Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

44

Đại học bang Leningrad

họ. A. A. Zhdanova

Đại học bang Leningrad có ba khoa vật lý và toán học: Khoa Toán và Cơ học, Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển và Khoa Vật lý.

Đặc điểm nổi bật nhất của giáo dục đại học là bề rộng và tính cơ bản của kiến ​​thức thu được, là nền tảng để xây dựng một số ngành ứng dụng nhất định. Một sinh viên tốt nghiệp đại học có nhiều cơ hội để áp dụng kiến ​​thức của mình và dễ dàng thích nghi với những nhiệm vụ thay đổi liên tục do thực tiễn đặt ra.

Khoa Toán và Cơ học đã tiếp nhận 400 sinh viên trong những năm gần đây và đào tạo sinh viên tốt nghiệp về bốn chuyên ngành - toán học, toán ứng dụng, cơ học và thiên văn học. Theo đó, khoa có 4 khoa, việc tuyển sinh được thực hiện thông qua một cuộc thi riêng.

Trong khoa toán, sinh viên chuyên về các lĩnh vực phân tích, đại số, lý thuyết số, hình học, phương trình vi phân và tích phân hiện đại, lý thuyết xác suất và vật lý toán học.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học chuẩn bị cho sinh viên tốt nghiệp về các phương pháp tính toán, nghiên cứu hoạt động, phần mềm máy tính và hệ thống điều khiển tự động cũng như điều khiển học lý thuyết.

Tại khoa cơ khí, cùng với việc nghiên cứu chuyên sâu về toán học, sinh viên nhận được chuyên môn về một trong những lĩnh vực cơ học hiện đại: cơ học phân tích, lý thuyết về rung động, điều chỉnh và điều khiển tự động, động lực bay, lý thuyết về độ đàn hồi và độ dẻo, thủy lực và khí động học (bao gồm cả khí động học của khí hiếm), cơ học vật lý.

Trong chuyên ngành thiên văn, đào tạo được thực hiện trong các chuyên ngành sau: vật lý thiên văn, thiên văn vô tuyến, đo thiên văn, cơ học thiên thể, thiên văn học sao.

Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển đào tạo nhân sự có trình độ cao về toán ứng dụng, được đào tạo lý thuyết tổng quát chuyên sâu và có kinh nghiệm làm việc trên máy tính hiện đại. Tiếp nhận hàng năm - 200 người.

Chuyên môn chính: hỗ trợ toán học cho máy tính và hệ thống điều khiển tự động và sử dụng công nghệ máy tính. Tại khoa, nghiên cứu khoa học được thực hiện về quản lý các đối tượng kỹ thuật, kiểm soát quy trình công nghệ và quy trình thiết kế các hệ thống phức tạp, phân bổ lực và phương tiện, các vấn đề toán học và cơ học chung của hệ thống điều khiển.

Khoa Vật lý tuyển sinh các chuyên ngành sau: vật lý, vật lý vô tuyến và địa vật lý. Tổng số sinh viên theo học năm đầu tiên là 300 người. Sinh viên tốt nghiệp từ 14 khoa được đào tạo về vật lý. Trong số này, bốn môn hoàn toàn là lý thuyết, trong đó sinh viên nghiên cứu các vấn đề về cơ học lượng tử, lý thuyết trường và các hạt cơ bản, vật lý thống kê và vật lý toán học. Các khoa còn lại chủ yếu đào tạo các nhà vật lý thực nghiệm - chuyên gia về vật lý hạt nhân, vật lý chất rắn, quang học và quang phổ, vật lý polymer, vật lý khí quyển, v.v. Công việc khoa học của sinh viên mà họ tham gia, bắt đầu từ năm thứ 2-3, diễn ra trong các phòng thí nghiệm của Viện Vật lý Nghiên cứu tại Đại học Leningrad và các viện nghiên cứu khác của Leningrad. Hiện tại, khoa đã chuyển đến cơ sở mới, nơi tạo điều kiện tuyệt vời để làm việc hiệu quả. Năm nay, một ký túc xá cho 1000 người sẽ được thuê gần khoa để sinh viên sinh sống.

các nhà vật lý nha khoa. Kỳ thi tuyển sinh và xét tuyển vào Khoa Vật lý được tổ chức vào tháng 7. Các ứng dụng sẽ kết thúc vào ngày 9 tháng 7.

