Toán học ứng dụng và các nhà toán học

31

Toán học ứng dụng và các nhà toán học

L. E. Sadovsky

Hóa ra chúng ta là những người cùng thời với sự tiến bộ mạnh mẽ của kiến ​​thức toán học, sự hình thành các nhánh toán học mới, các lĩnh vực ứng dụng mới và các hướng khoa học như “kinh tế toán học”, “ngôn ngữ học toán học”, “tâm lý học toán học”, “các phương pháp toán học trong sinh học”.
Sự xâm chiếm của toán học đã mở ra hàng triệu lĩnh vực hoạt động trí tuệ và thực tiễn của con người, việc tạo ra máy tính điện tử kỹ thuật số (EDC) trong những thập kỷ qua là những đặc điểm thiết yếu của quá trình sản xuất trên toàn thế giới được gọi là cuộc cách mạng khoa học và công nghệ.
Quá trình này đòi hỏi phải tái cơ cấu giáo dục toán ở mọi cấp độ: trong trường phổ thông, cao đẳng kỹ thuật. Dù cố ý hay vô tình, tất cả chúng ta đều là những người tham gia vào quá trình perestroika này.
Học sinh tiểu học và trung học đã học toán bằng sách giáo khoa mới, dạy các khái niệm và chương trình mới. Năm 1975-1976, 3.000 học sinh tốt nghiệp các trường, lớp thực nghiệm của đất nước, đến năm 1977, tất cả học sinh tốt nghiệp của các trường ta sẽ được đào tạo theo chương trình mới.
Giáo viên. các trường học đang giảng dạy theo phương pháp mới, tái cơ cấu phương pháp giảng dạy. Đến lượt các khoa toán của các cơ sở giáo dục đại học và đại học buộc phải tính đến các tình huống thực tế và cũng phải thay đổi rất nhiều trong các quy trình đã có từ lâu. Các nhà khoa học và kỹ sư, để theo kịp, buộc phải nắm vững các ngành toán ứng dụng mới và sử dụng rộng rãi máy tính kỹ thuật số.
Do đó, một phần lớn xã hội lao động tích cực tham gia trực tiếp hoặc gián tiếp vào quá trình toán học hóa các ngành khoa học.
Trong trường hợp này, nhiều vấn đề lớn nhỏ sẽ phát sinh. Bao phủ chúng, dù chỉ một phần, ở một quốc gia nhỏ lại là một vấn đề khác (và đó là một vấn đề không thể giải quyết được!).
Do đó, lưu ý đến lợi ích tự nhiên của học sinh tốt nghiệp các trường vật lý, toán học trung học và đặc biệt cũng như các trường nội trú, nó vẫn sử dụng một ngôn ngữ mới, được tạo ra bởi nhu cầu ngày càng tăng của xã hội hiện đại về “nhân sự toán học”. Ở đây, trước hết, ý tôi là sự mở rộng đáng kể các khóa học toán học ở các khoa truyền thống và mới của các trường đại học kỹ thuật và thứ hai là các khoa (dòng) toán ứng dụng được thành lập trong những năm gần đây ở một số trường đại học lớn nhất trong nước.
Đến cuối thế kỷ này, những sinh viên tốt nghiệp hiện tại sẽ trở thành lực lượng khoa học và kỹ thuật tích cực. Trong điều kiện phát triển nhanh chóng về kỹ thuật, sản xuất kỹ thuật và trình độ chuyên môn, người kỹ sư có nghĩa vụ chuẩn bị cho những hiện tượng mới có ý nghĩa, những thay đổi trong định hướng nghề nghiệp, công việc tìm kiếm ở điểm giao nhau của nhiều lĩnh vực. Theo chuyên gia Mỹ Galbraith,

32

Để quản lý một tổ chức phát sinh do chuyên môn hóa, bạn cần có một chuyên gia trong lĩnh vực tổ chức.

