит на одной прямой?

Указание. Продумайте различие между пунктами a) и b).

15*. Доказать, что $tg 5^\circ$ — irrationalное число.

Указание. Предположите противное и сделайте отсюда какое-то заключенное для известного нам тангенса некоторого угла.

46

16*. В треугольнике все стороны меньше единицы. Доказать, что его площадь $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Указание. Не применять теорему Герона.

17*. Привести пример двух подобных, но неравных треугольников, имеющих по две соответствие равные стороны.

Указание. Постраайтесь найти не геометрический, а алгебраический подход, работа с длинами сторона этих треугольников.

18*. Пусть $l_1$ и $l_2$ — две скрещивающие прямые в пространстве. Найти геометрическое место точек, из которых нельзя проверить прямую, пересекающую $l_1$ и $l_2$.

19*. Существует ли такая треугольная парамida, у которой к каждой ребру прилегает хотя бы один тупой плоский угол?

Указание. Доказать, что такой парамды не существует, используves тот факт, что некоторые из сторон тупоугольного треугольника не могут быть наобольшими.

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

Вопросы первого уровня

1. Ответ: $x \neq -1$. Иногда дают ответ: $x$ — любое, забывая, что знаменатель не должен равнять нулю.

2. Obviously эти вопросы задают подряд — сначала a), потом b). Вспомнить теорему Виета: $x_1 x_2 = q$, абитриент часто, не думая, ответает на вопрос a) утвердительно. Ответ неверный, что доказывает простой при-

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

48

$D = b^2 - 4ac = 0$. Объчно это соответствие и считают ответом. Однако этого мало. Следует заметить, что если $D = 0$, то можно лишь утверждать, что $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$, где $x_1$ — корень трехчлена, но выражение $a(x - x_1)^2$ еще не является квадратом двучлена с действительными коэффициентами. Его можно привести к виду $(\sqrt{a}x - \sqrt{ax_1})^2$ тогда и только тогда, когда $a > 0$.

5*. Ответ. Если четыре точки лежат в одной плоскости, то через них либо нельзя проверить ни одной сферы (если они не лежат на одной окружности), либо можно проверить бесконечного много сфера (если эти точки лежат на одной окружности). Если же четыре точки не лежат в одной плоскости, то через них можно проверить одну единственную сферу.

6*. Для того, чтобы в сечении получился пятуюгольник, секущая плоскость должна пересечь пять граней. Так как в параллелипе всего шесть граней, то из этих пятых найдется две параллельные грани. Секущая плоскость должна пересечь эти две грани по параллельным прямым, но в правильном пятуюгольнике нет двух параллельных сторон.

7*. Так как $BC$ — диаметр (рис. 7) то $BQ \perp AC$ и $CP \perp AB$. Отсюда

$$AQ = AB \cos \alpha$$ и $$AP = AC \cos \alpha.$$
$$\frac{S_{\triangle PQA}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2}AP \cdot AQ \sin \alpha}{\frac{1}{2}AB \cdot AC \sin \alpha} = \cos^2 \alpha.$$

8*. Пусть $O$ — любая точка в четырехугольнике $ABCD$. Все четыре угла $\Rightarrow BOA$, $\Rightarrow BOC$, $\Rightarrow COD$, $\Rightarrow DOA$ не могут быть острыми, так как их сумма равна 2π. Следовательно, один из углов, например, $\Rightarrow BOC \geq \frac{\pi}{2}$. Но тогда окружность, построенная на $BC$ как на диаметре, содержит точку $O$.

9*. Из свойств показательной функции вытекает, что
$$0,999 < \sqrt{7}0,999 < 1.$$

10*. Все боковые грани данной парамиды — равносторонние треугольники. Следовательно, все плоские углы при вершине равны $60^\circ$. Но известно, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$. Аналогичное рассуждение показывает, что такая $n$-угольная парамида может существовать лишь при $n \leq 5$. Тот факт, что при $n = 3, 4, 5$ такие парамиды существует, мы предоставляем доказать читатель, заметив только, что существование такой $n$-угольной парамиды равносильно условию $a_n > R_n$ (где $a_n$ — сторона правильного $n$-угольника, а $R_n$ — радиус описанной окружности).