Dưới đây chúng tôi trình bày các lựa chọn cho kỳ thi viết đầu vào môn toán tại các khoa khác nhau của Đại học bang Leningrad năm 1974. Các ví dụ về bài toán trong vật lý được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh vật lý trong những năm gần đây được đưa vào «Kvant», 1974, không. 6.

Khoa Toán Cơ và Khoa Toán Ứng dụng - Quy trình điều khiển

Tùy chọn 1

1. Một tàu chở hàng chạy giữa hai cảng, tốc độ tuyến tính phụ thuộc vào trọng lượng của hàng hóa được vận chuyển và với tải trọng 2000 tấn thì nhỏ hơn 3 lần so với tải trọng 1000 tấn. Ngoài ra, được biết, với tải trọng 2000 tấn, tàu di chuyển quãng đường giữa các cảng trong 25 giờ. Sẽ mất bao lâu để đi hết quãng đường này với lượng hàng hóa luân chuyển lớn nhất? Tải trọng của tàu khi vận chuyển hàng hóa tối đa là bao nhiêu? (Doanh thu hàng hóa là tích số của trọng lượng hàng hóa được vận chuyển và tốc độ của tàu.)

2. Sắp xếp ba số theo thứ tự tăng dần

$a_1 = \log_{1/2} \sin 2x$, $a_2 = -1 - \log_2 \sin x$,

$$a_3 = \log_{1/2} (1 - \cos 2x),$$

nếu biết được điều đó $0 < x < \dfrac{\pi}{4}$.

3. Tìm tất cả các số thực $a$ mà với mọi $b > 0$, phương trình tồn tại trong khoảng $0 < x < \dfrac{1}{2}$ lời giải

$$\log_2 (1 - x - x^2) = a\log_{1-x-x^2} 2 + b.$$

4. Cho một tam giác đều có cạnh $a$ và một đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và chia cạnh thứ hai thành hai phần bằng nhau. Ngoài ra, người ta biết rằng tâm của đường tròn nằm ở cạnh thứ ba của tam giác. Tìm khoảng cách từ tâm đường tròn đến đỉnh gần nhất của tam giác.

5. Đáy của hình chóp là một tam giác cân, các cạnh bằng $b$ và góc ở đáy bằng $\alpha\ \left(\alpha > \dfrac{\pi}{4}\right)$. Mỗi cạnh bên của hình chóp tạo thành một góc $\beta$ với mặt phẳng đáy. Tìm diện tích của phần đi qua chiều cao của hình chóp và đỉnh của góc $\alpha$.

Tùy chọn 2

1. Vận tốc của một đoàn tàu chở hàng phụ thuộc tuyến tính vào số toa của nó và được biết vận tốc của một đoàn tàu 60 toa
   
   bằng $\dfrac{2}{3}$ tốc độ của một đoàn tàu 40 toa. Ngoài ra, được biết, đội ngũ đầu máy hoàn thành 100% kế hoạch vận chuyển với doanh thu vận chuyển hàng hóa cao nhất. (Doanh thu vận chuyển hàng hóa là tích số của số toa xe và tốc độ của đoàn tàu.) Đội đầu máy sẽ hoàn thành kế hoạch vận chuyển khi thực hiện một đoàn tàu chở hàng gồm 40 toa?

2. Sắp xếp ba số theo thứ tự tăng dần

$a_1 = 1 + \log_2 \cos x, \quad a_2 = \log_2 (1 + \cos 2x)$,

$$a_3 = 1 - 2\log_{\frac{1}{2}} \sin 2x,$$

nếu biết được điều đó $0 < x < \dfrac{\pi}{6}$.