Kiến thức trong lĩnh vực các môn chức năng, chủ yếu là toán học với các ứng dụng, cơ học lý thuyết và vật lý, sẽ mất dần ý nghĩa theo thời gian. Các tác giả của cuốn sách “Matematika và Logic” viết về điều này theo nhiều hạng mục, nhưng ở dạng biểu đạt. Hồi tưởng và Triển vọng” (“Thế giới”, 1971) M. Katz và S. Ulam: “Ở một khía cạnh nào đó, toán học đứng ngoài các ngành khoa học khác: không có kết quả nào của nó có thể bị sự phát triển hơn nữa của khoa học loại bỏ. Tuy nhiên, định lý đã được chứng minh sẽ không bao giờ trở thành sai, mặc dù sau này người ta có thể thấy rõ rằng đó chỉ là một trường hợp đặc biệt tầm thường của một chân lý đơn giản hơn nào đó. Kiến thức toán học không thể sửa đổi và tổng số kiến ​​thức toán học chỉ có thể tăng lên.”

Kiến thức về tổng thể các quy luật tự nhiên, các công trình toán học, định lý, khả năng suy nghĩ logic, so sánh và phân tích các sự kiện dựa trên thế giới quan biện chứng-vật chất - đây là một phần thiết yếu của tài năng khoa học của một kỹ sư. Nghị quyết của Ủy ban Trung ương CPSU và Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô “Về các biện pháp cải thiện hơn nữa giáo dục đại học trong nước” chỉ đạo chính xác trường đại học của chúng ta hướng tới việc nghiên cứu các quy luật chung của tự nhiên, tiếp thu kiến ​​thức sáng tạo trong lĩnh vực các ngành chức năng và khả năng tiến hành công việc nghiên cứu độc lập. Việc nghiên cứu các hướng dẫn, các nguyên tắc mô tả, các chi tiết về thiết kế các đơn vị, về mặt kỹ thuật, v.v., được đưa xuống nền tảng.

Đồng chí cũng nói về nhu cầu tri thức của giới trẻ trong bài phát biểu tại Đại hội XVII Komsomol. L. I. Brezhnev *): “Thời đại của chúng ta -

*) Pravda, ngày 24 tháng 4 năm 1974

33

leniya (ASU) và các bộ phận khác của nền kinh tế quốc gia.

Theo những ước tính thận trọng, kế hoạch 5 năm lần thứ 9 cần hơn 125.000 chuyên gia về toán ứng dụng và hệ thống điều khiển tự động. Hơn 50.000 nhà toán học ứng dụng sẽ được đào tạo trong thời gian 5 năm hiện tại.

Hơn 60 trường đại học trên cả nước đã bắt đầu đào tạo những chuyên gia như vậy. Trong nhiều năm, các trường đại học và cơ sở giáo dục đại học lớn đã đào tạo các kỹ sư-toán học (hoặc các nhà toán học-kỹ sư). Trong những năm qua, cả nước đã tiếp nhận khoảng 10 nghìn kỹ sư và nhà toán học. Từ năm 1969, chuyên ngành “kỹ sư-toán học” đã được chuyển thành một chuyên ngành mới - “toán ứng dụng”, có một số chuyên ngành. Những cái chính:

1. Phần mềm ACS,
2. phần mềm máy tính,
3. ứng dụng công nghệ máy tính (vào lời giải kỹ thuật, kinh tế, quản lý và bài toán khác).

Các vấn đề mà một kỹ sư-toán học phải đối mặt rất đa dạng cả về nguồn gốc lẫn độ khó. Vì vậy, chúng chỉ có thể được mô tả một cách chung chung.

Các chuyên gia hỗ trợ toán học của hệ thống điều khiển tự động chủ yếu tham gia vào việc thiết kế sơ đồ cơ bản của hệ thống điều khiển tự động, mô tả toán học và lựa chọn các phương án tối ưu cho quy trình sản xuất, quản lý, thu thập và xử lý thông tin, xây dựng kế hoạch thể tích tối ưu (trong một năm, quý), lập kế hoạch vận hành (ví dụ: hàng ngày), nghiên cứu kinh tế và thống kê (từ mối quan hệ với các ngành liên quan và bán sản phẩm đến hệ thống khuyến khích vật chất) và các lĩnh vực khác.