11*. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей, а $E$ и $F$ — точки пересечения $BD$ с $AM$ и $AN$ соответственно (рис. 8). Легко видеть, что $E$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, поэтому $BE = \frac{2}{3}BO$ и $EO = \frac{1}{3}BO$. Аналогичное $FD = \frac{2}{3}OD$ и $OF = \frac{1}{3}OD$. Но поскольку $BO = OD$, то $BE = FD$, а $EF = EO + OF = \frac{2}{3}BO$, $EF = BE = FD$.

Рис. 7.
Рис. 8.
Рис. 9.

49

12*. Пусть (рис. 9) $AC = x, CC_1 = y, B_1C_1 = z$. Согласно известной теореме
$$AA_1^2 = AB_1 \cdot AC_1 = (x + y + z) \times (x + y).$$
Аналогично
$$BB_1^2 = AB_1 \cdot B_1C_1 = (x + y + z) \times (y + z).$$
Но тогда из очевидного равенства $AA_1^2 = BB_1^2$ вытекает $x + y = y + z$, то есть $x = z$.

13*. Итак, дана прямая $l$ и точки $D$ и $E$ (рис. 10). Предположим, что задача решена. Поскольку $\Rightarrow ADC = \Rightarrow AEC = 90^\circ$, точки $A, D, E$ лежат на полукругжности, построенной на $AC$ как на диаметре. Отсюда вытекает способ построения. Из середины отрезка $DE$ восставим к нему перпендикуляр, он пересечет $l$ в точке $O$. Из точки $O$ как из центра проведем полукругжность радиуса $OE = OD$; она пересечет $l$ в точках $A$ и $C$. Провода $AD$ и $CE$, получим точку $B$.

14*. Очевидно, что середины bicсектрис (как и высот) лежат на сторонах (или на их проджениях) треугольника $A_1B_1C_1$, образованного средними линяями первоначального треугольника $ABC$ (рис. 11). Разница между случями $a$ и $b$ состоит в том, что середины bicсектрис лежат внутри сторона треугольника $A_1B_1C_1$, а середины высот могут, вообше говоря, лежать на его сторонах или даже вне треугольника. Если допустить, что середины bicсектрис лежат на одной прямой, то получится противоречие, так как тогда будет

Рис. 10. Рис. 11.

Рис. 10. Рис. 11.

существовать прямая, пересекающая все три стороны треугольника $A_1B_1C_1$. Простой пример прямого треугольника показывает, что середины высот лежат на одной прямой.

15*. Из точкиства
$$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$$

следует, что $tg(\alpha + \beta)$ является рациональным числом, если таковы $tg\alpha$ и $tg\beta$. Если предположить теперь, что $tg 5^\circ$ рациональное число, то получим, что $tg 10^\circ = tg(5^\circ + 5^\circ)$ тоже рациональное число и, далее, $tg 20^\circ$ и $tg 30^\circ$ тоже рациональные. Последнее, однако, противоречит irrationalности числа $tg 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

16*. Основные условия в этой задаче, как правило, связаны с различными попытками формирования формулы Герона, так как в условиях идет речь о сторонах и площадии. Тем не менее наиболее короткое решение связано с другой идеей.

Все углы треугольника $ABC$ не могут быть больше $60^\circ$, так как иначе их сумма была бы больше $180^\circ$. Пусть, например, $\Rightarrow A \leq 60^\circ$. тогда из формулы $S = \frac{bc}{2} \sin A$ вытекает, что
$$S_{ABC} < \frac{1}{2} \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}.$$

17*. Пусть стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию: $1, q, q^2 (q > 1)$. Увеличим стороны этого треугольника в $q$ раз; новый треугольник будет иметь стороны $q, q^2, q^3$. Оба треугольника подобны и имеют две равные стороны: $q$ и $q^2$. Осталось отметить, что такие треугольники действительно существуют. Достаточно проверить, что неравенство $q^2 < 1 + q$ выполняется при $1 < q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

18*. Через каждую их прямых $l_1$ и $l_2$ можно проверить единственную