3. Tìm tất cả các số thực $a$ mà với mọi $b < 0$, phương trình tồn tại trong khoảng $4 < x < +\infty$ lời giải

$$a\log_{\left(1 - \frac{2}{x}\right)} 4 = \log_4\left(1 - \frac{2}{x}\right) + b.$$

4. Cho một tam giác cân có đáy $a$ và một đường tròn có tâm tại một trong các đỉnh của tam giác. Người ta biết rằng một trong các cạnh của một hình tam giác được chia bởi một đường tròn thành ba phần bằng nhau. Tìm bán kính của hình tròn.

5. Đáy của hình chóp là một hình thang cân, có các cạnh và đáy nhỏ hơn bằng $a$, góc nhọn bằng $\alpha\ \left(\alpha > \dfrac{\pi}{3}\right)$. Mỗi cạnh bên của hình chóp tạo thành một góc $\beta$ với mặt phẳng đáy. Tìm diện tích mặt cắt ngang đi qua chiều cao của hình chóp vuông góc với các đáy của hình thang.

Khoa Hóa - Tâm lý và Khoa Kinh tế (trừ Khoa Kinh tế Chính trị)

Tùy chọn 3

1. Có hai phần của cùng một chất đóng vai trò là chất xúc tác. Khi có mặt phần thứ nhất, phản ứng trong bình xảy ra lâu hơn 6 phút so với sự có mặt của phần thứ hai. Nếu cả hai phần chất xúc tác được cho vào bình thì phản ứng xảy ra trong vòng 4 phút. Xác định thời gian

45

46

Tiếp tục phản ứng với sự có mặt của từng phần chất xúc tác, nếu biết rằng tốc độ phản ứng tỷ lệ thuận với trọng lượng của chất xúc tác có trong chế phẩm.

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x\sqrt{x} + (1-x)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2 - 2(x^2 - x)\sqrt{x - x^2}}} > 1.$$

3. Giải phương trình
   $$\log_2(9 + \cos 2x) + \log_{\frac{1}{2}}(\sin^2 x \cdot \cos^2 x + 1) = 3.$$

4. Xác định các góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh tạo thành cấp số nhân.

5. Đáy của hình gốc là một tam giác cân, các cạnh bằng $a$ và góc ở đỉnh là $\alpha$. Hai mặt bên của hình trụ đi qua các cạnh bằng nhau của đế, vuông góc với đế và các cạnh bằng nhau nghiêng với nó một góc $\alpha$. Xác định bán kính của quả cầu ngoại tiếp quanh trục.

Khoa Sinh học và Địa lý

Tùy chọn 4

1. Đội bốc xếp thứ nhất có thể dỡ 8 toa hàng nhanh hơn đội thứ hai 1 giờ. Nếu cả 7 đội cùng nhau dỡ 7 ô tô và chỉ đội thứ hai dỡ ô tô cuối cùng thì phải mất 2 giờ để hoàn thành toàn bộ công việc. Mỗi đội có thể hoàn thành công việc khi làm việc riêng trong thời gian nào?

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{1 + \log_2 x} + \log_x 8 \geq \frac{5}{4}.$$

3. Giải phương trình
   $$\sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x.$$

4. Trong một tam giác vuông, cạnh huyền bằng $a$ và bissertis của một trong các góc nhọn là $-\frac{a}{\sqrt{3}}$. Tìm đôi chân.

5. Trong một hình nón tròn bên phải, diện tích đáy $S_1$ và diện tích xung quanh $S_2$ được cho. Tìm bán kính của hình cầu được ghi.

