График кубического четырёхчлена

26

О.А.Жаутыков
ГРАФИК
КУБИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХЧЛЕНА

В «Кваните» № 11 за 1971 год расссказывалось о некоторых формулах, позволяющих выразить корни кубического уравнения через его коэффициенты. Однако во многих задачах оказывается полезным уметь представить себе график «кубического уравнения». Об этом и идет речь в публикуемой ниже статье.

Поставим свой заданный научиться строить график функции
$$y = ax^3 + bx^2 + cx + d \ (a \neq 0),$$ (1)
то есть многочлена 3-й степени. Конецно, можно пытается построить кривой (1) по точкам. Но это слишком долгий путь, требующий утомительных вычислений. Мы рассскажем о более простом способе, позволяющим в каждом конкретном случае легко представить себе в общих чертах поведение кривой, описываемой уравнением (1).

Будем искодить из графика функции
$$y = x^3,$$ (2)
называемого кубического параболю. Эта кривая строится по точкам (рис. 1); ее вид необходимо запомнить. Она играет при изучении графика кубического многочлена (1) роль, аналогичную роли параболы $y = x^2$ в теории квадратного трехчлена.

Кубическая парабола обладает следующими основными свойствами:

1. она симметрина относительно начала координат и проходит в третий и первой четвертях (другими словами, функция (2) — нечетная);
2. в начале координат кубическая парабола пересекает ось абсцисс, одновременно касаясь ее.
   Легко сообщить далее, как выглядит график функции
   $$y = ax^3,$$ (3)

Рис. 1. Рис. 2.

27

Наконец, рассмотрим график функции
$$y = ax^3 + mx.$$

Его легко построить методом сложения двух графиков — уже знакомой нам кривой (3) и прямой $y = mx$, проходящий через начало координат: нужно при каждом значении абсциссы $x$ сложить соответствующее ordinateы кривой (3) и прямой $y = mx$.

Ясно, что вид графика функции (4) зависит от значков чисел $a$ и $m$. Именно, если $a > 0$ и $m < 0$, то кривая (4) имеет вид, показанный на рисунке 3 $a$, если же $a > 0$ и $m > 0$, — то вид, изображенный на рисунке 3 $b$. График функции (4) в случае $a < 0$ и $m > 0$ (рис. 3 $\theta$) получается зеркольным отображением относительно оси ordinateки кривой, изображенной на рисунке 3 $a$, а в случае $a < 0$ и $m < 0$ (рис. 3 $\epsilon$) — зеркольным отображением кривой на рисунке 3 $b$; впрочем, на рисунке 3 $\epsilon$ мы уведомили $a$, и парабола стала круче, сохранив, однako, общий вид.

Основные свойства кривой (4) состоит в следующем:

1. она пересекает (в начале координат) прямую $y = mx$, одновременно касаясь ее;
2. если числа $a$ и $m$ одного знака, то эта кривая лишь в начале координат пересекает ось абсцисс; если же числа $a$ и $m$ разных знаков, то эта кривая трижды пересекает ось абсцисс (в точках $x = 0$ и $x = \pm \sqrt{-m/a}$).

Итак, график функции (4) мы рисовать научились. А теперь показем, что для любой функции типа (1) всегда можно найти такие (действительные) числа $m, k, h$, что график функции (1) получается смешением кривой (4) на $h$ влево и на $k$ вниз.

В самом деле, если пересести кривую (4) на $h$ влево и на $k$ вниз, то получится кривая, описываемая уравнением
$$y + k = a(x + h)^3 + m(x + h),$$