Задачи М146—М150; Ф158—Ф162

36

ЗАДАЧИ

Решения задач можно посылать не позднее чем через полтора месяца после выхода из печати соответствующего номера журнала по адресу: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант». После адреса на конверте укажите, решения каких задач вы посылаете; например: «Задачик «Кванта», M146, M148». В начале письма укажите свое фамилию, имя, отчество, домашний адрес, а также класс и школа, в котором вы учитесь.

M146.a) В вершинах правильно 7-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдется три фишки одного цвета, лежащие в вершинах равноведренного треугольника.

6. Верно ли аналогичное утверждение для 8-угольника?

в) * Выясните, для каких правильных n-угольников аналогичное утверждение верно, а для каких — нет.

А. Романов

M147. Докажите, что если четырехугольник ABCD, вписанный в окружность, таков, что касательные к окружности в точках A и C пересекаются на продолжении диагонали BD, то

a) касательные в точках B и D пересекаются на продолжении диагонали AC;

6. биссертрисы внутриних углов A и C четырехугольника пересекаются на диагонали BD (а углов B и D — на AC).

И. Ф. Шарыzin

M148. Последовательность $x_0, x_1, x_2, \dots$ определяется следующими условиями: $x_0 = 1, x_1 = \lambda$, для любого $n > 1$ $(\alpha + \beta)^n x_n = \alpha^n x_n x_0 + \alpha^{n-1} \beta x_{n-1} x_1 + \alpha^{n-2} \beta^2 x_{n-2} x_2 + \dots + \beta^n x_0 x_n$. Здесь $\lambda, \alpha, \beta$ — заданные положительные числа. Найдите $x_n$ и выясните, при каком $n$ величина $x_n$ будет наиболее.

А. Л. Лопшиц

M149. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Докажите, что

a) если равны периметры четырехугольников ABC, BCD, CDA и DAB, то ABCD — прямогольник;

6. если равны perimетры четырехугольников ABO, BCO, CDO и DAO, то ABCD — ромб.

Н. Б. Васильев

M150*. Из чисел 1, 2, …, $k$ составляются всевозможные наборы $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ длины $n$ (легко видеть, что их $k^n$). Выбраны два подмножества $P$ и $Q$ таких наборов (один и тот же набор может входить в $P$, и в $Q$). Известно, что если взять произвольный набор $(p_1, p_2, \dots, p_n)$ из $P$ и произвольный набор $(q_1, q_2, \dots, q_n)$ из $Q$, то они будут совпадать хотя бы в одном месте (то есть $p_i = q_i$ для некоторого $i$). Тогда либо в $P$, либо в $Q$ не более чем $k^{n-1}$ наборов.

Докажите это утверждение

a) для $k = 2$ и любого $n$;

b) для $n = 1, 2, 3$ и любого $k \geq 2$;

b) для произвольных $k \geq 2$ и $n \geq 1$.

Попробуйте найти другие ограничения на количество элементов в подмножествах $P$ и $Q$, связанных таким условиям.

В. Б. Алексеев

Ф158. Гантелька, расположенная горизонтально, падает с высоты $h$ и удаляется одним из концов о стол

39

Рассмотрим разность
$$f_1(x) - f_2(x) = f_3(x).$$
(1)

Заметим, что $p_1 - p_2 \neq 0$, так как если $p_1 - p_2 = 0$, то $R = (q_1 - q_2)^2 \geq 0$, что противоречит условиям. Поэтому уравнение $f_3(x) = 0$ имеет корень $\gamma = -\frac{q_1 - q_2}{p_1 - p_2}$, причем, конечно, $f_3(x)$ можно записать так:
$$f_3(x) = (p_1 - p_2)(x - \gamma).$$
(2)

Кроме того, как следует из (1),
$$f_1(\gamma) = f_2(\gamma).$$
(3)

Теперь квадратный трехчлен $f_2(x)$ (умноженный на коэффициент $(p_1 - p_2)^2$ «разделим с остатком» на $f_3(x)$, то есть напишем тожество
$$(p_1 - p_2)^2 f_2(x) = f_3(x) g(x) + R.$$

Мы не случайно использовать ту же букву $R$: остаток равен именю выражению $R$, данному в условиях задачи. Действительно,
$$(p_1 - p_2)^2 (x^2 + p_2x + q_2) = [(p_1 - p_2)x + (q_1 - q_2)][(p_1 - p_2)x + (p_1 - p_2)p_2 - (q_1 - q_2)] + (q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1).$$

