Закон Ома для неоднородного участка цепи

59

Закон Ома для учаска электричской цепи, позволяющий расширять силу текущего по нему тока, имеет следующий вид:

$$I = \frac{U}{R}.$$

В этой формуле $R$ — сопротивление учаска цепи, $U$ — разность потенциальной начальной и конечной точек учаска, то есть

$$U = \varphi_1 - \varphi_2.$$

Однако записанный в таком виде закон применим не всегда. Чтобы показать это, рассмотрим простейшую цепь, состоящую из источника

$$\begin{array}{c} I \\ R \end{array}$$

Рис. 1.

тока с электродвижущей силой $E$ и внутренним сопротивлением $r$ и сопротивления $R$ (рис. 1). Разобъем эту цепь на два учаска $ARB$ и $BEA$. В применинии к учаску $ARB$ формула (1) дает:

$$I_R = \frac{U_{AB}}{R} = \frac{\varphi_A - \varphi_B}{R}.$$

Попробуем воспользоваться той же формулой (1) для вычисления силой тока, ищено по учаску $BEA$. Началом и конец его является соответственную точки $B$ и $A$. Поэтому

$$I_E = \frac{U_{BA}}{r} = \frac{\varphi_B - \varphi_A}{r}.$$

Если не обращать внимание на знак, числители выражений (2) и (3) совпадают, тогда как знаменатель, вообше говоря, различны. Следовательно, приходится заключить, что

$$I_R \neq I_E,$$

а это, конечно, нелено, поскольку в неразвлекательной цепи сила тока должна быть всюду одинакова. Причина ошибки заключается в том, что формула (1) применена только к однородным учаскам цепи, то есть к учаскам, не содержащим источников тока (гальванических элементов, аккумуляторов, диамомашин, фотоэлементов и т. д.). Участок $BEA$ является неоднородным — он содержит источник тока с э. d. c.

Как же выглядит формула закона Ома для неоднородного учаска цепи? Оказывается, нужное выражение легко получить из закона Ома для замкнутой цепи

$$I = \frac{E}{R + r}.$$

Приведем равенство (4) к общему знаменателю:

$$IR + Ir = E.$$

В первое слагаемое входят величины, относящиеся к однородному учаску $ARB$ (см. рис. 1), и на основании равенства (1) мы можем записать

$$IR = U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B.$$

Тогда выражение (5) можно переписать в следующем виде:

$$Ir = E + (\varphi_B - \varphi_A),$$

откуда

$$I = \frac{E + (\varphi_B - \varphi_A)}{r} = \frac{E + U_{BA}}{r}.$$

При выводе формулы (6) мы рассматривали неоднородный учасок цепи, сопротивление которого состоит из внутреннего сопротивления источника. В общем случае

60

неоднородный участок цепи может содержать различные сопротивления (в частиности, иногда следует учитывать сопротивление проводов), и формула (6) записьвается тогда в виде

$$I = \frac{(\varphi_1 - \varphi_2) + E}{R_\pi},$$

где $R_\pi$ — полное сопротивление участка.

Из формулы (7) как частные случаи следует законы Ома для замкнутой цепи и для однородного участка цепи.

Действительно, для замкнутой цепи $\varphi_1 = \varphi_2$ (поскольку в этом случае начало и конец «участка» совпадает). Тогда из формулы (7) имеем

$$I = \frac{E}{R_\pi}.$$

В случае однородного участка цепи $E = 0$ и формула (7) принимает вид

$$I = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{R}.$$

(Здесь $R$ уже не содержит внутреннего сопротивления источника.)

При использовании формулы (7) для решения задач следует помнить, что э. д. с. считается положительной, если при движении вдоль однородного участка цепи от его начала к концу мы сначала проходим отрицательный полос, а затем положительный. Если в результате решения для величины силы ток получается отрицательное значение, то это означает, что ток на участке цепи идет в «обратном» направлении, то есть от конца участка к началу.

Рассмотрим теперь несколько задач, которые легко решаются с помощью формулы (7).

Задание 1. Определить ток, идущий по изображению на рисунке 2 участку $AB$. Э. д. с. источник

Рис. 2.

ника $E = 20 \text{ } \theta$, внутреннее сопротивление $r = 1 \text{ } \omega$; потенциаль точек $A$ и $B$ соответственно $\varphi_A = 15 \text{ } \theta$, $\varphi_B = 5 \text{ } \theta$; сопротивление проводов $R = 3 \text{ } \omega$.

Решение. Считая началом участка точки $A$, а концом — точки $B$, и берея поэтому э. д. с. со знаком «минус», получим по формуле (7):

$$I = \frac{(15\theta - 5\theta) - 20\theta}{3\omega + 1\omega} = -2,5 \text{ } a.$$

Отрицательный знак показывает, что ток идет в направлении $B \rightarrow A$, то есть от точки с меньшим потенциалом к точки, потенциаль которого больше. Между прочим, это «противоестественное» поведение тока обычно и наблюдается внутри всех источников тока.

Задание 2. Два элемента соединены «навстречу» друг другу (рис. 3). Определить разность потенциальных тока $A$ и $B$

Рис. 3.

(на зажимах батареи), если $E_1 = 1,4 \text{ } \theta$, $r_1 = 0,4 \text{ } \omega$; $E_2 = 1,8 \text{ } \theta$, $r_2 = 0,6 \text{ } \omega$.

Решение. Формула (7) в применении к участку $AE_2B$ дает

$$I = \frac{(\varphi_A - \varphi_B) + E_2}{r_2}.$$

Для участка $BE_1A$ имеем

$$I = \frac{(\varphi_B - \varphi_A) - E_1}{r_1} = -\frac{(\varphi_A - \varphi_B) + E_1}{r_1}.$$

Поскольку ток на обихх участках один и тот же (цель неразввленная), можно приравнять правые части этих выражений и решить уравнение, которое получится,