Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1971

51

Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

Khoa Vật lý

1. Giải phương trình:
   $$3tg x (7 + \cos 2x) = 2 (\cos 2x - 1).$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3^2 x + 2 \log_9 (x^2) < 2.$$
3. Một ô tô đi từ điểm A đến điểm C. Từ điểm A đến điểm B, nằm giữa A và C, nó chuyển động với vận tốc 48 km/h. Tại điểm B, người đó giảm vận tốc đi một km/h (0 < a < 48) và với vận tốc này người đó đi được một phần ba quãng đường từ B đến C. Quãng đường còn lại từ B đến C người đó đi với vận tốc cao hơn 2a km/h so với vận tốc ban đầu là 48 km/h. Với giá trị nào của a thì một người sẽ tự động đi nhanh nhất từ ​​B đến C?
4. Một hình cầu nội tiếp trong hình chữ nhật tứ giác đều có đỉnh S và đáy ABCD. Cạnh của đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{a \sqrt{5}}{2}$. Trên điểm trung bình SE của mặt DSC, lấy điểm M sao cho SM = ME. Tìm khoảng cách giữa các điểm mà tại đó đường thẳng AM cắt một hình cầu nội tiếp hình chữ nhật.
5. Ngũ giác ABCDE nội tiếp trong một đường tròn. Các điểm M, Q, N và P là đáy của các đường vuông góc hạ từ đỉnh E tương ứng với các cạnh AB, BC, CD (hoặc phần kéo dài của chúng) và đường chéo AD. Biết EP = d, tỉ số diện tích tam giác MQE và diện tích tam giác PNE bằng k. Tìm độ dài đoạn EM.

Khoa Tâm lý học

1. Tính toán không dùng bảng
   $$\frac{\log_2 24}{\log_9 2} - \frac{\log_2 192}{\log_{12} 2}.$$

2. Cho hình lập phương có đáy ABCD và các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’. Trên phần tiếp theo của các cạnh AB và BB’ của các đoạn tương ứng AM và B’N có độ dài AM = $\frac{1}{2}$ AB và B’N = 2B’B ($BM = \frac{3}{2} AB; BN = 3BB'$). Trên cạnh CC’ phải chọn điểm P sao cho tiết diện của hình lập phương qua mặt phẳng vẽ qua các điểm M, N và P là một tứ giác?

3. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho
   $$\min \left\{ 1 - x^2, \frac{1-x}{2} \right\} > \frac{1}{2}.$$

4. Một công nhân sản xuất một số bộ phận loại A và B nhất định, và anh ta sản xuất nhiều bộ phận A hơn bộ phận B. Nếu anh ta sản xuất nhiều bộ phận A gấp 2 lần thì tổng số bộ phận sẽ nhỏ hơn 32, và nếu anh ta sản xuất nhiều bộ phận B gấp 2 lần thì tổng số bộ phận sẽ lớn hơn 28. A đã làm được bao nhiêu bộ phận và bao nhiêu bộ phận B?

5. Với giá trị nào của a thì phương trình
   $$\sin^2 3x - \left(a + \frac{1}{2}\right) \sin 3x + \frac{a}{2} = 0$$
   có chính xác ba nghiệm nằm trên đoạn $\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \pi$?

Viện kỹ sư vận tải đường sắt Moscow

Đặc sản:
kỹ thuật công nghiệp và dân dụng, mô hình giao thông vận tải, kinh tế vận tải, xây dựng đường sắt

1. Máy đào phải đào hố có thể tích 120.000 m³ trong thời gian được chỉ định (không quá một tháng). Nếu anh ta đào thêm 100 m³ đất mỗi ngày, anh ta sẽ mất thêm 14 ngày để hoàn thành mọi công việc so với thời gian đào $1/3$ hố, làm việc theo kế hoạch. Đào hố mất bao lâu?

2. Giải phương trình
   $$\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2.$$

3. Dây của một đường tròn là 10 cm. Một tiếp tuyến của đường tròn được vẽ qua một đầu của dây cung và một đường cát tuyến song song với tiếp tuyến được vẽ qua đầu kia. Xác định bán kính của đường tròn nếu đoạn trong của cát tuyến là 12 cm.

4. Chứng minh tính chính xác
   $$4 \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha}.$$

52

Chuyên ngành: tự động hóa, cơ điện tử và truyền thông, điện khí hóa giao thông, cầu và đường hầm

1. Hai người phải làm một số việc. Lúc đầu người thứ nhất làm 2 giờ, sau đó người thứ hai cùng làm và họ làm chung trong 1 giờ. Sau đó người thứ hai hoàn thành công việc còn lại trong 3 giờ. Mọi người có thể làm xong công việc đó trong bao lâu nếu người thứ nhất làm xong công việc ít hơn người thứ hai 2 giờ?

