Bài toán độc giả của chúng tôi

9

(nhớ lại rằng $s^2$ thuộc về trường $P$),
$p_1 + p_2 s) : (r_1 + r_2 s) =$
$$\frac{(p_1 + p_2 s) (r_1 - r_2 s)}{r_1^2 - r_2^2 s^2} =$$
$$= (p_1 + p_2 s) \left( \frac{r_1}{r_1^2 - r_2^2 s^2} - \frac{r_2 s}{r_1^2 - r_2^2 s^2} \right)$$
$(r_1^2 - r_2^2 s^2 \neq 0$, vì nếu không thì $s^2 = r_1^2/r_2^2$ và $s = \pm r_1/r_2$ thuộc về câu hỏi và điều kiện $P$).

2. Chúng ta đặt $\bar{q} = p_1 - p_2 s$ thì số $q = p_1 + p_2 s$ thỏa mãn phương trình $(x - q)(x - \bar{q}) = x^2 + dx + e = 0$, trong đó $d = -(q + \bar{q}) = -2p_1$, $e = q \bar{q} = p_1^2 - p_2^2 s^2$.

Chứng minh Bổ đề 1. Chúng ta hãy chứng minh Bổ đề 1 bằng phản chứng. Cho phương trình (4) có nghiệm $q$ trong trường $Q$. Khi đó theo Bổ đề 2 số $q$ thỏa mãn hệ phương trình
$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0,$$
$$x^2 + dx + e = 0.$$
(4’) Nhân phương trình (4’) với $(x + a - d)$, trừ phương trình (4). Chúng tôi nhận được $[b - e - (a - d)d]x + [c - (a - d)e] = 0$. Hãy biểu thị dấu ngoặc đầu tiên là $f$ và dấu ngoặc thứ hai là $g$. Sau đó $fq + g = 0$. Nếu $f \neq 0$ thì $q = -g/f$ thuộc trường $P$, điều này mâu thuẫn với điều kiện. Nếu $f = 0$ thì $g = 0$, nghĩa là
$$x^3 + ax^2 + bx + c - (x + a - d) \times (x^2 + dx + e) = fx + g = 0$$
đó là
$$x^3 + ax^2 + bx + c = (x + a - d) + (x^2 + dx + e).$$
Không thì phương trình (4) có nghiệm $q = d - a$ thuộc trường $P$, và đây là câu hỏi về điều kiện.

Mâu thuẫn thu được chứng minh Bổ đề 1 và cùng với nó là Định lý 2.

Bài tập
độc giả của chúng tôi

1. Cạnh của hình vuông $ABCD$ bằng $a$. Trên đường chéo $AC$ lấy điểm $P$ sao cho $|PC| = |AC|/4$. Gọi $E$ là giao điểm của $BP$ và $CD$, $O$ là tâm của hình vuông, $M$ là giao điểm của $BP$ với đường vuông góc $OK$ vẽ từ điểm $O$ sang cạnh $BC$.

a) Tìm $|CE|$.

b) Chứng minh tam giác $OEM$ là tam giác đều.

M. I. Aizenberg

2. Một vòng tròn được bao quanh hình tam giác $ABC$. Từ một điểm tùy ý của đường tròn này, các đường vuông góc $h_c$, $h_a$ và $h_b$ lần lượt được hạ xuống các cạnh $AB$, $BC$ và $AC$ của các hình tam giác. Sau đó, từ cùng một điểm, các đường vuông góc $H_a$, $H_b$ và $H_c$ lần lượt được hạ xuống các tiếp tuyến của đường tròn đã cho tại các điểm $A$, $B$ và $C$. Chứng minh rằng $H_a + H_b + H_c \geq h_a + h_b + h_c$.

H. V. Sherbina

3. Dan 1974-làm hài lòng. Nó được giải quyết trên $k$ 987 người thích thú sao cho các đỉnh của chúng trùng với các đỉnh của người thích 1974 hoặc nằm bên trong nó, và không có đỉnh nào của người thích 987 bất kỳ là điểm trong của cạnh của người thích 987 khác.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$.

M. Biktimirov

4. Có 1973 đường thẳng cùng vị trí trên mặt phẳng (không có hai đường thẳng nào song song, không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm). Khi chúng giao nhau, 100 đa giác được hình thành. Xác định số giao điểm của các đường thẳng.

P. Ivanov