Hệ thống điều khiển tự động là một loại hệ thống phân cấp. Trong đó, mục tiêu của mỗi hệ thống con là chấp nhận một số lời giải nhất định. Khi bạn di chuyển từ các phần lớn hơn đến các phần nhỏ hơn, quá trình chi tiết dần dần bài toán sẽ diễn ra. Theo quy luật, bài toán càng cụ thể thì càng khó. Những vấn đề khó khăn nhất bao gồm lập kế hoạch và quản lý hoạt động. Việc đưa ra các tiêu chí về tiện ích, tối ưu gây khó khăn rất lớn. Thông thường, việc tạo tiêu chí hợp lệ là một phần của lời giải bài toán. Khoảng vòng tròn này bài toán mô tả chuyên môn hóa hỗ trợ toán học cho các hệ thống điều khiển tự động - một trong những chuyên ngành nêu trên của “toán học ứng dụng”.

Chuyên môn thứ hai (phần mềm toán học cho máy tính) được gọi là phần mềm nội bộ cho máy tính: biên dịch các bộ (gói) chương trình nhằm vào lời giải của một vòng tròn nhất định bài toán; học các ngôn ngữ lập trình khác nhau; tạo

việc tạo ra các trình dịch - thiết bị nhận biết văn bản của các chương trình được viết bằng ngôn ngữ “gần như con người” và dịch chúng sang ngôn ngữ máy; nghiên cứu các chế độ hoạt động khác nhau của một máy tính và hệ thống máy tính riêng biệt, phát triển cấu trúc của quá trình tính toán.

Chuyên ngành thứ ba (sử dụng công nghệ máy tính) gắn liền với việc đào tạo các nhà toán học cho công việc nghiên cứu trong các lĩnh vực kỹ thuật, công nghệ, kinh tế, xử lý thông tin và quản lý.

Điều này đòi hỏi khả năng xây dựng bài toán bằng ngôn ngữ toán học - để xây dựng “mô hình toán học” của nó, nghiên cứu mô hình này, thiết lập, nếu cần, các tiêu chí tiện ích và xác định các điều kiện tối ưu hóa chúng.

Vì vậy, các chuyên gia trong lĩnh vực này được xếp vào loại nhà toán học.

Việc đào tạo các nhà toán học ứng dụng được thực hiện tại các trường đại học và các cơ sở giáo dục đại học lớn nhất của đất nước (đặc biệt tại Đại học Bách khoa Leningrad và Lvov, Kỹ thuật vô tuyến Kharkov, Viện Hàng không Kazan, tại Viện Kỹ sư Vận tải Đường sắt Dnepropetrovsk, tại MAI, MIEM, MEPhI, MIPT, MIIT, MINK và Doanh nghiệp Nhà nước).

Để trở thành một nhà toán học ứng dụng, không nhất thiết phải phấn đấu vào các trường đại học hay thủ đô. Cơ hội này mở ra cho những người yêu thích toán học, vật lý và ứng dụng của chúng ở nhiều cơ sở giáo dục trong nước.

Các nhà toán học ứng dụng - những người tốt nghiệp các khoa chuyên ngành của các trường đại học, cao đẳng - được đánh giá cao ở khắp mọi nơi. Tôi nhớ lời của một đại diện của tổng giám đốc nhà máy tính toán và phân tích (CAM), được ông phát biểu vào năm 1972 tại một cuộc họp ở Bộ Giáo dục Chuyên ngành Trung học và Đại học của Liên Xô: “CAM cần có các nhà toán học và chỉ những nhà toán học có trình độ đại học và tốt nghiệp các khoa toán ứng dụng.” Một minh họa khác: đối với các nhà toán học ứng dụng được cử đến làm việc tại các trung tâm máy tính đường sắt, Bộ Đường sắt quy định mức lương khởi điểm là 160 rúp mỗi tháng.

Chúng ta hãy lưu ý rằng nhu cầu về các nhà toán học là rất lớn ở tất cả các nước trên thế giới. Như vậy, nhu cầu của các nước châu Âu trong giai đoạn từ 1970 đến

34

Năm 1975 ước tính có 400.000 người, ngang bằng với nhu cầu của Hoa Kỳ.

