Bài toán M146—M150; F158—F162

36

NHIỆM VỤ

Lời giải bài toán có thể được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tương ứng của tạp chí tới địa chỉ: 117071, Moscow V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy cho biết lời giải bạn đang gửi bài toán nào; ví dụ: “Sự cố «Kvant», M146, M148.” Ở phần đầu của bức thư, hãy cho biết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà, cũng như lớp và trường nơi bạn học.

M146.a) Các quân đen và trắng được đặt ở các đỉnh của hình 7 giác đều. Chứng minh rằng có ba mảnh cùng màu nằm ở các đỉnh của một tam giác đều.

6. Tuyên bố tương tự có đúng với hình bát giác không?

c) * Tìm ra phát biểu tương tự cho n-giác thông thường nào là đúng và phát biểu nào không.

A. Romanov

M147. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn sao cho các tiếp tuyến của đường tròn tại A và C cắt nhau trên phần kéo dài của đường chéo BD thì

a) các tiếp tuyến tại các điểm B và D cắt nhau dọc theo đoạn tiếp theo của đường chéo AC;

6. Các đường phân giác của các góc trong A và C của tứ giác cắt nhau trên đường chéo BD (và các góc B và D trên AC).

I. F. Sharyzin

M148. Trình tự $x_0, x_1, x_2, \dots$ được xác định bởi các điều kiện sau: $x_0 = 1, x_1 = \lambda$, với mọi $n > 1$ $(\alpha + \beta)^n x_n = \alpha^n x_n x_0 + \alpha^{n-1} \beta x_{n-1} x_1 + \alpha^{n-2} \beta^2 x_{n-2} x_2 + \dots + \beta^n x_0 x_n$. Ở đây $\lambda, \alpha, \beta$ là số dương. Tìm $x_n$ và tìm ra tại đó $n$ giá trị của $x_n$ sẽ lớn nhất.

A. L. Lopshits

M149. Gọi $O$ là giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng

a) nếu các tứ giác ABC, BCD, CDA và DAB có chu vi bằng nhau thì ABCD là hình chữ nhật;

6. nếu các tứ giác ABO, BCO, CDO và DAO có chu vi bằng nhau thì ABCD là hình thoi.

N. B. Vasiliev

M150*. Từ các số 1, 2, …, $k$ tạo ra tất cả các tập hợp có thể có $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ có độ dài $n$ (dễ dàng nhận thấy có $k^n$ trong số đó). Hai tập hợp con $P$ và $Q$ của các tập hợp đó được chọn (có thể bao gồm cùng một tập hợp trong $P$ và $Q$). Được biết, nếu chúng ta lấy một tập hợp tùy ý $(p_1, p_2, \dots, p_n)$ từ $P$ và một tập hợp tùy ý $(q_1, q_2, \dots, q_n)$ từ $Q$, thì chúng sẽ trùng nhau ít nhất ở một chỗ (tức là, $p_i = q_i$ đối với một số $i$). Khi đó có nhiều nhất $k^{n-1}$ bộ trong $P$ hoặc $Q$.

Chứng minh tuyên bố này

a) cho $k = 2$ và bất kỳ $n$ nào;

b) cho $n = 1, 2, 3$ và bất kỳ $k \geq 2$ nào;

b) cho $k \geq 2$ và $n \geq 1$ tùy ý.

Cố gắng tìm các hạn chế khác về số lượng phần tử trong tập hợp con $P$ và $Q$ liên quan đến các điều kiện đó.

V. B. Alekseev

F158. Một quả tạ nằm ngang rơi từ độ cao $h$ và được nhấc ra bằng một đầu của nó đặt trên bàn

39

Hãy xem xét sự khác biệt
$$f_1(x) - f_2(x) = f_3(x).$$
(1)

Lưu ý rằng $p_1 - p_2 \neq 0$, vì nếu $p_1 - p_2 = 0$ thì $R = (q_1 - q_2)^2 \geq 0$, điều này mâu thuẫn với các điều kiện. Do đó, phương trình $f_3(x) = 0$ có nghiệm $\gamma = -\frac{q_1 - q_2}{p_1 - p_2}$, và tất nhiên, $f_3(x)$ có thể được viết như sau:
$$f_3(x) = (p_1 - p_2)(x - \gamma).$$
(2)