Khoa Địa chất và Khoa Kinh tế Chính trị, Khoa Kinh tế

Tùy chọn 5

1. Một chiếc máy bay cất cánh từ thành phố này sang thành phố khác. Nếu tốc độ của máy bay nhỏ hơn tốc độ thực tế của nó là 130 km/h thì nó sẽ đến thành phố khác trễ 1 giờ 6 phút. Xác định vận tốc thực tế của máy bay nếu khoảng cách giữa các thành phố là 2860 km.

2. Giải phương trình
   $$\frac{5}{3 + \log_2 x} = 2 + \log_{\sqrt{x}} \frac{1}{2}.$$

3. Giải phương trình
   $$\sin^2 \left(\frac{\pi}{12} + x\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{12} - x\right) = \frac{5}{4}.$$

4. Thông qua điểm $A$, nằm cách tâm đường tròn bán kính một khoảng 2r $r$, một đường thẳng được vẽ ở khoảng cách $r/2$ từ tâm đường tròn, cắt đường tròn tại các điểm $B$ Và $C$. Tìm thấy $AB$ Và $AC$.

5. Tại đáy của một hình vuông song song là một hình song song có góc tù $\alpha$ và các cạnh $a$ và $b$. Đường chéo nhỏ của hình song song bằng đường chéo lớn của đáy. Xác định thể tích của hình song song.

V. F. Osipov, P. E. Tovstik

Khoa Vật lý

Trong những năm gần đây (1972-1974), kỳ thi tuyển sinh vào Khoa Vật lý Trường Đại học Leningrad được tổ chức vào tháng 7 theo hai học kỳ: từ ngày 4 đến ngày 18 tháng 7 và từ ngày 10 đến ngày 21 tháng 7. Khi biên soạn các phiên bản ví dụ toán học cho Khoa Vật lý, chúng tôi tính đến những yêu cầu đương nhiên áp dụng cho kiến ​​thức toán học của sinh viên vật lý tương lai.

Cần lưu ý rằng khoảng một phần tư sinh viên Khoa Vật lý của Đại học bang Leningrad chuyên về các lĩnh vực vật lý lý thuyết và toán học khác nhau, đòi hỏi kiến ​​thức toàn cầu về cả hai ngành toán học ứng dụng và trừu tượng. Ngoài ra, một phương pháp toán học tốt bao gồm các khóa học về vật lý lý thuyết và hầu hết các khóa học đặc biệt được dạy cho các sinh viên khác của khoa. Về vấn đề này, môn toán ở khoa vật lý được đọc với số lượng lớn và ở mức độ khá cao. Đồng thời, môn học này còn có những đặc điểm: thứ nhất, việc trình bày các phương pháp toán học cho các nhà vật lý cần kết hợp hài hòa với việc áp dụng các phương pháp này vào các bài toán cụ thể và thứ hai là phát triển mô hình và các thông điệp trực quan với thành phần lời giải bài toán không kém phần quan trọng so với cách tiếp cận tiên đề mang tính xây dựng.

Điều này dẫn đến các yêu cầu đối với người đăng ký tham gia kỳ thi tuyển sinh môn toán. Thí sinh muốn đạt điểm cao trong bài kiểm tra viết phải hình dung rõ ràng quá trình chuyển đổi từ công thức ban đầu bài toán (đôi khi không chuẩn) sang hệ phương trình, đường hình học, bất phương trình, v.v., có khả năng kết nối các ý tưởng và phương pháp đã được đưa ra trong các bài học đại số, hình học và vật lý với nhau, thông thạo kỹ thuật

47

không biến đổi, có thể phân tích lời giải thu được theo quan điểm thông thường, xây dựng chính xác, biện minh chặt chẽ cho các phép tính hình thức. Biến thể bao gồm đường dẫn bài toán có độ khó khác nhau.

Dưới đây chúng tôi sẽ phân tích lời giải một số đặc điểm bài toán (khó và trung bình) trong số những đặc điểm được đưa ra trong kỳ thi viết môn toán tại Khoa Vật lý của Đại học Bang Leningrad năm 1973 và 1974 và trình bày hai phiên bản hoàn chỉnh của năm 1974.

