Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky

70

Tùy chọn
kỳ thi tuyển sinh
in.by 1977

Ural
tình trạng
trường đại học
họ. A. M. Gorky

Toán học
Các lựa chọn thi viết

Khoa Toán và Cơ học

1. Trong một hàng có 8 ghế, 5 nam và 3 nữ sẽ nói chuyện. Họ có thể kết nối bao nhiêu cách để không phải tất cả các cô gái đều ngồi cạnh nhau?
2. Cơ sở của các tham số là một tam giác đều, các cạnh bằng $a$ và góc giữa chúng bằng $\alpha$. Các tham số trực tiếp đi qua đáy của tam giác vuông góc với mặt phẳng đáy và hai tham số còn lại tạo thành một góc $\varphi$ với mặt phẳng đáy. Tìm thông số âm lượng.
3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{x^3} \frac{|x-5|}{6x} + \frac{1}{3} \geq 0.$$
4. Tìm tất cả các giá trị $x$ từ khoảng $[-\pi; 0]$ mà hàm $f(x) = e^{\sin \left(\frac{\pi}{4}-2x\right)}$ thỏa mãn hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} \ln f(x) > \frac{1}{2}, \\ f'(x) \leq -f(x). \end{cases}$$
   Khoa Vật lý
5. Điểm di chuyển dọc theo đường tọa độ sao cho tọa độ của nó thay đổi theo định luật $s = A + B \sin \frac{\pi t}{2}(A$ và $B$ là các hằng số). Tìm gia tốc tại $t=1$.
6. Chu vi của một tam giác đều là $2p$. Các cạnh của nó phải dài bao nhiêu để thể tích của vật tạo thành khi xoay tam giác này quanh cạnh là lớn nhất?
7. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x^2+4x+3}} \leq 3^{1+x}.$$
8. Với những giá trị nào của $x$ từ khoảng $[\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}]$ thì hàm $y=\sin x \cdot \cos 2x$ thỏa mãn bất đẳng thức $y''+y+2\sqrt{3}>0$?
   Bài thi vấn đáp
   Khoa Toán và Cơ học
9. Với mỗi giá trị tham số $a$ giải bất đẳng thức
   $$\log_a(1-x^2) \geq 1.$$
10. Với giá trị dương nào của tham số $a$ thì bất đẳng thức đúng?
    $$\lim_{x \to a} \frac{x^2-a^2}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \geq 32?$$
11. Giải hệ bất phương trình
    $$\begin{cases} \log \frac{1}{2} \cos x < \log \frac{1}{2} tg x, \\ 0 \leq x \leq \pi \end{cases}$$
12. Có đúng là diện tích của các hàm giới hạn bởi các đường $y=e^{x-1}, y=0, x=0, x=2$ nhỏ hơn 2?
13. Độ dài toàn bộ ranh giới của hình tròn là $l$. Bán kính của khu vực đó có chiều dài là bao nhiêu để diện tích của khu vực đó càng rộng càng tốt?
14. Tại giá trị dương nào của tham số $a$ diện tích của các hàm, o

71

bị giới hạn bởi dòng $y=\cos ax, y=0, x=\frac{\pi}{6a}, x=\frac{\pi}{2a}$, nhiều hơn 3?

7. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ sao cho điểm cực tiểu của hàm $y=1+a^2x-x^3$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} \leq 0.$$

8. Với mỗi giá trị của tham số $a$ giải phương trình
   $$\sin x-\sqrt{a}=\cos 2x+2.$$

9. Với số tự nhiên nào $n$ chia số hạng trong khai triển $(1+0,1)^n$ là lớn nhất?

10. Đường $(AD)$ chia đường trung tuyến $[BM]$ của tam giác $ABC$ theo tỷ lệ $5:1$, tính từ $B$. $(AD)$ chia diện tích tam giác $ABC$ theo tỷ lệ nào?

Khoa Vật lý

1. Có các giá trị âm như vậy của tham số $a$ mà
   $$\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{1-a} \cdot x^2}{\sin^2 ax} > -1?$$

2. Giải phương trình
   $$\frac{1-\sin x}{|1-\sin x|} \cdot \sin 2x = -\sqrt{2} \cos x.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{\sin(-x)}(\sin x+\frac{3}{2}) \leq 0.$$

