Варианты вступительных экзаменов по математике 1971 года

51

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Физический факультет

1. Решить уравнение:
   $$3tg x (7 + \cos 2x) = 2 (\cos 2x - 1).$$
2. Решить неравенство
   $$\log_3^2 x + 2 \log_9 (x^2) < 2.$$
3. Автомобиль едет из пункта A в пункт C. От пункта A до пункта B, расположенного между A и C, он едет со скоростью 48 км/ч. В пункте B он уменшает свою скорость на a km/ч (0 < a < 48) и с этой скоростью проезжает треть пути от B до C. Оставшуюся часть пути от B до C он едет со скоростью, которая на 2a km/ч превышает первоначальную скорость 48 km/ч. При каком значении a автоматically быстрое всего проделает путь от B до C?
4. В правильную четырехугольную прямоугольную с вершиной S и основанием ABCD вписана сфера. Сторона основания равна a, боковое ребро равно $\frac{a \sqrt{5}}{2}$. На апофете SE грани DSC взята точка M так, что SM = ME. Найти расстояние между точками, в которых прямая AM пересекает сферу, вписанную в прямоугольную.
5. Пятугольник ABCDE вписан в окружность. Точка M, Q, N и P являются основаниями перpendикularов, опущенных из вершины E соответствующего на стороны AB, BC, CD (или их продолжения) и диагональ AD. Известно, что EP = d, а отношение площади треугольника MQE к площади треугольника PNE равно k. Найти длину отрезка EM.

Факультет психологии

1. Вычислить без помощью таблицы
   $$\frac{\log_2 24}{\log_9 2} - \frac{\log_2 192}{\log_{12} 2}.$$

2. Дан куб с основанием ABCD и боковым ребрами AA’, BB’, CC’, DD’. На продолжении ребер AB и BB’ соответствующего отрезки AM и B’N длины AM = $\frac{1}{2}$ AB и B’N = 2B’B ($BM = \frac{3}{2} AB; BN = 3BB'$). Где на ребре CC’ надо выбрать точку P, чтобы сечением куба плоскостью, проведенной через точки M, N и P, был четырехугольник?

3. Найти все значения x, для которых
   $$\min \left\{ 1 - x^2, \frac{1-x}{2} \right\} > \frac{1}{2}.$$

4. Рабочий изготовил некоторое количество деталей видов A и B, причем деталей A он изготовил больше, чем деталей B. Если бы он изготовил деталей A в 2 раза больше, то общее число деталей было бы меньше 32, а если бы он изготовил деталей B в 2 раза больше, то общее число деталей было бы больше 28. Сколько деталей A и сколько деталей B изготовил?

5. При каких значениях a уравнение
   $$\sin^2 3x - \left(a + \frac{1}{2}\right) \sin 3x + \frac{a}{2} = 0$$
   имеетровно три корня, расположенные на отрезке $\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \pi$?

Московский институт инженеров железнодорожного транспорта

Специальности:
промышленное и гражданское строительство, экплигация транспорта, экономика транспорта, строительство железных дорог

1. Экскаватор должен вырить котлован объемом 120 000 м³ в назначенный срок (не более месяц). Если бы он ежедневно вынимал на 100 м³ грунта больше, то затратил бы на выполнение всех работ на 14 дней больше того времени, которое он трапит, чтобы вырить $1/3$ котлована, работая по плану. В какой срок был вырить котлован?

2. Решить уравнение
   $$\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2.$$

3. Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорда проведена касательная к окружности, а через другой конец — секущая параллельно касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см.

4. Доказать точестство
   $$4 \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha}.$$

52

Специальности: автоматика, телемеханика и связи, электрификация транспорта, мосты и туннели

1. Двое должны выполнить некоторую работу. Вначале 2 ч работы первый, затем присоединился второй и вместе они работали 1 ч. Оставшуюся после этого работу второй заканчивается за 3 ч. За какое время каждый может выполнить всю работу, если первому для выполнения работы нужно на 2 ч меньше, чем второму?

