Đa giác trên giấy ca rô

38

Đa giác trên giấy ca rô

Có thể vẽ một đa giác có hình dạng nhất định trên giấy ca rô, đặt tất cả các đỉnh của nó vào các nút lưới không? Như một quy luật - điều đó là không thể. Ví dụ, từ đa giác đều, chỉ có thể vẽ được hình vuông theo cách này. Và đối với những đa giác nào thì điều này có thể được thực hiện gần đúng, tức là bằng cách đặt các đỉnh gần các nút một cách góc cạnh như thế nào? Hóa ra - dành cho tất cả mọi người.
Ghi chú này được viết bởi các sinh viên, cho thấy tại sao và làm thế nào điều này có thể được thực hiện.

Đặt $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là các vectơ khác 0 và phi tuyến tính, $O$ là một điểm nào đó; thì tập $\Pi$ của tất cả các điểm như vậy

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

39

Hơn nữa, trong bài báo của A. Egorov đã chứng minh *) rằng không có đa giác đều nào, ngoại trừ hình tam giác, hình vuông và hình lục giác, có thể được viết vào bất kỳ mạng nào. Cũng rõ ràng rằng một đa giác có hình dạng tùy ý được xác định trước, theo quy luật, không thể được viết vào bất kỳ mạng nào.

Vì bài toán về việc khớp các đa giác vào một mạng trong hầu hết các trường hợp dẫn đến kết quả âm tính, nên việc làm suy yếu nó là điều đương nhiên: yêu cầu các đỉnh chỉ rơi vào các nút một cách gần đúng. Hãy đưa ra một định nghĩa chính xác:

Một đa giác được thêm ε vào mạng Π nếu tồn tại một đa giác tương tự nó (với hệ số tương tự tự nhiên), mỗi đỉnh của nó nằm ở khoảng cách nhỏ hơn ε tính từ một trong các nút mạng (Hình 5). Lưu ý rằng với ε = 0, ta có được định nghĩa về độ nội tuyến được đưa ra ở trên và đối với ε lớn (lớn hơn khoảng cách giữa các nút) thì định nghĩa này là vô nghĩa.

Sẽ trở nên vô nghĩa nếu lần đầu tiên chúng ta giả định tính tự nhiên của hệ số tương tự; bằng cách lấy hệ số này đủ gần bằng 0, có thể thu nhỏ toàn bộ đa giác gần một điểm mạng. Với hệ số tương tự tự nhiên (và ε đủ nhỏ), rõ ràng hai đỉnh bất kỳ của đa giác không thể rơi vào vùng lân cận ε của cùng một nút.

Hơn nữa, chúng ta sẽ nói rằng đa giác bị xóa trong

*) «Kvant», 1974, № 12, c. 30.

Hình 5.

Hình 6.

40

Hình 7.

và $\{n\sqrt{3}\}$, trong đó $m > n$ là số tự nhiên. Khi đó $(m-n)\sqrt{3}$ khác với tổng thể ít hơn $\frac{1}{N}$ và do đó nhỏ hơn $\varepsilon$. Đặt $k$ bằng $m-n$, chúng tôi đạt được những gì được yêu cầu.

Định lý đã được chứng minh, nhưng có một thực tế tổng quát hơn nhiều.

Định lý cơ bản. Đa giác cố định phù hợp với bất kỳ lưới nào.

Lưu ý rằng điểm c) bài toán M475 là trường hợp đặc biệt của định lý này.

Bằng chứng. Cho một mạng $\Pi$, một số $\varepsilon > 0$ và một đa giác $\Phi$.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng dưới một số tính đồng nhất có hệ số tự nhiên $N$, đa giác $\Phi$ đi vào đa giác $\Phi'$ sao cho tất cả các đỉnh $\Phi'$ sẽ ở khoảng cách nhỏ hơn $\varepsilon$ tính từ các nút mạng.

Xét đỉnh $A$ của đa giác. Để tính đồng nhất với tâm $O$ và hệ số $k$ biến đổi điểm $A$ thành $A_k$ và $\overrightarrow{OA} = x_A \overrightarrow{a} + y_A \overrightarrow{b}$, trong đó $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ tạo ra mạng. Sau đó $\overrightarrow{OA}_k = k(x_A \overrightarrow{a} + y_A \overrightarrow{b}) = (kx_A) \overrightarrow{a} + (ky_A) \overrightarrow{b}$.

Điều kiện $A_k$ nhỏ hơn $\varepsilon$ tính từ nút mạng (Hình 7) sẽ được thỏa mãn nếu mỗi tọa độ $(kx_A)$ và $(ky_A)$ khác với tổng thể ít hơn $c.\varepsilon$, trong đó $c$ là hệ số độc lập với $k$:

$$\text{можно, например, взять } c = \frac{1}{2\max(|\overrightarrow{a}|, |\overrightarrow{b}|)}$$

Thật vậy, hãy để $\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{ma} + \overrightarrow{nb}$.

Hình 8.