Đặc điểm chính của chuyên ngành “toán ứng dụng” là đào tạo toán học rộng rãi kết hợp với thành thạo lập trình bằng các ngôn ngữ phổ thông cho máy tính và kiến ​​thức cơ bản về một số ngành kỹ thuật và danh sách chung - vật lý, cơ học lý thuyết, kỹ thuật điện, điện tử, lý thuyết điều khiển tự động. Một nền giáo dục toán học rộng rãi và việc chủ động nắm vững toán học sẽ giúp bạn chuẩn bị cho lời giải, không chỉ bất kỳ bài toán nào mà còn cho lời giải nhiều bài toán khác nhau. Đồng thời, giáo dục kỹ thuật thường được điều chỉnh theo lời giải vòng tròn hẹp bài toán. Trong chương trình giảng dạy chuyên ngành “toán ứng dụng”, trong tổng số 4700 giờ học có khoảng 2600 khoa toán, ứng dụng, máy tính điện tử và hệ thống điều khiển tự động, có 18 khóa học toán khác nhau (khối lượng 1700 giờ) từ phân tích toán học đến các tính năng đặc biệt

cách tiếp cận và phương pháp luận của toán học ứng dụng*).

“Sự lan rộng của toán học theo chiều rộng đi kèm với sự thâm nhập sâu của nó; toán học hiện nay chiếm một vị trí nổi bật trong đời sống xã hội. Quan điểm truyền thống về các nhà toán học cũng đã thay đổi: vị trí của những kẻ lập dị kiểu Paganel đã bị chiếm giữ trong quan điểm này bởi những người trẻ tuổi mặc quần đùi cao bồi đi trượt tuyết. Ngày càng nhiều phụ huynh muốn đăng ký cho con mình vào các trường chuyên về toán học.” (V.A. Uspensky, lời nói đầu cuốn sách “Toán học trong thế giới hiện đại”).

Bí mật của thời trang này là gì? Tất nhiên, không phải là có thể đạt được nghề toán học mà không cần nỗ lực nhiều. Ngược lại, không thể xác định được nhiều chuyên ngành đòi hỏi nhiều công sức và thời gian như chuyên ngành Toán học yêu cầu. Điều này có thể được hiểu đầy đủ bởi những người tự làm toán: giải bài toán, chứng minh các mệnh đề, đóng góp dù lớn hay nhỏ cho sự phát triển của ngành khoa học này. Do đó, vấn đề lại khác - ở hiệu quả thực tế mà việc áp dụng thành công các phương pháp toán học trong lời giải thực tế bài toán mang lại và niềm tin vào sự phát triển không giới hạn của hiệu ứng này. Vấn đề nữa là toán học, giống như bất kỳ ngành khoa học nào khác, phát triển theo quy luật nội tại của chính nó.

---

*) Trong số đó: đại số tuyến tính và hình học phân tích, phân tích toán học, phương trình vi phân, phương trình toán vật lý, đại số tổng quát, lý thuyết đồ thị và tổ hợp, phương pháp số, lý thuyết hàm biến phức và hàm đặc biệt, phân tích hàm, lý thuyết xác suất và thống kê toán học, lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, logic toán học, lý thuyết thông tin và mã hóa, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết trò chơi và nghiên cứu phép toán, phương pháp tối ưu hóa, lý thuyết độ tin cậy và lập kế hoạch thực nghiệm, máy tính điện tử và lập trình, lý thuyết ngôn ngữ thuật toán, các phần tử và thiết bị của hệ thống điều khiển tự động.

luật pháp, nhưng nuôi dưỡng những ý tưởng và nhiệm vụ nảy sinh cả bên trong và bên ngoài nó; nó đặt ra các mục tiêu do logic phát triển của chính nó và sự phát triển của các ngành khoa học khác quyết định. Những bài toán và các mục tiêu này có khả năng thu hút những người có khả năng nhận thức được những đặc điểm này bằng sự phức tạp, khác thường và vẻ đẹp của chúng. Cũng không thể không tính đến nhu cầu của xã hội. Nhà toán học-giáo viên nổi tiếng người Anh W. Sawyer viết về điều này trong cuốn sách “Con đường đến toán học hiện đại” (Thế giới, 1972): “Tự động hóa sẽ ngày càng đẩy con người vào lĩnh vực các ngành nghề sáng tạo đòi hỏi những phẩm chất chỉ có ở con người: hiểu biết, chính trực, độc đáo, có óc phê phán, chủ động. Rõ ràng là “xã hội tự động” sẽ đặt ra yêu cầu đặc biệt về khả năng sáng tạo phát triển cao.” Và xa hơn nữa: “Người đàn ông của năm 2000 chắc chắn sẽ cần một nền tảng khoa học vững chắc hơn nhiều so với người đương thời của chúng ta. Anh ta có thể cần một chút hiểu biết về nghiên cứu hoạt động để đưa ra các quyết định hợp lý lời giải trong nhiều tình huống khác nhau. Một số nhánh toán học chắc chắn sẽ chiếm vị trí trong chương trình giáo dục phổ thông của anh ta.”