2. Решить систему

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 + \frac{y}{2}, \\ \log_3 (x + 2y) + \log_3 (x - 2y) = 1. \end{cases}$$

3. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в $\frac{4}{3}$ раза.

4. Решить уравнение

$$\sin^4 x + \cos^4 x - 2 \sin 2x - \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0.$$

Специальности: прикладная математика, автоматизированные системы управления, электронные счетно-решище мащины

1. Три совхоза расположены не на одной прямой. Расстояние от первого до третьго через второй вчетверго длине пути между ними. Расстояние от первого до второго через третий на a длине прямого пути. Расстояние от второго до третьго через первый равно 185 км. В каком интервале находится значение a, для которых было бы возможно указынное расположение совхозов?

2. Решить уравнение

$$1 - 2x - x^2 = tg^2 (x + y) + ctg^2 (x + y).$$

3. Диагональ прямого параллелепида равна d и составляет с плоскостью основания угол α, а с одной из боковых граней β. Определить объем параллелепида.

4. Решить уравнение

$$\sqrt{1 - 2 \sin 4x} + \sqrt{6} \cos 2x = 0.$$

Уральский государственный университет

Matematiko-mеханический факультет

1. Число 1 + $\sqrt{2}$ является корнем уравнения

$$x^3 + ax^2 + bx + 2 = 0.$$

Найти коэффициенты a, b уравнения и все его корни при условии, что a и b – рациональные числа.

2. Треугольник AOB повернуть в своей плоскости вокруг точки O на 90°, причем вершина A перешала в вершину A1, а B – в B1. Доказать, что в треугольнике OAB1 медиана, опущенная на сторону AB1, перpendикулярна A1B, а в треугольнике OA1B медиана, опущенная на сторону A1B, перpendикулярна AB1.

3. При каких x и y имеет место неравенство

$$\log_3 x + \log_3 3 + 2 \cos y \leq 0?$$

4. Найти все значения параметров a и b, при которых система

$$\begin{cases} x + y = a, \\ \lg x + \lg y + \lg x \lg y = b \end{cases}$$

имет решение.

5. Решить уравнение

$$\log_3 x + \log_3 3 + 2 \cos y \leq 0?$$

6. Найти все значения параметров a и b, при которых система

$$\begin{cases} x + y = a, \\ \lg x + \lg y + \lg x \lg y = b \end{cases}$$

имет решение.

7. По кольцевой железной дороге от пункта A1 отправляется по пути A2, A3, …, An, снова A1, A2, A3, …, An и так далее. Известно, что каждый последующий переgon между соседними пунктами поедет проходит со средней скоростью в q раз больше, чем средняя скорость на предыдущем переgon. Определить, во сколько раз времени на прохождение m полных кругов, больше времени, потраченного на первый круг.

8. Через точку M, лежащую внутри круга радиуса r, проведены диаметр AB и хорда CD так, что $\Rightarrow BMD = \alpha$, $\Rightarrow BDM = \beta$. Найти площадь треугольника MBD.

9. Решить неравенство:

$$\log_3 (x^3 + 1) \log (x + 1) x > 2.$$

4. При каких значениях a уравнение

$$\frac{\sin x - 1}{\sin x - 2} + a = \frac{2 - \sin x}{3 - \sin x}$$

имет решение? Найти решение.

Московский инженерно-физический институт

Вариант 1

1. Если двухначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если же число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найти это число.

2. В трапеции, основания которой a и b, через точку пересечения диагональной проведена прямая, параллельная основанием. Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковым сторонами трапеции.

3. Решить неравенство

$$\sqrt{x} + \sqrt{x + 7} + 2 \sqrt{x^2 + 7x} < 35 - 2x.$$

4. Решить уравнение

$$\cos (\pi \sqrt{x - 4}) \cos (\pi \sqrt{x}) = 1.$$