Bài toán a 1. Mũi tên cung nằm cách bức tường pháo đài cao 30 m 40 m. Vận tốc ban đầu của mũi tên là 40 m/s. Trong điều kiện nào mũi tên hướng về phía chân trời và tại thời điểm bắn mũi tên di chuyển xuyên qua bức tường? Sự giảm không khí, sự phát triển của sự bùng nổ, độ dày của bức tường pháo đài, ảnh hưởng của hoạt động và m. d. chúng tôi không tính đến. Gia tốc áp suất tự do bằng 10 m/s2. Chúng ta không xét trường hợp giới hạn của thanh treo trên tường.

Bài toán không khó. Đối với lời giải của nó, bạn chỉ cần biết các công thức chuyển động có gia tốc đều và quy tắc cộng vận tốc. Gọi t là thời điểm mũi tên đi đến một khoảng cách nằm ngang l = 40 m tới bức tường, α là góc ban đầu của mũi tên so với đường chân trời. Để một mũi tên bay qua một bức tường thì độ cao của nó tại thời điểm t phải lớn hơn chiều cao của bức tường h = 30 m. Kể từ đây

$$v_0 t \cos \alpha = l$$
$$v_0 t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2} > h$$

($v_0 = 40 \text{ m/c}$). Loại bỏ t và thay các giá trị số $v_0$, l, h, ta thu được bất đẳng thức α tương đối:

$$tg^2 \alpha - 8 tg \alpha + 7 < 0$$

từ đó 1 < tan α < 7. Vì theo ý nghĩa của bài toán, góc α nằm trong khoảng từ 0 đến $\frac{\pi}{2}$ nên $\frac{\pi}{4} < \alpha < \arctg 7$.

Bài toán a 2. Một quả bóng đang chuyển động đều va chạm với một quả bóng đang nằm yên bằng một cú đánh chính giữa. Trong khi va chạm, 25% động năng truyền vào mello. Tỉ lệ vận tốc giữa khối lượng của các quả bóng là bao nhiêu để quả bóng đang chuyển động tiếp tục chuyển động theo hướng ban đầu với tốc độ ít nhất bằng 50% vận tốc ban đầu?

Đối với lời giải bài toán cần viết đúng các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng tại thời điểm va chạm. Một điều phức tạp nữa là các định luật này được xây dựng cho vật liệu điểm, và tại lời giải của các phương trình tương ứng, một “phi vật lý” thứ hai đáp số xuất hiện, tương ứng với sự trượt của quả bóng này qua quả bóng khác. đáp số này nên được loại bỏ. Nhìn chung bài toán là khó.

Gọi M và m là khối lượng của quả bóng khi đứng yên và đang chuyển động, $v_1$ và $v_2$ vận tốc ban đầu và vận tốc cuối cùng của quả bóng đang chuyển động, u là vận tốc cuối cùng của quả bóng khi đứng yên. Từ các định luật bảo toàn và điều kiện bài toán suy ra rằng

$$\frac{3}{4} mv_1^2 = Mu^2 + mv_2^2$$
$$mv_1 = Mu + mv_2$$
$$u \geq v_2 \geq \frac{1}{2} v_1 > 0$$

(điều kiện u ≥ v₂ loại trừ “phi vật chất” đáp số). Hãy để chúng tôi giới thiệu các biến mới x = $\frac{v_2}{v_1}$, y = $\frac{u}{v_1}$, t = $\frac{m}{M}$. Trong đó hệ thống sẽ có dạng

$$\frac{3}{4} t = y^2 + tx^2$$
$$y = t (1 - x)$$
$$y \geq x \geq \frac{1}{2}$$.

