ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА
У французского императора Наполеона было увлечение (подробнее об этом смотрите, например, «Занимательную геометрию» Я. И. Перельмана) — составление геометрических задач. Некоторые задачи Наполеона отличаются простой постановки и допускают изящные решения.
На первой странице обложки (сверху) приведен рисунок к условию геометрической задачи, которая, согласно замечтеке французского журнала «Mathesis», (1938 г.), была составлена Наполеоном.
Каждая из сторон произвольного треугольника (он окрашен в зеленьй цвет) поделена точками на три равных отрезка. На средних отрезках построены внешним образом равносторонние треугольники (они окрашены в красный цвет). Тогда вершины треугольников, не лежащие на сторонах зеленьного треугольника, образуют треугольник, стороны которого окрашены синим цветом. Требуется доказать, что последний треугольник равносторонний.
Для доказательства проведем дополнительное построение: соединим отрезкиами соседние вершины треугольников. Мы получим треугольники, окруженные орangesым цветом. Каждый из углов, отмещенных на рисунке 1 дугами, равен 120°. Кроме того, заменаем, что треугольники, которые составляются из двух орangesых и одной красной части, равноведенные, и что сумма «внешних» углов при вершинах трех треугольников, основаниями которых служат синее отрезки, равна 360°. Затем вырезаем из плоскости чертежа и шарниро поворачиваем вокруг точки E и C два треугольника, как показано на рисунке 2.
В результате получаются два треугольника с общей стороной EC, приведенные на рисунке 3. Эти треугольники равны по сторонам. Суммы пар углов, выделенных дугами у вершин E и C, составляют по 120°. Следовательно, на каждый из углов, принадлежих общему основанию этих треугольников, приходится по 60°. Треугольник с синими сторонами действительно оказывается равносторонним.
А что на втором рисунке на обложке? Оказывается, если на средних отрезках на сторонах исходного треугольника построены рав-