Đồ thị của một tứ thức bậc ba

26

O.A. Zhautykov
LỊCH TRÌNH
QUADTER KHỐI

Trong “Kvanit” số 11 năm 1971, một số công thức đã được thảo luận giúp có thể biểu diễn nghiệm của phương trình bậc ba thông qua các hệ số của nó. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, việc có thể tưởng tượng ra đồ thị của một “phương trình bậc ba” sẽ rất hữu ích. Đây là những gì được thảo luận trong bài viết được xuất bản dưới đây.

Hãy đặt nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu cách vẽ đồ thị hàm số
$$y = ax^3 + bx^2 + cx + d \ (a \neq 0),$$ (1)
tức là đa thức bậc 3. Tất nhiên, bạn có thể thử xây dựng đường cong (1) từ các điểm. Nhưng điều này quá dài và đòi hỏi phải tính toán tẻ nhạt. Chúng ta sẽ nói về một phương pháp đơn giản hơn cho phép bạn dễ dàng hình dung một cách tổng quát hành vi của đường cong được mô tả bằng phương trình (1) trong từng trường hợp cụ thể.

Chúng tôi sẽ bóp méo các chức năng từ biểu đồ
$$y = x^3,$$ (2)
gọi là parabol bậc ba. Đường cong này được vẽ theo từng điểm (Hình 1); sự xuất hiện của nó phải được ghi nhớ. Khi nghiên cứu đồ thị của đa thức bậc ba (1), nó có vai trò tương tự như vai trò của parabol $y = x^2$ trong lý thuyết tam thức bậc hai.

Một parabol bậc ba có các tính chất cơ bản sau:

1. nó đối xứng về gốc tọa độ và đi qua quý 3 và quý 1 (nói cách khác hàm số (2) là số lẻ);
2. tại gốc tọa độ, parabol lập phương cắt trục x và đồng thời chạm vào trục x.
   Thật dễ dàng để biết thêm đồ thị của hàm số trông như thế nào
   $$y = ax^3,$$ (3)

Cơm. 1. Hình 2.

27

Cuối cùng, xét đồ thị của hàm
$$y = ax^3 + mx.$$

Có thể dễ dàng xây dựng bằng cách cộng hai đồ thị - đường cong (3) đã quen thuộc với chúng ta và đường thẳng $y = mx$ đi qua gốc tọa độ: với mỗi giá trị của hoành độ $x$ bạn cần thêm tọa độ tương ứng của đường cong (3) và đường thẳng $y = mx$.

Rõ ràng là dạng của đồ thị hàm số (4) phụ thuộc vào ký hiệu của các số $a$ và $m$. Cụ thể, nếu $a > 0$ và $m < 0$, thì đường cong (4) có dạng như trong Hình 3 $a$, và nếu $a > 0$ và $m > 0$, thì có dạng như trong Hình 3 $b$. Đồ thị của hàm số (4) trong trường hợp $a < 0$ và $m > 0$ (Hình 3 $\theta$) thu được bằng hình ảnh phản chiếu so với trục hoành của đường cong như trong Hình 3 $a$, và trong trường hợp $a < 0$ và $m < 0$ (Hình 3 $\epsilon$) - bằng hình ảnh phản chiếu hiển thị đường cong ở Hình 3 $b$; tuy nhiên, trong Hình 3 $\epsilon$, chúng tôi đã thông báo $a$ và tuy nhiên, parabol trở nên dốc hơn, vẫn duy trì hình dáng chung.

Các tính chất chính của đường cong (4) như sau:

1. nó cắt (tại gốc) đường $y = mx$, đồng thời chạm vào nó;
2. nếu các số $a$ và $m$ cùng dấu thì đường cong này chỉ cắt trục hoành tại điểm gốc; nếu các số $a$ và $m$ khác dấu thì đường cong này cắt trục x ba lần (tại các điểm $x = 0$ và $x = \pm \sqrt{-m/a}$).

Vì vậy, chúng ta đã học cách vẽ đồ thị của hàm số (4). Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng với bất kỳ hàm loại (1) nào, luôn có thể tìm được các số (thực) $m, k, h$ sao cho đồ thị của hàm (1) thu được bằng cách di chuyển đường cong (4) thêm $h$ sang trái và xuống $k$.

Trên thực tế, nếu chúng ta di chuyển đường cong (4) $h$ sang trái và $k$ xuống dưới, chúng ta sẽ có một đường cong được mô tả bằng phương trình
$$y + k = a(x + h)^3 + m(x + h),$$

28

nếu $h > 0$ hoặc $|h|$ ở bên phải, nếu $h < 0$ và $k$ rít, nếu $k > 0$ hoặc $|k|$ lên trên nếu $k < 0$, trong đó các số $h$ và $k$ được xác định theo công thức (5).

Ví dụ. Xây dựng đồ thị của hàm $y = x^3 - 4x^2 - 4x + 16$.

Sử dụng công thức (5) chúng tôi tìm thấy:

$$m = -9\frac{1}{3}, \quad h = -1\frac{1}{3},$$

$$k = -5\frac{25}{27}.$$

Vì vậy ta cần vẽ đồ thị hàm

$$y = x^3 - \frac{28}{3}x$$

(Hình 4 a), sau đó di chuyển nó $\frac{4}{3}$ sang phải dọc theo trục hoành độ và $\frac{160}{27}$ lên dọc theo trục tọa độ (Hình 4 b).