Loại bỏ y khỏi phương trình

$$(t + 1) x^2 - 2tx + \left(t - \frac{3}{4}\right) = 0$$

so với giá trị x. Từ đây

$$x_{1,2} = \frac{t \pm \frac{1}{2} \sqrt{3-t}}{t + 1}$$

$$y_{1,2} = \frac{t \left(1 \mp \frac{1}{2} \sqrt{3-t}\right)}{t + 1}$$.

Do đó, chúng ta đi đến giới hạn t 3. Những điều kiện vật lý này có nghĩa là với tỷ số khối lượng lớn hơn (tại t > 3), 25% năng lượng không thể bị mất đi vì bất kỳ loại va chạm nào. Từ điều kiện y ≥ x suy ra rằng lời giải chỉ phù hợp với dấu thấp hơn trước căn thức. Vẫn phải thỏa mãn điều kiện x ≥ $\frac{1}{2}$, có tính đến biểu thức tìm được cho x và bất đẳng thức rất mạnh t > 0, có dạng $t^2 - t - 2 \geq 0$. Bất đẳng thức này đúng với t ≥ 2. Đáp số: 2 $\frac{m}{M} \leq 3$.

Bài toán a 3. Spormsten số 1 chúng tôi xuất phát từ điểm A đến điểm B ngược dòng sông. Sau anh ta, sau 5 phút, số 2 được tung ra. Tốc độ của chúng là tối đa,

lẽ ra họ đã đến điểm B cùng lúc, nhưng đi được nửa chặng đường, vận động viên số 1 đã quay lại và gặp vận động viên số 2 cách điểm A 150 m, quay lại điểm A 5 phút sau khi vận động viên số 2 xuất phát. Tìm vận tốc của vận động viên số 2 nếu vận tốc của vận động viên số 1 khi nước yên lặng là 1 m/s.

Nếu bài toán được giải ở dạng tổng quát thì nó sẽ dẫn đến một phương trình bậc ba, nhưng các giá trị số đã cho của các đại lượng sẽ đơn giản hóa rất nhiều lời giải. Độ khó bài toán - trung bình.

Gọi $u$ là tốc độ dòng sông (trong $м/с$), $v$ là tốc độ mong muốn của vận động viên số 2 (trong $м/с$), $s$ là khoảng cách từ $A$ đến $Б$ (trong $м$). Hệ phương trình sau đây suy ra từ điều kiện bài toán:

$$\begin{cases} \dfrac{s}{1-u} = \dfrac{s}{v-u} + 300, \\[2mm] \dfrac{s}{2} \\ \dfrac{1-u}{} + \dfrac{s}{2} \\ \dfrac{1+u}{} = 600, \\[2mm] \dfrac{\dfrac{s}{2}}{1-u} + \dfrac{\dfrac{s}{2} - 150}{1+u} = \dfrac{150}{v-u} + 300. \end{cases}$$

Trừ phương trình thứ 2 cho phương trình thứ 3, ta tìm được

$$v = \frac{u+1}{2u+1} + u.$$

Mặt khác, bằng cách đánh đồng các biểu thức của $s$ tìm được từ phương trình 1 và 2, sau những phép tính đơn giản nhưng dài dòng, chúng ta thu được điều đó

$$v = \frac{u+2}{2u+1}.$$

Từ đây, loại trừ $v$, chúng ta đi đến phương trình
$$2u^2 + u - 1 = 0,$$
chỉ có một điều tích cực

gốc $u = 1/2$. Do đó $v = 1\dfrac{1}{4}$ m/s.

Bài 4. Có một mặt phẳng nghiêng nghiêng một góc $\alpha$ so với phương ngang. Cách nó một khoảng $s$ trên mặt phẳng nghiêng thứ hai có một điểm vật chất $M$. Mặt phẳng này phải hợp với đường chân trời một góc bao nhiêu để một điểm vật chất chuyển động dọc theo nó không ma sát sẽ đến được mặt phẳng đầu tiên trong thời gian ít nhất? Thời gian này như thế nào? Giả sử rằng giao tuyến của các mặt phẳng nghiêng là nằm ngang.