4. Tính diện tích được bao quanh bởi tuyến tính $|y|=1-x^2$

5. Với mỗi giá trị của tham số $a$, hãy giải bất đẳng thức $\sqrt{5x^2+a^2} \geq -3x$.

6. Giải bất đẳng thức $x^{1n}x>e^4$.

7. Tìm thể tích của một hình bình hành có các cạnh $a, b, c$ tạo thành các góc $\frac{\pi}{2}, \alpha, \alpha$ với nhau.

8. Giải bất đẳng thức
   $$\sin x \cdot |\sin x| \leq \frac{1}{2}.$$

9. Với giá trị dương nào của tham số $a$ thì bất đẳng thức đúng?
   $$\lim_{x \to a} \frac{ax^2-(a^2+2)x+2a}{ax^2+(a-2-a^2)x-(a^2-2a)} > 0?$$

10. Trên mặt phẳng tọa độ, vẽ tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn bất đẳng thức
    $$(x-|x|)^2+(y-|y|)^2 \leq 4.$$

Vật lý

Khoa cơ khí Matematiko

1. Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên từ một điểm ở độ cao $h$. Xác định số chuyến bay ban đầu đến bất đẳng thức
   $$\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} \leq 0.$$

2. Một xe đẩy có khối lượng $m=3000$ kg được nâng dọc theo đường ray lên dốc, có độ dốc $\alpha=30^\circ$, với gia tốc $\vec{a}|=0,2$ m/s$^2$. Hệ số ma sát $\mu=0,1$. Lực tgi dọc theo đường đi $l=50$ m đã thực hiện công gì?

3. Oxy có khối lượng $m=10$ g chịu áp suất $p_1=3$ atm ở nhiệt độ $t_1=10^\circ\text{C}$. Sau khi giãn nở do nung nóng ở áp suất không đổi, oxy chiếm thể tích $V_2=10^{-2}$ m$^3$. Tìm thể tích khí trước khi giãn nở và nhiệt độ sau khi giãn nở.

4. Một cục pin gồm hai tụ nối tiếp có xương $C_1=3 \cdot 10^{-10}$ Ф và $C_2=5 \cdot 10^{-10}$ Ф được tích điện đến điện áp $U=12$ kV. Xác định điện áp trên các tụ điện chung và điện tích trên bản của chúng.

5. Điện dung của một tụ điện biến thiên thay đổi từ $C_1=56$ pF đến $C_2=667$ pF. Bạn cần có bộ cuộn dây biểu thị nào để mạch dao động có thể được điều chỉnh theo các đài phát thanh hoạt động trong phạm vi bước sóng từ $\lambda_1=40$ m đến $\lambda_2=2600$ m?

Khoa Vật lý

1. Một đầu máy trên đoạn đường nằm ngang tác dụng một lực không đổi tg $|\vec{F}|=3,5 \cdot 10^5$ N. Trên đoạn đường ray dài $l=600$ m, tốc độ của đoàn tàu đã tăng từ $\vec{v}_1|=10$ m/s lên $\vec{v}_2|=20$ m/s. Xác định hệ số ma sát nếu khối lượng của đoàn tàu là $m=10^6$ kg.

2. $m_2=200$ g nước ở $t_2=80^\circ\text{C}$ được đổ vào cốc thủy tinh nặng $m_1=120$ g ở nhiệt độ $t_1=15^\circ\text{C}$. Hỏi nhiệt lượng sẽ truyền vào kính là bao nhiêu? Nhiệt dung riêng của ngăn xếp là $c_1=0,20$ cal/(g×deg), nước $c_2=1$ cal/(g×deg).

3. Carbon dioxide được đưa qua đường ống dẫn khí ở áp suất $p=4$ atm và nhiệt độ $t=7^\circ\text{C}$. Tốc độ chuyển động của khí trong đường ống là bao nhiêu nếu $m=2$ kg carbon dioxide chảy trong thời gian $\tau=10$ phút? Diện tích mặt cắt ngang của kênh ống là $S=5$ cm$^2$.

4. Trên một tấm kính phẳng có độ dày $d=2$ cm và góc $\alpha=60^\circ$. Một phần ánh sáng bị phản xạ, và một phần bị khúc xạ, truyền vào thủy tinh, phản xạ từ bề mặt phía dưới và khúc xạ vào thanh, đi ra trở lại song song với tia phản xạ đầu tiên. Xác định khoảng cách giữa hai tia phản xạ nếu chiết suất của ống khói là $n=1,73$.

5. Công năng của các electron rời khỏi kadnium là $A=4,08$ eV. Độ dài của ánh sáng phải là bao nhiêu để ở hệ số quang điện, tốc độ cực đại của các electron phát ra bằng $|v|=7,2 \cdot 10^5$ m/s? Hằng số Planck $h=6,62 \cdot 10^{-34}$ J s, khối lượng electron $m=9,1 \cdot 10^{-31}$ kg.

E. Golubov, R. Emlin