Nhân tiện, liên quan đến nghiên cứu hoạt động (được hiểu là các hoạt động phụ thuộc vào một kế hoạch duy nhất và nhằm đạt được các mục tiêu nhất định), câu nói hài hước của chuyên gia nổi tiếng T. Saaty không phải là không có sự quan tâm: “Nghiên cứu hoạt động là nghệ thuật đưa ra những câu trả lời tồi đáp số cho những câu hỏi thực tế có thể được trả lời thậm chí còn tệ hơn đáp số bằng các phương pháp khác.” Tuy nhiên, có một sự thật nào đó trong mọi câu nói đùa: các phương pháp của toán học ứng dụng thường có thể áp dụng được trong những tình huống mà các phương pháp khác không cho kết quả có thể chấp nhận được.

35

36

Câu hỏi toán học ứng dụng là gì đương nhiên được đặt trước câu hỏi: “Toán học là gì?”

Những lời của F. Engels, đã trở thành kinh điển, được biết đến rộng rãi: “Toán học thuần túy lấy đối tượng của nó là các dạng không gian và các mối quan hệ định lượng của thế giới hoạt động” (“Anti-Dühring”, K. Marx và F. Engels, op. ed. 2, tập XX, trang 37).

Nhiều nhà khoa học đã nói về đặc thù của toán học. Vì vậy, giáo sư MSU G.E. Shilov đã phát biểu tại một cuộc họp của bộ phận toán học của Nhà khoa học Moscow năm 1972: “Matematika là khoa học về các cấu trúc toán học được xem xét trong thời tiền sử, nghĩa là sự tích lũy các sự kiện và mối liên hệ giữa các hiện tượng của thực tế, trong lịch sử của chúng - sự phân tích và mổ xẻ các kết nối và khái niệm logic, phê bình các khái niệm được mổ xẻ thành các tiên đề, trong thiết kế và phát triển tiên đề cuối cùng của chúng, và cuối cùng, trong việc xâm nhập vào các lĩnh vực khác của cả toán học và các ngành khoa học khác.”

Đồng thời, nhà toán học nổi tiếng R. Courant Spring đã viết một cách hình tượng: “Đối với câu hỏi - toán học là gì? - không thể đưa ra một đáp số chi tiết chỉ dựa trên những khái quát hóa vật lý, định nghĩa ngữ nghĩa hoặc chỉ với sự trợ giúp của các bài báo và tạp chí khách quan. Cũng như không thể đưa ra một định nghĩa chung về âm nhạc hoặc hội họa: không ai có thể đánh giá cao những loại hình nghệ thuật này nếu không hiểu nhịp điệu, sự hài hòa và cấu trúc trong âm nhạc, hình thức, màu sắc và bố cục trong hội họa. Để hiểu toán học hàng ngày, việc thâm nhập lâu dài vào các yếu tố cấu thành của nó lại càng cần thiết hơn.

Có tính đến tất cả những điều trên, tuy nhiên chúng ta có thể đưa ra cho toán học một số định nghĩa chung… Mối quan hệ của cái chung với cái riêng, deluchini với cách tiếp cận mang tính xây dựng, logic với trí tưởng tượng - chúng chính là bản chất của toán học…

Nói cách khác, đi vào những cái tổng quát trừu tượng yếu phải bắt đầu từ cái cụ thể, cái riêng và kết thúc bằng cái cụ thể và cái cụ thể” (“Matematika in the Modern World”, “Mir”, 1967, tr. 16).

Người ta không thể không đồng ý rằng những nỗ lực đưa ra một định nghĩa đầy đủ về toán học sẽ đưa ra những ranh giới của nó, trong khi toán học có khả năng mô hình hóa tất cả các loại quá trình tư duy và nhiều tình huống được nghiên cứu trong khoa học và công nghệ. Chính trong việc xây dựng các mô hình toán học, các quy trình và sơ đồ được hình thành và trong quá trình nghiên cứu chúng, các khía cạnh ứng dụng của toán học được bộc lộ.