Các kỳ thi tuyển sinh thường không cung cấp bài toán đến mức cực đoan, vì với lời giải của họ, người ta có thể sử dụng các yếu tố của toán học cao hơn, điều này mang lại những lợi thế nhất định cho những ứng viên nắm vững các yếu tố này. Dữ liệu bài toán

sử dụng các phương pháp cơ bản sẽ dễ giải quyết hơn nhiều so với việc sử dụng khái niệm tùy ý.

Đặt $\beta$ là góc nghiêng mong muốn của mặt phẳng thứ hai, $l$ là độ dài đường đi của điểm vật chất dọc theo mặt phẳng này (xem Hình 1). Rõ ràng là $l = s/\sin(\alpha+\beta)$. Gia tốc $g\sin\beta$ tác dụng lên mặt phẳng nghiêng thứ hai. Do đó, thời gian chuyển động của một điểm vật chất dọc theo mặt phẳng thứ hai bằng

$$t = \sqrt{\frac{2l}{g\sin\beta}} = \sqrt{\frac{2s}{g\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}} =$$

$$= \sqrt{\frac{4s}{g[\cos\alpha - \cos(\alpha+2\beta)]}}.$$

Thời gian tối thiểu yêu cầu $t_{\min}$ tương ứng với trường hợp $\cos(\alpha+2\beta) = -1$, từ đó

$$\beta = \frac{\pi-\alpha}{2}, \quad t_{\min} = \sqrt{\frac{2s}{g\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}}.$$

Bài 5. Hai gương phẳng có thể quay quanh trục của nó (lần lượt là $O_1$ và $O_2$), nằm trong mặt phẳng của gương và các trục này song song với nhau. Một điểm sáng $S$ được cố định giữa các gương. Vị trí của nó sao cho nếu qua $S$ chúng ta vẽ một mặt phẳng vuông góc với các trục của gương, thì kết quả là tam giác $SO_1O_2$ $\angle SO_1O_2=\alpha$ và $\angle SO_2O_1=\beta$. Các gương nên tạo với nhau một góc $\gamma$ như thế nào để ảnh của điểm $S$ trong chúng càng xa nhau càng tốt?

Mặc dù bài toán này có độ khó trung bình nhưng rất ít thí sinh giải được. Có lẽ điều này là do ở trường họ không có thời gian để hiểu đúng các định luật quang học hình học đơn giản nhất.

Ảnh của một điểm trong gương phẳng nằm trên đường vuông góc hạ từ điểm đó đến gương, phía sau gương một khoảng bằng khoảng cách từ điểm đến gương. Khi gương thứ nhất quay quanh trục $O_1$ thì quỹ tích hình học của ảnh của điểm $S$ là một đường tròn có

48

Cơm. 1.

49

tập trung tại $O_1$ (Hình 2), đi qua $S$ (kể từ $SO_1 = O_1S_1$). Khoảng cách lớn nhất giữa $S_1$ và $S_2$ đạt được khi hình ảnh $S_1$ và $S_2$ nằm trên đường tâm $O_1O_2$. Vì vậy, gương phải chia đôi các góc $\leftrightarrow S_1O_1S$ và $\leftrightarrow S_2O_2S$.

Cái này là $MO_1O_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}, \leftrightarrow MO_2O_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}, \gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Bài 6. Đặt tên cho phương trình lời giải thực

$$\frac{x^2}{x-1} + \sqrt{x-1} + \frac{\sqrt{x-1}}{x^2} = \frac{x-1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} + \frac{x^2}{\sqrt{x-1}}.$$

Mặc dù công thức đơn giản của bài toán, nhưng lời giải của nó đặt ra một số khó khăn. Cố gắng loại bỏ những suy nghĩ phi lý “bất cứ lúc nào” không dẫn đến điều gì tốt đẹp. Nên sử dụng tính đối xứng của phương trình đã cho. ODZ của anh ấy: $x > 1$. Hãy để $a(x) = x^2, b(x) = x-1, c(x) = \sqrt{x-1}$. thì phương trình đã cho có thể viết dưới dạng $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$, từ đó

$$\frac{(c-b)(b-a)(a-c)}{abc} = 0.$$

Do đó, lời giải của phương trình ban đầu tương đương với lời giải của ba phương trình: $a(x) = b(x), b(x) = c(x), c(x) = a(x)$, trong trường hợp này có thể giải dễ dàng. Đáp số: $x = 2$.

