Уральский государственный университет им. А. М. Горького

70

Варианты
вступительных экзаменов
в.by 1977 году

Уральский
государственный
университет
им. А. М. Горького

Математика
Варианты письменного экзамена

Математiko-механический факультет

1. На один ряд, в котором 8 стульев, расскажиются 5 юношей и 3 девушки. Сколько способами они могут сеть так, чтобы не все девушки оказались сидящими непосредственно рядом?
2. Основанием параметры служит равноведенный треугольник, боковые стороны которого равны $a$, а угол между ними равен $\alpha$. Прямые параметры, проходящие через основание треугольника, перпендикулярна плоскости основания, а две другие образуют с плоскостью основания угол $\varphi$. Найти объем параметры.
3. Решить неравенство
   $$\log_{x^3} \frac{|x-5|}{6x} + \frac{1}{3} \geq 0.$$
4. Найти все значения $x$ из отрезка $[-\pi; 0]$, при которых функция $f(x) = e^{\sin \left(\frac{\pi}{4}-2x\right)}$ удовлетворяет системе неравенств
   $$\begin{cases} \ln f(x) > \frac{1}{2}, \\ f'(x) \leq -f(x). \end{cases}$$
   Физическая факультет
5. Точка движется по координатной прямой так, что ее координата s изменяется по закону $s = A + B \sin \frac{\pi t}{2}(A$ и $B$ — постоянные). Найти ускорение при $t=1$.
6. Перimetр равноведенного треугольника равен $2p$. Какой длины должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг боковой стороны, был наиболее шим?
7. Решить неравенство
   $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x^2+4x+3}} \leq 3^{1+x}.$$
8. При каких значениях $x$ из отрезка $[\frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}]$ функция $y=\sin x \cdot \cos 2x$ удовлетворяет неравенству $y''+y+2\sqrt{3}>0$?
   Задание устиного экзамена
   Математiko-механический факультет
9. Для каждой значения параметра $a$ решить неравенство
   $$\log_a(1-x^2) \geq 1.$$
10. При каких положительных значениях параметра $a$ выполняется неравенство
    $$\lim_{x \to a} \frac{x^2-a^2}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \geq 32?$$
11. Решить систему неравенств
    $$\begin{cases} \log \frac{1}{2} \cos x < \log \frac{1}{2} tg x, \\ 0 \leq x \leq \pi \end{cases}$$
12. Верно ли, что площадь функций, ограниченной линиями $y=e^{x-1}, y=0, x=0, x=2$, меньше 2?
13. Длина всей границы кругового сектора равна $l$. Какова длина длина радиуса сектора, чтобы площадь сектора была наиболее шим?
14. При каких положительных значениях параметра $a$ площадь функций, о

71

раниченной линями $y=\cos ax, y=0, x=\frac{\pi}{6a}, x=\frac{\pi}{2a}$, больше 3?

7. Найти все значения параметра $a$, при которых точки минимума функции $y=1+a^2x-x^3$ удовлетворяют неравенству
   $$\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} \leq 0.$$

8. Для каждого значения параметра $a$ решить уравнение
   $$\sin x-\sqrt{a}=\cos 2x+2.$$

9. При каком натуральном $n$ делят член в разложении $(1+0,1)^n$ является наиболее?

10. Прямая $(AD)$ делит медиану $[BM]$ треугольника $ABC$ в отношении $5:1$, считая от $B$. В каком отношении $(AD)$ делит площадь треугольника $ABC$?

Физический факультет

1. Существуют ли такие отрицательные значения параметра $a$, при которых
   $$\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{1-a} \cdot x^2}{\sin^2 ax} > -1?$$

2. Решить уравнение
   $$\frac{1-\sin x}{|1-\sin x|} \cdot \sin 2x = -\sqrt{2} \cos x.$$

3. Решить неравенство
   $$\log_{\sin(-x)}(\sin x+\frac{3}{2}) \leq 0.$$

4. Вычислить площадь, ограниченную линейной $|y|=1-x^2$

5. Для каждого значения параметра $a$ решить неравенство $\sqrt{5x^2+a^2} \geq -3x$.