Hơn nữa, như sau từ (1),
$$f_1(\gamma) = f_2(\gamma).$$
(3)

Bây giờ tam thức bình phương $f_2(x)$ (nhân với hệ số $(p_1 - p_2)^2$ “chia cho số dư” cho $f_3(x)$, tức là ta viết đẳng thức
$$(p_1 - p_2)^2 f_2(x) = f_3(x) g(x) + R.$$

Không phải ngẫu nhiên mà chúng ta sử dụng cùng một chữ cái $R$: phần dư bằng tên của biểu thức $R$ cho trong điều kiện bài toán. Thật sự,
$$(p_1 - p_2)^2 (x^2 + p_2x + q_2) = [(p_1 - p_2)x + (q_1 - q_2)][(p_1 - p_2)x + (p_1 - p_2)p_2 - (q_1 - q_2)] + (q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1).$$

Thay $\gamma$ vào (4), chúng ta thu được (có tính đến $f_3(\gamma) = 0$):
$$(p_1 - p_2)^2 f_2(\gamma) = R < 0.$$

Pozny $f_1(\gamma) = f_2(\gamma) < 0$. Do đó (theo tính chất (1)) cả hai phương trình đều có hai nghiệm thực. Hãy để chúng tôi biểu thị sự tương ứng của họ bằng $\alpha_1, \beta_1$ và $\alpha_2, \beta_2$. Sau đó
$$f_2(x) = (x - \alpha_2)(x - \beta_2).$$
(6)

Bây giờ, sử dụng tuần tự (1), (2), (6) và (5), chúng tôi nhận được:
$$f_1(\alpha_2) f_1(\beta_2) = f_3(\alpha_2) f_3(\beta_2) = (p_1 - p_2)^2 (\alpha_2 - \gamma)(\beta_2 - \gamma) = (p_1 - p_2)^2 f_2(\gamma) = R < 0,$$
(7)

do đó (theo tính chất (2)) các nghiệm của phương trình giao nhau.

Bằng cách sử dụng biểu đồ, kết quả bài toán và sự tương ứng chính trong lời giải (5) của chúng tôi có thể được giải thích bằng hai từ (Hình 2). Nền tảng đại số của lời giải của chúng tôi sâu sắc hơn.

Từ lời giải của chúng tôi và từ Hình 2, rõ ràng là mô hình $R = 0$ tương tự khi tam thức bậc hai $f_1$ và $f_2$ có một nghiệm chung (hoặc trùng nhau). Lời vu khống này có thể được sử dụng trong các bài toán thuộc loại này: các số $\lambda$ và $\mu$ phải thỏa mãn những điều kiện nào để phương trình $x^2 + \lambda x - 1 = 0$ và $x^2 + \mu x - \lambda x + \mu = 0$ có nghiệm? Chỉ cần thay thế các giá trị $p_1 = \lambda$, $q_1 = -1$, $p_2 = \mu - \lambda$, $q_2 = \mu$ vào biểu thức $R$ là đủ và điều kiện bắt buộc đã sẵn sàng:
$$(\mu + 1)^2 + (2\lambda - \mu)(\mu - \lambda + \mu\lambda) = 0.$$

Chứng tỏ rằng với hai đa thức có bậc tùy ý
$$f_1(x) = a_1x^n + b_1x^{n-1} + \dots + c_1,$$
$$f_2(x) = a_2x^m + b_2x^{m-1} + \dots + c_2$$

có thể viết đa thức $R$ trong $a_1, a_2, b_1, b_2, \dots, c_1, c_2$ sao cho điều kiện $R = 0$ được thỏa mãn khi $f_1$ và $f_2$ có ước chung (đa thức trong $x$ bậc 1 trở lên). $R$ được gọi là kết quả của đa thức $f_1$ và $f_2$.

Trong khóa học đại số cao hơn, một biểu diễn ngắn gọn của kết quả được đưa ra dưới dạng “định thức” bao gồm các hệ số $f_1$ và $f_2$.

