Парадоксы спутников

15

Л. БЛИТЦЕР

ПАРАДОКСЫ
СПУТИИКОВ

Закон инерции хорошо известен. И хотя на Земле мы никогда не видели равномерно движущого тела, на котором не действовали бы никакие силы, тем не менее шайба на льду может служить хорошо моделью такого тела: сила трения мала, а сила тяжестями компенсируется силой реакции льда. В космосе, там, где летают искусственные спутники, ничего не компенсируется силу тяжестями. Поэтому там тела, на которые не действуют никакие силы (кроме силы прятяжения), движутся по эллипсам, параболам или гиперболам. Это можно считать «законом инерции» для спутников *).

Как же выглядит для спутника «второй закон Ньютона», то есть как изменяется скорость спутника, если на него действует какая-либо сила, кроме силы прятяжения к Земле? Об этом рассказано в статье, которое мы перечатьаем из «American Journal of Physics» за 1971 г. Текст § 2 несколько изменен с тем, чтобы рассматривать движение не по эллипсу, а по окружности, так как формулы для такого движения можно легко получить, пользоваться школьным учебником физики. Эллиптическость орбиты спутника в данной случае несущетвена.

Статья подготовлена к печати Н. Я. Смородинской.

I. Введение

Как вы думаете, что происходит со скоростью и кинетической энергии искусственного спутника Земли при торможении в атмосфере? Вы наверняка ошибетесь, если будете руководствовать лишь тем, что вам подсказывает повседневный «земной» опыт. Оказывается, скорость и кинетическая энергия спутника при торможении в атмосфере возвращают!

Это удивительное явление было настоящко неожиданным, что его стали назвать парадоксом. Мы рассакjem здесь о трех, казалось бы, совершенное развиваниях, обьясенное которым связывано с этим парадоксом.

1. Сокращение размеров орбиты спутника и увеличение его скорости в земной атмосфере.

2. Колбание экваторialного спутника Земли относительно положения устойчивого равновесия.

3. Изменение продолженности земного места.

Первое из перечисленных явлений объясняется торможением в атмосфере, причина второго кроется в «трехносности» нашей планеты, а третье связывано с тем, что на поверхности Земли образуют приливные выступы.

16

II. Невозмущенная кеплеровская орбита

Давайте вспомним самые простые уравнения движения, подчиняющиеся законом Кеплера. Если бы Земля была сферическим симметрична и если бы вокруг нее не было ни атмосферы, ни других возмущающихся факторов, то хорошо известно, что орбита земного спутника представляет бы собой эллипис, один из фокусов которого лежал бы в центре Земли (рис. 1).

Когда орбита спутника близка к окружности с радиусом $a$, то период обращения его вокруг Земли равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}},$$

где $\mu = \gamma M$ (γ — гравиатционная постоянная и $M$ — масса Земли).

Согласно третьему закону Кеплера таким же будет и период обращения спутника по эллиптической орбите с большой полуосью, равной $a$.

Можно показать, что при движении по круговой орбите потенциальная энергия $U$, кинетическая энергия $K$ и полная энергия $E$ спутника выражаются через $a$, и массу спутника $m$ следующим образом:

$$U = -\frac{\mu m}{a}*),$$

$$K = \frac{\mu m}{2a},$$

$$E = -\frac{\mu m}{2a}.$$

*) См. статью Н. М. Сперанского «Потенциальная энергия тел в поле тяжости» на стр. 20.

Рис. 1. Кеплеровский эллипс. $F$ — возмущая сила.

Отсюда видно, что эти величины связаны соотношением

$$U = -2K = 2E.$$

Для эллиптической орбиты соответствие (5) и формулы (2)—(4) остаются верными, но вместо кинетической и потенциальной энергии нужно говорить о средней (за один оборот вокруг круггут Земли) кинетической и средней потенциальной энергии спутника.

III. Объяснение парадокса

Рассмотрим теперь, что происходит, когда на спутник действует какая-нибудь произвольная дополнительная сила. Очевидно, что если эта сила больше гравиаточной ($\frac{\mu}{r^2}$), то она должна играть основную роль. Это условие выполняется, например, в момент запуска спутника. Если же возмущая сила мала по сравнению с силами гравиатизации, то орбита должна быть кеплеровкой (то есть эллипсом или окружностью.) Именно этот случай мы и будем исследовать.

Любую непрерывно действующее возмущающее силу $F$ можно заменить последовательностью бесконечного малых импульсов. В результате работы, совершаемой силой $F$ в течение произвольного малого инвервала времени $\Delta t$, энергия спутника возвращает на величины $\Delta E$:

$$\Delta E = F_T \Delta S = F_T v \Delta t,$$

где $F_T$ — тангенциальная составляющая силы $F$, направленная по касательной к орбите, а $v$ — скорость спутника.

Бесконечно малому приращению энергии $\Delta E$ соответствует увеличение радиуса орбиты спутника на бесконечную малую величины $\Delta a$.

Посмотрим теперь на формулу (4). Мы увидим, что с увеличением энергии спутника радиус его орбиты увеличивается. Сосчитаем, на какую величины $\Delta a$ изменится радиус