2. Giải quyết hệ thống

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 + \frac{y}{2}, \\ \log_3 (x + 2y) + \log_3 (x - 2y) = 1. \end{cases}$$

3. Một hình tròn nội tiếp trong một hình thoi có cạnh là 20cm. Tìm diện tích hình tròn nếu một đường chéo của hình thoi lớn hơn đường chéo kia $\frac{4}{3}$ lần.

4. Giải phương trình

$$\sin^4 x + \cos^4 x - 2 \sin 2x - \frac{3}{4} \sin^2 2x = 0.$$

Chuyên ngành: toán ứng dụng, hệ thống điều khiển tự động, máy tính điện tử

1. Ba trang trại nhà nước không nằm trên cùng một đường thẳng. Khoảng cách từ điểm thứ nhất đến điểm thứ ba đến điểm thứ hai gấp bốn lần độ dài đường đi giữa chúng. Khoảng cách từ điểm thứ nhất đến điểm thứ hai đến điểm thứ ba trên a là độ dài của đoạn đường thẳng. Quãng đường từ ô tô thứ hai đến ô tô thứ ba đến ô tô thứ nhất là 185 km. Trong khoảng thời gian nào giá trị của a mà tại đó vị trí của các trang trại nhà nước có thể được chỉ định?

2. Giải phương trình

$$1 - 2x - x^2 = tg^2 (x + y) + ctg^2 (x + y).$$

3. Đường chéo của một hình bình hành bên phải bằng d và tạo một góc α với mặt phẳng đáy và β với một trong các mặt bên. Xác định thể tích của hình bình hành.

4. Giải phương trình

$$\sqrt{1 - 2 \sin 4x} + \sqrt{6} \cos 2x = 0.$$

Đại học bang Ural

Khoa cơ khí Matematiko

1. Số 1 + $\sqrt{2}$ là nghiệm của phương trình

$$x^3 + ax^2 + bx + 2 = 0.$$

Tìm các hệ số a, b của phương trình và tất cả các nghiệm của nó, với điều kiện a và b là các số hữu tỷ.

2. Tam giác AOB được quay trong mặt phẳng quanh điểm O một góc 90°, với đỉnh A di chuyển đến đỉnh A1 và B đến đỉnh B1. Chứng minh rằng trong tam giác OAB1 đường trung tuyến hạ xuống cạnh AB1 vuông góc với A1B và trong tam giác OA1B đường trung tuyến hạ xuống cạnh A1B vuông góc với AB1.

3. Tại điểm x và y nào thì bất đẳng thức xảy ra?

$$\log_3 x + \log_3 3 + 2 \cos y \leq 0?$$

4. Tìm tất cả các giá trị của tham số a và b mà hệ thống

$$\begin{cases} x + y = a, \\ \lg x + \lg y + \lg x \lg y = b \end{cases}$$

có lời giải.

5. Giải phương trình

$$\log_3 x + \log_3 3 + 2 \cos y \leq 0?$$

6. Tìm tất cả các giá trị của tham số a và b mà hệ thống

$$\begin{cases} x + y = a, \\ \lg x + \lg y + \lg x \lg y = b \end{cases}$$

có lời giải.

7. Trên đường sắt vành đai từ điểm A1 đi dọc theo tuyến đường A2, A3, …, An, lại là A1, A2, A3, …, An, v.v. Được biết, mỗi chặng tiếp theo giữa các điểm lân cận sẽ di chuyển với tốc độ trung bình q lớn hơn tốc độ trung bình ở chặng trước. Xác định xem thời gian để hoàn thành m vòng tròn lớn hơn bao nhiêu lần thời gian dành cho vòng tròn đầu tiên.

8. Qua điểm M nằm trong đường tròn bán kính r vẽ đường kính AB và dây CD sao cho $\Rightarrow BMD = \alpha$, $\Rightarrow BDM = \beta$. Tìm diện tích tam giác MBD.

9. Giải bất đẳng thức:

$$\log_3 (x^3 + 1) \log (x + 1) x > 2.$$

4. Với giá trị nào của a thì phương trình

$$\frac{\sin x - 1}{\sin x - 2} + a = \frac{2 - \sin x}{3 - \sin x}$$

có lời giải? Tìm lời giải.

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

Tùy chọn 1

1. Nếu một số có hai chữ số chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương 4 và dư 3. Nếu số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương 3 và dư 5. Tìm số này.

2. Trong một hình thang có hai đáy là a và b, kẻ một đường thẳng song song với đáy đi qua giao điểm của đường chéo. Tìm độ dài đoạn thẳng bị cắt bởi các cạnh của hình thang.

3. Giải bất đẳng thức

$$\sqrt{x} + \sqrt{x + 7} + 2 \sqrt{x^2 + 7x} < 35 - 2x.$$

4. Giải phương trình

$$\cos (\pi \sqrt{x - 4}) \cos (\pi \sqrt{x}) = 1.$$