Khái niệm kết quả trở nên đặc biệt tùy tiện khi $f_1$ và $f_2$ được phân tích thành hệ số tuyến tính:
$$f_1 = a_1(x - \alpha_1)(x - \beta_1) \dots (x - \gamma_1),$$
$$f_2 = a_2(x - \alpha_2)(x - \beta_2) \dots (x - \gamma_2)$$

40

(điều này luôn đúng với một tập hợp các số phức, bởi vì bất kỳ đa thức nào ở đó đều có nghiệm). Khi đó, như có thể chứng minh,

$$R = R(f_1, f_2) = a_1^m a_2^n (\alpha_1 - \alpha_2)(\beta_1 - \alpha_2) \dots (\gamma_1 - \gamma_2),$$

(8)

trong đó sản phẩm được lấy trên tất cả các tham số $f_1$ và $f_2$ (nghĩa là nó có các thành phần $mn$). Kiểm tra xem có $R = (\alpha_1 - \alpha_2)(\beta_1 - \alpha_2)(\alpha_1 - \beta_2)(\alpha_2 - \beta_2)$ trong bài toán của chúng tôi hay không và nghĩ về cách sử dụng biểu thức $R$ này thông qua các nghiệm (có thể là phức!) của tam thức vuông để giải bài toán theo cách khác. Từ đẳng thức (8) suy ra đẳng thức sau, mà chúng ta đã gặp trong trường hợp một phần:

$$R = a_1^m f_2(\alpha_1) f_2(\beta_1) \dots f_2(\gamma_1) =$$

$$= (-1)^{mn} a_2^n f_1(\alpha_2) f_1(\beta_2) \dots f_1(\gamma_2).$$

Thuộc tính chính của kết quả, có tính đến các phức nghiệm, có thể được xây dựng như sau: $R = 0$ modda và molko modda, koeda $f_1$ và $f_2$ có ​​một gốc chung.

M107

a) Cho một đa giác lồi $A_1A_2 \dots A_n$ (Hình 3). Ở bên $A_1A_2$ điểm $B_1$ và $D_2$ được lấy, ở bên $A_2A_3$ - điểm $B_2$ và $D_3$, … ở bên $A_nA_1$ điểm $B_n$ và $D_1$ sao cho nếu chúng ta dựng hình bình hành $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, …, $A_nB_nC_nD_n$ thì các đường $A_1C_1$, $A_2C_2$, …, $A_nC_n$ sẽ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng

$$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \dots \cdot A_nB_n =$$

$$= A_1D_1 \cdot A_2D_2 \dots \cdot A_nD_n.$$

b) Chứng minh rằng mệnh đề ngược lại cũng đúng cho tam giác: chọn các điểm $B_1$ và $D_2$ ở cạnh trống $A_1A_2$, chọn các điểm $B_2$ và $D_3$ ở cạnh $A_2A_3$, các điểm $B_3$ và $D_1$ ở cạnh $A_3A_1$ sao cho $A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot A_3B_3 = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot A_3D_3$; khi đó, nếu chúng ta dựng các hình bình hành $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $A_3B_3C_3D_3$ thì các đường thẳng $A_1C_1$, $A_2C_2$ và $A_3C_3$ sẽ cắt nhau tại một điểm.

a) Gọi $O$ là giao điểm. Viết đẳng thức cần chứng minh như sau (chuyển tất cả các thành phần sang mẫu số, gạch chéo $A_1D_1$ ở cuối):

$$\frac{A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot \dots \cdot A_nB_n}{A_2D_2 \cdot A_3D_3 \cdot \dots \cdot A_nD_n} = 1.$$

Bây giờ chúng ta lưu ý rằng tỷ số của các đoạn $A_1B_1/D_2A_2$, $A_2B_2/D_3A_3$, …, $A_nB_n/D_1A_1$ lần lượt là tỷ số diện tích của các hình tam giác (chúng ta ký hiệu diện tích của tam giác $MNL$ như sau: $S(MNL))$

$$\frac{S(A_1B_1O)}{S(D_2A_2O)}, \frac{S(A_2B_2O)}{S(D_3A_3O)}, \dots, \frac{S(A_nB_nO)}{S(D_1A_1O)},$$

vì vậy đẳng thức chúng ta cần có thể được viết như thế này:

$$\frac{S(A_1B_1O) \cdot S(A_2B_2O) \cdot \dots \cdot S(A_nB_nO)}{S(A_2D_2O) \cdot S(B_3D_3O) \cdot \dots \cdot S(B_nD_nO) \cdot S(A_1D_1O)} = 1;$$

42

giữa các điểm $A$ và $C$ và giữa các điểm $C$ và $B$. Sau đó, bằng cách giải hệ sáu phương trình với sáu ẩn số, có thể tìm thấy các điện trở $r_1$, $r_2$ và $r_3$.