Подставив $\gamma$ в (4), получим (учтывая, что $f_3(\gamma) = 0$):
$$(p_1 - p_2)^2 f_2(\gamma) = R < 0.$$

Позному $f_1(\gamma) = f_2(\gamma) < 0$. Следовательно (по свойству (1)) оба уравнения имеют по два действительных корня. Обозначим их соответствию $\alpha_1, \beta_1$ и $\alpha_2, \beta_2$. Тогда
$$f_2(x) = (x - \alpha_2)(x - \beta_2).$$
(6)

Теперь, использую последовательно (1), (2), (6) и (5), получаем:
$$f_1(\alpha_2) f_1(\beta_2) = f_3(\alpha_2) f_3(\beta_2) = (p_1 - p_2)^2 (\alpha_2 - \gamma)(\beta_2 - \gamma) = (p_1 - p_2)^2 f_2(\gamma) = R < 0,$$
(7)

откуда следует (по свойству (2)), что корни уравнения черезются.

Используя графики, результат задачи и основное в нашем решении соответствие (5) можно объяснить в два слова (рис. 2). Алгебраическая подоплека нашего решения более глубока.

Из нашей решения, да и из рисунка 2 видно, что $R = 0$ модели моledа, коеда квадратные трехчлены $f_1$ и $f_2$ имеют общий корень (или совпадают). Это остолгательство можно использовать в задачах такого типа: каким условиям должны удовлетворять числа $\lambda$ и $\mu$, чтобы уравнение $x^2 + \lambda x - 1 = 0$ и $x^2 + \mu x - \lambda x + \mu = 0$ имеющий корень? Достаточно подставить в выражение $R$ значения $p_1 = \lambda$, $q_1 = -1$, $p_2 = \mu - \lambda$, $q_2 = \mu$, и нужное условие готово:
$$(\mu + 1)^2 + (2\lambda - \mu)(\mu - \lambda + \mu\lambda) = 0.$$

Оказывается, что и для двух многочленов произвольной степени
$$f_1(x) = a_1x^n + b_1x^{n-1} + \dots + c_1,$$
$$f_2(x) = a_2x^m + b_2x^{m-1} + \dots + c_2$$

можно выписать такой многочлен $R$ от $a_1, a_2, b_1, b_2, \dots, c_1, c_2$, что условие $R = 0$ будет выполнаться моledа и моledа, коеда $f_1$ и $f_2$ имеют общий делитель (многочлен от $x$ степени 1 или выше). $R$ называется результатом многочленов $f_1$ и $f_2$.

В курсе высшей алгебры приводится компактная запись результата в виде «определителя», составленного из коэффициентов $f_1$ и $f_2$.

Особенно произвольным становится понятие результата, когда $f_1$ и $f_2$ разлагаются на линейные множители:
$$f_1 = a_1(x - \alpha_1)(x - \beta_1) \dots (x - \gamma_1),$$
$$f_2 = a_2(x - \alpha_2)(x - \beta_2) \dots (x - \gamma_2)$$

40

(на множество комплексы чисел это всегда так, ведь там любой многочлен имеет корень). Тогда, как можно доказать,

$$R = R(f_1, f_2) = a_1^m a_2^n (\alpha_1 - \alpha_2)(\beta_1 - \alpha_2) \dots (\gamma_1 - \gamma_2),$$

(8)

где произведение берется по всем параметров $f_1$ и $f_2$ (то есть в нем $mn$ компоненты). Проверьте, что в нашей задаче $R = (\alpha_1 - \alpha_2)(\beta_1 - \alpha_2)(\alpha_1 - \beta_2)(\alpha_2 - \beta_2)$, и подумайте, как с помощью этого выражения $R$ через корни (быть может, комплексы!) квадратных трехчленов решить задачу другим способом. Из равенства (8) вытекает такое, уже встречавшееся нам в частином случае, равенство:

$$R = a_1^m f_2(\alpha_1) f_2(\beta_1) \dots f_2(\gamma_1) =$$

$$= (-1)^{mn} a_2^n f_1(\alpha_2) f_1(\beta_2) \dots f_1(\gamma_2).$$

Основное свойство результата с учетом комплексы корней можно формулировать так: $R = 0$ модда и молко модда, коеда $f_1$ и $f_2$ имеют общий корень.