Tùy chọn 1

1. Ở một khoảng cách $L$ tính từ bức tường phẳng, trong trường hợp không có trường hấp dẫn, quả bóng sẽ kết thúc. Một quả bóng khác bay về phía anh ta với tốc độ $v$, hướng một góc $\alpha$ so với phương vuông góc với tường. Đường tâm của các quả bóng tại thời điểm va chạm nằm trong mặt phẳng tạo bởi vectơ $v$ và vuông góc với tường. Đường tâm tại thời điểm va chạm tạo thành góc $\beta$ như thế nào và vuông góc với tường để quả bóng đang đứng yên chạm tới tường trong thời gian ngắn nhất? Thời gian này như thế nào? Tác động là hoàn toàn đàn hồi. Giả sử biểu thức không tạo ra quả bóng.

2. Paramid tam giác đều từ cạnh của đế $a$ được quay quanh đối xứng một góc $60^\circ$. Xác định thể tích của phần chung của phần ban đầu và xoay paramid nếu các mặt bên là hình tam giác vuông.

3. Chỉ biểu thị tổng $\frac{\sin^8 \varphi}{a^3} + \frac{\cos^8 \varphi}{b^3}$ theo tham số $a$ và $b$, nếu biết góc $\varphi$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a} \sin^4 \varphi + \frac{1}{b} \cos^4 \varphi = \frac{1}{a+b} (a, b > 0)$.

4. Giải phương trình:

$$\log_2 \left( x + \frac{1}{x} \right) = \sin^2 \frac{\pi x}{2} + \cos^4 \frac{\pi x}{2}.$$

5. Với mọi $a \neq 0$ giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x^2 + yz + 2az = 1, \\ xy + yw + 2aw = 0, \\ w^2 + yz + 2ay = 1, \\ xz + zw + 2ax = 0. \end{cases}$$

Tùy chọn 2

1. Đạn ở điểm trên cùng của quỹ đạo ở độ cao $h$ vỡ thành hai mảnh giống hệt nhau, rơi theo hướng chuyển động từ bên ngoài. Một cái ở khoảng cách $l_1$ tính từ điểm ngắt theo chiều ngang, cái còn lại ở khoảng cách $l_2$. Tốc độ của đạn tại thời điểm nổ là $u$. Hỏi kể từ lúc đứt, mỗi chiếc cói sẽ rơi xuống trong bao lâu? Bỏ qua khối lượng của khí bột.

2. Trên mặt phẳng $(x, y)$ xây dựng các đám mây, cho tất cả các điểm đáp ứng tính di truyền

$$1 \geq |tg x| \geq tg 2y.$$

3. Giải phương trình:

$$10^{x^2 - 4x + 2} = \frac{1}{25} \left( \sin \frac{\pi x}{12} - \sin^2 \frac{\pi x}{12} \right).$$

4. Giải bất đẳng thức

$$\log_2 \cos^2 x (2 \cos x - 1) > 1.$$

5. Ma trận của hình nón tròn hình chữ nhật có chiều dài $l$ và tạo một góc $\alpha$ với chiều cao. Một mặt phẳng được vẽ qua hai đường sinh của hình nón, tạo một góc $2\beta$ với nhau. Tìm khoảng cách từ mặt phẳng này đến tâm của quả cầu nội tiếp trong hình nón.

N. A. Molotkov, S. Yu. Slayanoy