Mười một vòng tròn

21

Mười một vòng tròn

Trên trang thứ tư của bìa có hai mươi ba vòng tròn trong một vòng tròn. Vị trí của mỗi chúng được xác định bởi các điểm tiếp xúc với các đường tròn tham chiếu hoặc với các đường thẳng tham chiếu hoặc với nhau. Tâm của tất cả các vòng tròn hỗ trợ nằm trên đường kính thẳng đứng, các điểm giao nhau của chúng với đường kính này là các điểm cực trị của đường kính, hoặc tâm của vòng tròn hoặc giữa bán kính.

Các vòng tròn được bao quanh bằng nhau có vẻ bằng nhau phải không? Nhưng có lẽ tầm nhìn đang đánh lừa chúng ta? Trong mọi trường hợp, sử dụng la bàn không thể phân biệt được giữa chúng. Vậy loại đẳng thức nào có hiệu lực - chính xác hay gần đúng?

Trong Hình 1, các phần chứa các vòng tròn rõ ràng bị tắc nghẽn so với các vòng liên kết đơn còn lại đã bị xóa khỏi bản vẽ bìa. Mười hai vòng tròn đã biến mất, những vòng còn lại đã bị xóa. Hãy theo dõi bán kính của chúng theo cùng thứ tự. Rõ ràng là nếu có thể chứng minh giả thuyết cho các đường tròn trong Hình 1 thì có thể dễ dàng mở rộng nó ra hình bìa.

Hãy kiểm tra với các vòng tròn màu vàng. Giả sử bán kính của vòng tròn hỗ trợ lớn nhất bằng R. Từ Hình 2, rõ ràng rằng

$$\left(\frac{R}{4}\right)^2 + \left(\frac{R}{2} - r_1\right)^2 = \left(\frac{R}{4} + r_1\right)^2,$$

từ đâu $r_1 = R/6$. Tương tự, từ Hình 3 ta thu được đẳng thức

$$\left(\frac{R}{2} + r_2\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = (R - r_2)^2,$$

từ đó nó theo sau $r_2 = R/6$. Bây giờ bạn có thể dễ dàng tự mình chứng minh rằng $r_3 = R/6$.

Nhưng để chứng minh rằng $r_4 = R/6$ định lý Pythogoras là chưa đủ; chúng ta phải sử dụng định lý Stewart: nếu trong một tam giác có các dây a, b và c từ đỉnh A đến dây a, vẽ một đoạn có độ dài d (Hình 4), chia nó thành các đoạn m và n, mo

$$d^2 a = b^2 m + c^2 n - amn.$$

Chứng minh định lý Stewart suy ra từ các đẳng thức $c^2 = d^2 + m^2 - 2mp$ và $b^2 = d^2 + n^2 + 2np$, trong đó p là hình chiếu của đoạn d lên đáy của tam giác.

Bán kính của bất kỳ vòng tròn màu trắng nào là R/8. Để chứng minh điều này cho đường tròn thứ mười, chúng ta có thể xét tam giác vuông được đánh dấu màu đỏ trên Hình 5.

Hầu hết mọi thứ đã được chứng minh; bạn có thể dễ dàng tự mình làm phần còn lại. Hoặc có thể bạn sẽ tìm thấy bằng chứng khác?

V. N. Berezin

22

sách bài toán lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 8 năm 1975 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Bài toán Kvant, M326, M327” hoặc “… F338”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán và vật lý), cũng như bài toán mới vui lòng gửi trong phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, vui lòng gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn về những bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Những câu khó nhất bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.