M107

a) Дан выпуклый многоугольник $A_1A_2 \dots A_n$ (рис. 3). На стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, … на стороне $A_nA_1$ точки $B_n$ и $D_1$ так, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, …, $A_nB_nC_nD_n$, то прямые $A_1C_1$, $A_2C_2$, …, $A_nC_n$ пересечутся в одной точке. Докажите, что

$$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \dots \cdot A_nB_n =$$

$$= A_1D_1 \cdot A_2D_2 \dots \cdot A_nD_n.$$

b) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: пуст на стороне $A_1A_2$ выбраны точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$, на стороне $A_3A_1$ — точки $B_3$ и $D_1$ так, что $A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot A_3B_3 = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot A_3D_3$; тогда, если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $A_3B_3C_3D_3$, то прямые $A_1C_1$, $A_2C_2$ и $A_3C_3$ пересечутся в одной точке.

a) Пусть $O$ — точка пересечения. Запишем равенство, которое нам нужно доказать, так (сдвиhem в знаменатель все компоненты, пересечем $A_1D_1$ в конец):

$$\frac{A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot \dots \cdot A_nB_n}{A_2D_2 \cdot A_3D_3 \cdot \dots \cdot A_nD_n} = 1.$$

Теперь заметим, что отношения отрезков $A_1B_1/D_2A_2$, $A_2B_2/D_3A_3$, …, $A_nB_n/D_1A_1$ соответственно отношениями площадей треугольников (площадь треугольника $MNL$ мы обозначим так: $S(MNL))$

$$\frac{S(A_1B_1O)}{S(D_2A_2O)}, \frac{S(A_2B_2O)}{S(D_3A_3O)}, \dots, \frac{S(A_nB_nO)}{S(D_1A_1O)},$$

так что нужно нам равенство можно записать так:

$$\frac{S(A_1B_1O) \cdot S(A_2B_2O) \cdot \dots \cdot S(A_nB_nO)}{S(A_2D_2O) \cdot S(B_3D_3O) \cdot \dots \cdot S(B_nD_nO) \cdot S(A_1D_1O)} = 1;$$

42

между точками $A$ и $C$ и между точками $C$ и $B$. Решив затем систему из шести уравнений с шестью неизвестными, можно найти сопротивления $r_1$, $r_2$ и $r_3$.

Этот способ, конечно, нельзя считать удачным, тем более, что никакому из читателей, приславших нам такое решение, не удалось в обшем виде решить эту систему уравнений. Не удалось решить ее и участником заключителного тура Всесоюзной олимпиды, который предлагался эта задача.

Ф124

Свет от источника $S$ на пути к экрану проходит через покоящийся стеклянный кубик с ребром $l$ (рис. 11). Наколько быстрее свет doit до экрана, если кубик привести в движение со скоростью $v$? Скорость света в воздухе $c$, показатель преломления стека $n$ ($v \ll c$, $n \gg 1$).

Скорость света в стекле равна $c' = \frac{c}{n}$. Свет проходит стеклянный кубик за время $t = \frac{l}{c'} = \frac{\ln c}{c}$. Кубик за это время перемещается на расстояние $x = vt = \frac{v \ln c}{c}$. На это расстояние сокращается путь света в воздухе по сравнению с тем случаем, когда кубик неподвижен. Значит, время, за которой свет должно doit до экрана, сокращается на $\Delta t = \frac{x}{c} = \frac{v \ln c}{c^2}$.

Некоторые читатели прислали более строгое решение этой задачи, учитывающие эффекты, связанные с теорий относительнойности. Мы не будем разбирать это решение подробно. Заметим только, что при учете «релятивистских эффектов» скорость света в движущемся стеклянном кубике нужно считать равной не $c' = \frac{c}{n}$, а $c'' = \frac{c' + v}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{(c + nv)c}{nc - v}$.

В то же время длина кубика в неподвижной системе координат равна $l$, а $l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Поэтому нужно учитывать не только уменшение пути, проходимого светом в воздухе благодаря движению кубика, но и уменшение пути, проходимого светом в стекле.

Ф125

В цилиндре с поршнем находится вода, внутри которого в начальной момент имеет полость объема $V$. Давление газов в порсти пребрежимо мало. Поршень оказывает на body постоянное давление $p$. Какую кинетическая энергия прибретает вода в момент, когда полость исчезнет? Начальная скорость воды равна нулю. Силу тяжесте можно не учитывать.