Bất kỳ cách tiếp cận khoa học nào cũng liên quan đến việc xây dựng mô hình của hiện tượng đang được nghiên cứu. Một mô hình theo nghĩa quá trình của chính đối tượng; thông thường nó không bắt chước tất cả mà chỉ bắt chước những tính năng quan trọng nhất của nó và do đó thuận tiện hơn cho việc học. Các mô hình có thể có bản chất khác nhau: toán học, vật lý, hóa học, kinh tế và khác. Mọi thứ đều phụ thuộc vào đối tượng đang được nghiên cứu (hiện tượng, tình huống) và vào những đặc tính của nó được mô hình tính đến. Do đó, mô hình toán học của dòng điện chạy trong mạch điện là một hệ phương trình tuyến tính (định luật Kirchhoff). Mô hình vật lý tái tạo công việc của người lái tàu là tự động. Mô hình vật lý của kết cấu tòa nhà có thể đóng vai trò là hệ các thanh đàn hồi và mô hình toán học của cấu trúc sau có thể đóng vai trò là hệ phương trình liên hệ ứng suất trong các thanh này. N. Wiener và các cộng sự đã xây dựng một mô hình cơ học mô phỏng sự run rẩy của bàn tay con người với tọa độ chuyển động bị xáo trộn. Sau đó, một mô hình toán học của hiện tượng đang nghiên cứu đã được xây dựng.

37

Trong thực tế, không có gì bất thường trong việc xây dựng một mô hình: mọi phép tính kỹ thuật, kinh tế và các tính toán khác được thực hiện bằng phương tiện và ngôn ngữ toán học về bản chất đều là mô hình toán học.

Các khái niệm về số, hàm và phương trình mà bạn biết rõ, trong những điều kiện nhất định, đóng vai trò là mô hình toán học của các đối tượng thực nhất định. Có các mô hình kinh tế và toán học về việc sử dụng các nguồn tài nguyên toán học trong các lĩnh vực khác nhau của nền kinh tế, các mô hình sản xuất và tiêu dùng, v.v.

Các vấn đề liên quan đến việc lựa chọn một mô hình, nghiên cứu, tối ưu hóa một số tiêu chí về chất lượng, sự đơn giản hóa không thể tránh khỏi, các giả định, tính toán cần thiết, v.v., rất đa dạng, khó khăn và không thể xem xét ở đây. Mọi điều đã nói chỉ mang tính minh họa: ví dụ ở đây là những gì toán học ứng dụng làm. Hiện tại vẫn chưa có sự đồng thuận về câu hỏi liệu toán ứng dụng có phải là một môn học độc lập hay không. Tuy nhiên, hoàn cảnh này không tồn tại đối với chúng tôi. Đặc biệt là trong trường hợp không có một định nghĩa đầy đủ về tất cả các loại toán học.

Rõ ràng, không có đặc điểm không thể chối cãi nào mà nhờ đó các công trình toán học có thể được phân loại thành lý thuyết (“số”) và ứng dụng. Mọi thứ đều tương đối. Ví dụ, vào thời K. Gauss, số phức được hầu hết các nhà toán học coi là những đối tượng có tính trừu tượng cao. Nhưng nhiều năm trôi qua, lý thuyết về hàm của một biến phức tạp đã nảy sinh, bộ máy của nó đã tìm thấy các ứng dụng trong thủy động lực học và khí động học (trong việc tính toán lực nâng của cánh máy bay), trong kỹ thuật điện lý thuyết và các lĩnh vực khác. Lý thuyết nhóm trừu tượng, bắt nguồn từ các công trình của Lagrange (1736-1813), đã tìm thấy ứng dụng giáo dục trong các vấn đề cụ thể về tinh thể học, vật lý lý thuyết, cơ học lượng tử, lý thuyết mã hóa (trong khoa học toán học về truyền thông điệp dọc theo đường truyền) và các vấn đề về khả năng giải của phương trình đại số dưới dạng căn thức. Sự tồn tại của một số nguyên tố hạt đã được lý thuyết của nhóm dự đoán từ rất lâu trước khi chúng được khám phá thực sự *).