Tất nhiên, phương pháp này không thể được coi là thành công, đặc biệt là vì không có độc giả nào gửi cho chúng tôi lời giải này thành công trong việc giải hệ phương trình này ở dạng tổng quát. Người tham gia vòng cuối cùng của Olympic toàn Liên minh do bài toán này đưa ra cũng không giải được.

F124

Ánh sáng từ nguồn $S$ truyền tới màn sẽ truyền qua một khối thủy tinh đứng yên có cạnh $l$ (Hình 11). Ánh sáng tới màn hình nhanh hơn bao nhiêu nếu khối lập phương được di chuyển với tốc độ $v$? Tốc độ ánh sáng trong không khí là $c$, chiết suất của ống khói là $n$ ($v \ll c$, $n \gg 1$).

Tốc độ ánh sáng trong thủy tinh là $c' = \frac{c}{n}$. Ánh sáng truyền qua khối thủy tinh theo thời gian $t = \frac{l}{c'} = \frac{\ln c}{c}$. Trong thời gian này khối lập phương di chuyển một khoảng cách $x = vt = \frac{v \ln c}{c}$. Đường đi của ánh sáng trong không khí giảm đi khoảng cách này so với trường hợp khối lập phương đứng yên. Điều này có nghĩa là thời gian để ánh sáng tới màn hình giảm đi $\Delta t = \frac{x}{c} = \frac{v \ln c}{c^2}$.

Một số độc giả đã đưa ra lời giải nghiêm ngặt hơn cho bài toán này, có tính đến các hiệu ứng liên quan đến thuyết tương đối. Chúng tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết lời giải này. Chúng ta chỉ lưu ý rằng khi tính đến “các hiệu ứng tương đối tính”, tốc độ ánh sáng trong một khối thủy tinh chuyển động phải được coi không phải bằng $c' = \frac{c}{n}$ mà bằng $c'' = \frac{c' + v}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{(c + nv)c}{nc - v}$.

Đồng thời, độ dài của khối lập phương trong hệ tọa độ cố định bằng $l$ và $l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Do đó, cần phải tính đến không chỉ sự giảm đường đi của ánh sáng trong không khí do chuyển động của khối lập phương mà còn phải tính đến sự giảm đường đi của ánh sáng trong thủy tinh.

F125

Có nước đựng trong một hình trụ có pít-tông, bên trong lúc đầu có một khoang có thể tích $V$. Áp suất khí trong khoang không đáng kể. Pít-tông tác dụng áp suất không đổi $p$ lên cơ thể. Nước thu được động năng bao nhiêu khi lỗ rỗng biến mất? Vận tốc ban đầu của nước bằng không. Lực hấp dẫn có thể được bỏ qua.

Pít-tông chịu tác dụng của một lực $F = pS$, trong đó $S$ là diện tích của pít-tông. Công do piston thực hiện bằng tích của lực này và độ dịch chuyển của piston $x$. Nhưng chuyển động của piston có liên quan đến sự thay đổi thể tích khí trong xi lanh: $x = \frac{V}{S}$. Đó là lý do tại sao

$$A = Fx = pS \frac{V}{S} = pV.$$

Công này bằng với độ biến thiên động năng của nước. Kết quả tương tự có thể thu được từ các thông báo kích thước. Từ hai đại lượng $p$ và $V$ người ta có thể tạo thành một tổ hợp duy nhất có chiều năng lượng $pV$.

F126

Ước tính lực tối đa sẽ được biểu thị bằng đường kính gắn với các mặt phẳng bao phủ “bán cầu Magdedburg” (bán cầu) có bán kính $R$. Hai bán cầu bị kéo căng theo hướng ngược nhau bởi lực $F$. Áp suất khí quyển là 1 amp.