6. Решить неравенство $x^{1n}x>e^4$.

7. Найти объем параллелепида с ребрами $a, b, c$, образующими друг с другом углы $\frac{\pi}{2}, \alpha, \alpha$.

8. Решить неравенство
   $$\sin x \cdot |\sin x| \leq \frac{1}{2}.$$

9. При каких положительных значениях параметра $a$ выполняется неравенство
   $$\lim_{x \to a} \frac{ax^2-(a^2+2)x+2a}{ax^2+(a-2-a^2)x-(a^2-2a)} > 0?$$

10. На координатной плоскости изображить множество точки, координаты которых удовлетворяют неравенству
    $$(x-|x|)^2+(y-|y|)^2 \leq 4.$$

Физика

Matematiko-mеханический факультет

1. Мячик брошен вертикально вверх из точки, находящейся на высоте $h$. Определить начальное количество вылетоворают неравенству
   $$\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} \leq 0.$$

2. Вагонетку массой $m=3000$ кг поднимают по рельсам в гору, наклон которого $\alpha=30^\circ$, сускорением $\vec{a}|=0,2$ м/c$^2$. Коэффициент треня $\mu=0,1$. Какую работу совершила сила тги на пути $l=50$ м?

3. Кислород массой $m=10$ г находится под давлением $p_1=3$ атм при температуре $t_1=10^\circ\text{C}$. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем $V_2=10^{-2}$ м$^3$. Найти объем газа до расширения и температур после расширения.

4. Батарея из двух последовательных конденсаторов emкостями $C_1=3 \cdot 10^{-10}$ Ф и $C_2=5 \cdot 10^{-10}$ Ф заряжена до напряжения $U=12$ кВ. Определить напряжение на общих конденсаторах и заряды на их обкладках.

5. Емкость переменного конденсатора изменяется от $C_1=56$ пФ до $C_2=667$ пФ. Какой комплект катушки индиктивности нужно иметь, чтобы колбательный контур можно было настраивать на радиостанции, работающее в диапазоне длины волн от $\lambda_1=40$ м до $\lambda_2=2600$ м?

Физический факультет

1. Локомотив на горизонтальном участке пути развивает постоянную силу тги $|\vec{F}|=3,5 \cdot 10^5$ Н. На участке пути длиной $l=600$ м скорость поезда возросла с $\vec{v}_1|=10$ м/c до $\vec{v}_2|=20$ м/c. Определить коэффициент треня, если масса поезда $m=10^6$ кг.

2. В стеклянный стакан массой $m_1=120$ г при температуре $t_1=15^\circ\text{C}$ налили $m_2=200$ г воды при $t_2=80^\circ\text{C}$. Какое количество теплоты будет передано стакану? Удельная теплимость стека $c_1=0,20$ кал/(г·град), воды $c_2=1$ кал/(г×град).

3. По газопроводу пропускают углекислый газ при давлении $p=4$ атм и температуре $t=7^\circ\text{C}$. Какова скорость движения газа в трубе, если за время $\tau=10$ минут протекает $m=2$ кг углекислого газа? Площадь сечения канала труб $S=5$ см$^2$.

4. На плоскопаральную стеклянную пластину толщиной $d=2$ см под углом $\alpha=60^\circ$. Часту света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности и, преломляясь в торчино, выходит обратно параллельно первому отражению лучу. Определить расстояние между двумя отраженными лучами, если коэффициент преломления стека $n=1,73$.

5. Работа выхода электронов из kadния $A=4,08$ эВ. Какова должа быть длина света, чтобы при фотоэффициент максимальная скорость вылетающих электронов была равна $|v|=7,2 \cdot 10^5$ м/c? Постоянная Планка $h=6,62 \cdot 10^{-34}$ Дж·с, масса электрона $m=9,1 \cdot 10^{-31}$ кг.

Э. Голубов, Р. Емлин