На поршень действует сила $F = pS$, где $S$ — площадь поршня. Работа, совершенная поршнем, равна произведению этой силы на перемещение поршня $x$. Но перемещение поршня связано с изменением объема газа в цилиндре: $x = \frac{V}{S}$. Поэтому

$$A = Fx = pS \frac{V}{S} = pV.$$

Эта работа и равна изменению кинетической энергии воды. Такой же результат можно получить из сообщений размерности. Из двух величины $p$ и $V$ можно составить единственный комбинацию, имеющую размерность энергии $pV$.

Ф126

Оценить максимальныйную силу, которая будет показывать диаметром, присоединенный к плоскостям, закрывающим «магдедбургские полушария» (полусферы) с радиусом $R$. Полусферы растягиваются в противоположные стороны силами $F$. Атмосферное давление равно 1 амп.

Каждая из плоскостей находится в равновесии благодаря действующего на нее трех сил: $T$, действующего со стороны диаметра, силы $F_0 = p_0S$ атмосферного давления и силы реакции полусферы (рис. 12). Так как в тот момент, когда плоскость отрывается от

полусферы, сила реакции полусферы равна нулю, то $T_{\text{max}} = F_0 = pS = \rho_0 \pi R^2 \approx 12.6 \cdot 10^3 \pi$.

Ф127

В стакан с водой, врашающейся вокруг своей оси, бросают шарик, который плавает на поверхности воды. В каком месте поверхности будет находиться шарик?

Так как шарик плавает на поверхности воды, то плотность матриала шарика меньше плотности воды: $\rho_{\text{ш}} < \rho_{\text{в}}$.

Предположим, что шарик находится на расстоянии $R$ от оси врашающегося сосуда. Если бы плотность шарика была равна плотности воды $\rho_{\text{в}}$, он находится бы на неизменном расстоянии от оси врашения. Центрстремительное ускорение такой шарик сообщает равнодействующая силы тяжести и сил давления окружающей воды. Поскольку шарик движется по окружности радиуса $R$, то эта равнодействующая равна $m\omega^2 R = \rho_{\text{в}} V\omega^2 R$ (ω — угловая скорость врашения сосуда, V — объем шарика).

На шарик плотности $\rho_{\text{ш}}$, помещенный в ту же точку, со стороны окружающей воды действует точно такая же сила. Эта сила сообщает шарик ускорение $a = \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ш}}} \omega^2 R$, большее центрstreмительное ускорение, необходимо для врашения по окружности радиуса $R$. Следовательно, шарик будет движется к оси врашения сосуда. Это означает, что положение равновесия шарика находится на оси сосуда.

Ф128

Тонкую однородную палочку классит так, что она опирается на две плоскости, наклоненные к горизонту под углами α и β, угол между плоскостями равен 90° (рис. 13). Что будет проискать с палочкой? Каким будет ее окончательное положение, если трение между палочкой и плоскостями очень мало?

Пусть угол между палочкой и одной из плоскостей равен γ. Соединним центр тяжесте палочки C с вершиной угла O и показем, что длина отрезка CO не зависит от величины γ.

Проведем CD ⊥ OB. Треугольник CDB подобен треугольнику OAB. Поэтому $\frac{DB}{OB} = \frac{CB}{AB} = \frac{1}{2}$. Это означает, что DB = OD, и треугольник OCD равен треугольнику CDB по двум катетам. Отсюда следует, что отрезок OC равен половине длины палочки при любом угле γ, то есть центр тяжесте палочки C при ее движении описывается окружность.

Тело находится в равновесии, если его потенциальная энергия минимальная или максимальная. Однако в положении с минимальной потенциальной энергией равновесие устойчиво, а в положении с максимальной энергией — неустойчиво. Поэтому палочка может находиться в устойчивом равновесии только тогда, когда она лежит на одной из плоскостей. Палочка будет колбаться, почередно ударяясь о каждой плоскости и затем отскакивая от нее.

Из-за тяжесте палочки будет затухать, и через достаточно большое время палочка оставится у одной из плоскостей.

Интересно разобрать случай, когда трене не мало. Попробуйте это сделать самостояльно, а мы рассмотрим такой случай в одном из близких номеров журнала.

И. Ш. Словодецкий