Mỗi mặt phẳng ở trạng thái cân bằng do ba lực tác dụng lên nó: $T$ tác dụng từ đường kính, lực $F_0 = p_0S$ của áp suất khí quyển và phản lực của bán cầu (Hình 12). Vì vào thời điểm máy bay rời khỏi

bán cầu thì phản lực của bán cầu bằng 0 thì $T_{\text{max}} = F_0 = pS = \rho_0 \pi R^2 \approx 12.6 \cdot 10^3 \pi$.

F127

Một quả bóng được ném vào cốc nước, quay quanh trục của nó và nổi lên trên mặt nước. Quả bóng sẽ nằm ở đâu trên bề mặt?

Vì quả bóng nổi trên mặt nước nên mật độ vật chất của quả bóng nhỏ hơn mật độ của nước: $\rho_{\text{ш}} < \rho_{\text{в}}$.

Giả sử quả bóng cách trục của bình đang quay một khoảng $R$. Nếu mật độ của quả bóng bằng mật độ của nước $\rho_{\text{в}}$, thì nó sẽ ở một khoảng cách không đổi so với trục quay. Gia tốc hướng tâm của một quả bóng như vậy được truyền bởi lực hấp dẫn và lực ép của nước xung quanh. Vì quả bóng chuyển động dọc theo một đường tròn có bán kính $R$ nên kết quả này bằng $m\omega^2 R = \rho_{\text{в}} V\omega^2 R$ (ω là vận tốc góc quay của bình, V là thể tích của quả bóng).

Một quả bóng có mật độ $\rho_{\text{ш}}$, được đặt tại cùng một điểm, chịu tác dụng của nước xung quanh với một lực bằng nhau. Lực này truyền gia tốc cho quả bóng $a = \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ш}}} \omega^2 R$, một gia tốc hướng tâm lớn hơn cần thiết để quay trong một vòng tròn bán kính $R$. Do đó, quả bóng sẽ di chuyển về phía trục quay của tàu. Điều này có nghĩa là vị trí cân bằng của quả bóng nằm trên trục của bình.

F128

Một thanh mỏng đồng nhất được phân loại sao cho nó nằm trên hai mặt phẳng nghiêng với đường chân trời một góc α và β, góc giữa hai mặt phẳng là 90° (Hình 13). Điều gì sẽ xảy ra với cây đũa phép? Vị trí cuối cùng của nó sẽ là bao nhiêu nếu ma sát giữa thanh và các mặt phẳng là rất nhỏ?

Gọi góc giữa thanh và một trong các mặt phẳng bằng γ. Ta nối trọng tâm của thanh C với đỉnh của góc O và chứng tỏ rằng độ dài đoạn CO không phụ thuộc vào giá trị γ.

Hãy để chúng tôi thực hiện CD ⊥ OB. Tam giác CDB đồng dạng với tam giác OAB. Vì vậy $\frac{DB}{OB} = \frac{CB}{AB} = \frac{1}{2}$. Điều này có nghĩa là DB = OD và tam giác OCD bằng tam giác CDB ở hai cạnh. Suy ra đoạn OC bằng nửa chiều dài của thanh ở một góc γ bất kỳ, tức là trọng tâm của thanh C mô tả một đường tròn khi nó chuyển động.

Một vật ở trạng thái cân bằng nếu thế năng của nó nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Tuy nhiên, ở vị trí có thế năng cực tiểu thì trạng thái cân bằng ổn định, còn ở vị trí có thế năng cực đại thì trạng thái cân bằng không ổn định. Do đó, thanh chỉ có thể ở trạng thái cân bằng ổn định khi nó nằm trên một trong các mặt phẳng. Cây gậy sẽ dao động, lần lượt chạm vào từng mặt phẳng rồi bật ra.

Do trọng lượng của cây gậy, nó sẽ mờ đi và sau một thời gian đủ dài, cây gậy sẽ vẫn ở một trong các mặt phẳng.

Thật thú vị khi phân tích một trường hợp đào tạo là chưa đủ. Hãy cố gắng tự mình làm điều này và chúng tôi sẽ xem xét trường hợp như vậy trong một trong những số sắp tới của tạp chí.

Tôi. Sh. Tiếng Slovodetsky