Về mặt lý thuyết nhóm, F. Klein đã phân loại các dạng hình học khác nhau. Khái niệm nhóm, cùng với các khái niệm về tập hợp, hàm số, giới hạn, đã trở thành một trong những khái niệm chính trong toán học. Lịch sử toán học rất phong phú với các ví dụ tương tự về sự phát triển của cái thuần túy thành các quá trình ứng dụng và ngược lại.

Trong cuốn sách đã được đề cập, R. Courant đã viết: “Trên thực tế, giữa toán học “số” và toán học “ứng dụng”, không thể kiểm tra sự rõ ràng của khuôn mặt. Đó là lý do tại sao trong toán học không nên có sự phân chia giữa các tu sĩ cấp cao, những người tôn thờ vẻ đẹp toán học không thể sai lầm và chỉ chú ý đến những khuynh hướng riêng của họ, và những người lao động phục vụ họ. “Chủ nghĩa đẳng cấp” như vậy, tốt nhất, là biểu tượng cho những giới hạn của con người, khiến hầu hết mọi người không thể tự do lang thang trong những lợi ích đơn giản rộng lớn của con người. "

F. Klein đã viết về điều này trong cuốn sách “Toán học cơ bản từ một quan điểm cao hơn” (Gostekhidat, 1934): “Có thể nói, các khái niệm logic thuần túy sẽ tạo thành bộ xương vững chắc của cơ cấu toán học, mang lại cho nó sự ổn định và độ tin cậy. Nhưng bản thân cuộc sống của toán học, sự hướng dẫn quan trọng nhất và năng suất của nó mới là điều được quan tâm chủ yếu.”

*) Ví dụ, sự tồn tại của positron và meson đã được đưa ra trong công trình của P. Dirac và H. Yukawa. Đặc tính của các bộ phận này đã được nghiên cứu bằng phương pháp toán học trước khi xác nhận bằng thực nghiệm.

38

về cơ bản đối với các ứng dụng của nó, nghĩa là đối với các mối quan hệ tương hỗ của các đối tượng trừu tượng của nó với tất cả các lĩnh vực khác. Loại bỏ các ứng dụng của toán học cũng giống như việc tìm kiếm một sinh vật chỉ có khung xương mà không có cơ bắp, dây thần kinh hoặc mạch máu.” Cũng rất thích hợp để nhớ lại câu cách ngôn nổi tiếng: “Các nhà toán học thuần túy làm những gì có thể, khi cần thiết, và các nhà khoa học ứng dụng làm những gì cần thiết, càng tốt”.

Chúng tôi nhấn mạnh rằng việc đào tạo nhân sự trong các khoa toán ứng dụng trong một trường kỹ thuật thể hiện hai mục tiêu liên quan đến nhau: tạo nền tảng kiến ​​thức toán học ổn định và thấm nhuần các vấn đề ứng dụng, dạy các phương pháp toán ứng dụng, phương pháp tính toán, kinh nghiệm xây dựng và nghiên cứu các mô hình toán học bằng máy tính, hiểu rằng ứng dụng lời giải được áp dụng tốt hơn so với sự vắng mặt hoàn toàn của nó, rằng ứng dụng đầu tiên hôm nay đôi khi quan trọng hơn ứng dụng tốt nhất trong một tháng.

“Ở nước ta, về cơ bản có hai lĩnh vực đào tạo nhân lực có trình độ cao - các trường đại học và trường kỹ thuật. Hướng thứ nhất được phân biệt bằng đào tạo tổng quát rộng rãi, nhưng không chuẩn bị đầy đủ cho sinh viên tốt nghiệp để làm việc trong các viện nghiên cứu công nghiệp và phòng thí nghiệm; Trường kỹ thuật không cung cấp đào tạo đầy đủ trên diện rộng.” Ngày nay có sự kết hợp nhất định giữa đại học và giáo dục kỹ thuật, một số thách thức (đại học kỹ thuật) đã được đặt ra, kết hợp các yếu tố (nếu thích, lợi thế) của đại học và trường kỹ thuật” (O. M. Belotserkovsky. Các trường đại học kỹ thuật. - Trong tuyển tập “Tương lai của khoa học”, M., “Znanie”, 1974.).

Việc đào tạo một nhà toán học ứng dụng phần lớn phụ thuộc vào quá trình học tập và giảng dạy. Trong đó, giống như