Sau đó nếu

$$|m|\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| \leq \frac{\varepsilon}{2} \text{ и } |n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2}, \text{ то } |A_kF| = |A_hF| = |\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}_k| = |m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} - kx_A\overrightarrow{a} - ky_A\overrightarrow{b}| = |(m - kx_A)\overrightarrow{a}| + (n - ky_A)\overrightarrow{b}| \leq |(m - kx_A)\overrightarrow{a}| + |(n - ky_A)\overrightarrow{b}| + |m\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| + |n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Nhưng các bất đẳng thức $|m|\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| < \frac{\varepsilon}{2}$ và $|n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2}$ tương đương với các bất đẳng thức $|m - kx_A| < \frac{\varepsilon}{2|a|}$ và $|n - ky_A| < \frac{\varepsilon}{2|b|}$. Do đó, nếu $kx_A$ và $ky_A$ khác với số nguyên ít hơn $\frac{\varepsilon}{2\max(|\overrightarrow{a}|, |\overrightarrow{b}|)}$, thì $|A_hF| < \varepsilon$ đối với nút tiếp theo $F$ và đây là điều bắt buộc.

Chúng ta cần các đỉnh của đa giác $\Phi'$ rơi vào vùng lân cận $\varepsilon$ của các nút mạng. Sẽ như vậy nếu tất cả các số $Nx_A, Ny_A, Nx_B, Ny_B$, … khác với các số nguyên nhỏ hơn $c.\varepsilon$, thì mỗi số $m\alpha_i$, trong đó $i = 1, 2, ..., n$, khác với số nguyên nhỏ hơn $\varepsilon$; rằng $\alpha$ bằng $\sqrt{3}$ không tồn tại). Định lý Kronekar phát biểu rằng đối với một tập hợp $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ có độ dài bất kỳ với một số tự nhiên $m$ thì các số $\alpha_i$ tại một thời điểm không khác các số nguyên nhỏ hơn $\varepsilon$.

Hãy chuyển sang chứng minh định lý Kronekar.

Hãy xem xét trình tự $n$:

$$\{\alpha_1\}, \{2\alpha_1\}, \{3\alpha_1\}, ..., \{k\alpha_1\}, \dots$$

$$\{\alpha_2\}, \{2\alpha_2\}, \{3\alpha_2\}, ..., \{k\alpha_2\}, \dots$$

$$\{\alpha_n\}, \{2\alpha_n\}, \{3\alpha_n\}, ..., \{k\alpha_n\}, \dots$$

41

một số bộ $k_1 < k_2 \leq M^n + 1$ sẽ phù hợp. Trong trường hợp này, số $m = k_2 - k_1$ thỏa mãn điều kiện, vì $\{m\alpha_i\} = \{(k_2 - k_1)\alpha_i\} = \{k_2\alpha_i - k_1\alpha_i\}$, $\{k_1\alpha_i\}$ và $\{k_2\alpha_i\}$ nằm trong một bán phần trăm có độ dài nhỏ hơn $\varepsilon$, do đó, $m\alpha_i$ nằm cách số nguyên một khoảng nhỏ hơn $\varepsilon$. Định lý đã được chứng minh.

Làm sáu chân vượt qua các lưới trên mặt phẳng. Mạng không gian cũng có thể được xem xét. Chúng được định nghĩa theo cách tương tự như các vectơ phẳng, chỉ thay vì hai vectơ không clip, bạn cần lấy ba vectơ không clip (Hình 9). Theo cách tương tự như đã được thực hiện ở trên đối với đa giác và mạng phẳng, độ nội tiếp và gần như nội tiếp của đa giác trong mạng không gian được xác định. Phần gót nào của đa giác đều (Hình 10) khớp với mạng không gian số nguyên*)? Đây là đáp số:

Bài toán 4. Hình lập phương, hình tứ diện và hình bát diện vừa khít với một mạng nguyên.

Bài toán 5. Khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt không vừa với bất kỳ mạng nào.

Bài toán 6. Cho một họ mặt phẳng song song trong không gian sao cho khoảng cách giữa các mặt phẳng liền kề của họ bằng nhau. Có thể sắp xếp trong không gian a) một khối hai mươi mặt, b) một khối mười hai mặt sao cho các đỉnh của chúng nằm trên các mặt phẳng của họ không?

Chúng tôi đã thu được một đáp số toàn diện về việc khắc các đa giác đều vào một mạng không gian. Đối với phần lớn dòng chữ, chúng tôi cũng có được đáp số đầy đủ, giống như đối với vỏ phẳng:

Bài toán 7. Mọi đa giác đều gần như vừa với mọi mạng tinh thể trong không gian.

Tất cả các thành viên của các chuỗi này đều thuộc khoảng [0; 1[. Chia khoảng này thành các phần (nửa phần) có độ dài nhỏ hơn $\varepsilon$:

$$\begin{align*} 0; \frac{1}{M} \mid ; \left[\frac{1}{M}; \frac{2}{M}\right] \mid \dots \mid \left[\frac{M-1}{M}; 1\right] \\ \mathrm{где} M - \mathrm{натуральное}, M > \frac{1}{\varepsilon} \quad (\mathrm{тогда} \frac{1}{M} < \varepsilon). \end{align*}$$

Bây giờ, hãy gán cho mỗi phần tử của chuỗi phần đó của khoảng [0; 1[, nơi nó nằm.

Sau đó, với mỗi số tự nhiên $k$, một tập hợp bán sai thứ tự tương ứng với các điểm $\{k\alpha_1\}$, $\{k\alpha_2\}, \dots, \{k\alpha_n\}$ sẽ được xác định. Nhưng vì chỉ có $M$ bán phần trăm đang được xem xét và mỗi bộ bao gồm $n$ bán phần trăm, nên số lượng các bộ khác nhau như vậy là $M^n$. Nếu $k$ nằm trong khoảng từ 1 đến $M^n + 1$ thì đối với