Задачи М506—М510; Ф518—Ф522

42

Задачик
Кванта

M506—M510; Ф518—Ф522

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментом основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Найболее трудные задачи отмечены звездочкой. После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 апреля 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант», «Задачик «Кванта». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например: «M486, M487» или «Ф498». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи, просбапись присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике» или «…новая задач по математике»). В начале каждого письма просим указывать вашему, фактическому номер школьи и класс, в котором вы учитель.

M506*. Докажите, что для положительных $a, b, c$ и $d$ справедливо неравенство:
$$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2 abcd \geq a^2 b^2 + a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 + c^2 d^2.$$
Э. Туркевиц

M507. Вышедших в прошлом году в русском переводе «Избранных задачах» из журнала American Mathematical Monthly (M., «Мир», 1977) две задания замечательного математика П. Эрдеша (№№ 138 и 139) были даны без решения. Редакция «Кванта» получила целый ряд писем, содержащих решения этих задач. Преждече чем познакомить с решениями читателей журнала, мы предлагаем самостояльно подумать над этим трудными задачами; для этого мы включаем их в Задачик «Кванта».
Пусть $a_1 < a_2 < \dots < a_n < 2n$ — конечная последовательность натуральных чисел ($n \geq 6$).
а) Докажите, что
$$\min_{i,j} |a_i, a_j| \leq 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right),$$
где $|a_i, a_j|$ означает наименьшее общее кратное чисел $a_i$ и $a_j$, а минимум берется по всем параметрах чисел $a_i, a_j$.
б) Докажите, что
$$\max_{i,j} (a_i, a_j) > \frac{38n}{147} - c,$$
где $c$ не зависит от $n$, а $(a_i, a_j)$ означает наибольший общий делитель $a_i$ и $a_j$.
Оценки в задачах а) и б) нельзя улучшить (то есть коэффициент 6 заменить меньшим, а $\frac{38}{147} - \text{бóльшим})$.

M508. Окружность касается трех положительных с диаметрами $AB, BC$ и $AC$ ($C \in |AB|$, рис. 1). Докажите, что радиус окружности вдвое меньше от ее центра до прямой $AB$.

И. Шарыцин

43

М509. Решите в натуральных числах уравнения:
a) $2^x + 1 = 3^y$;
b) $z^x + 1 = (z + 1)^2$;
c) $z^x + 1 = (z + 1)^y$.

Д. Флейшман

М510. В книге «Венгерские математические олимпиады» приводится такая задача (№ 148): «Доказать, что для всех положительных $\alpha < \pi$ выполено неравенство
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha > 0.$$
Доказите следующее обобщение этого неравенства: для всех $0 < \alpha < \pi$ и натурального $n$
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha + \dots$$
$$\dots + \frac{1}{n} \sin n\alpha > 0.$$
И. Бирдер, Р. Ушаков

Ф518. На рисунке 2 показано положение двух точек $A$ и $B$ и их изображений $A'$ и $B'$, которые дает тонкая линия. Найти построением положение линия и ее фокусов.

XXIV физическая олимпиада школьников ПНР

Ф519. Груз $A$ подвешен кружке $BC$ с помощью нити $AB$ (рис. 3). Какова должа быть амплитуда колебаний груза, чтобы эти колебания были гармоничскими? Масса груза $m = 0,1$ кг, жесткость пружины $k = 1600$ Н/м.

Ф520. В проточном calorimetре (рис. 4) исследуемый газ пропускают по трубопроводу и нагревают с помощью спирали. Газ поступает в calorimetр при температуре $t_1 = 20^\circ\text{C}$. При мощности нагревателя $W_1 = 1$ кВт и расходе газа $m_1 = 540$ кг/ч температура газа за нагревателем оказалась такой же, как при мощности нагревателя $W_2 = 2$ кВт и расходе газа $m_2 = 720$ кг/ч. Давление газа в трубе всюду одинаково. Найти температуру газа $t_2$, если его тепломкость при постоянном объеме $c_V = 21$ Дж/(моль·К), а молярная масса газа $M = 29$ кг/кмоль.

Ф521. На рисунке 5 показана часть траектории движения хорошего объектаемого тела, брошенного под углом к горизонту. В точке $A$ тело имело скорость, равную по абсцилотной величины 20 м/с. Сколько времени тело летело от точки $A$ к точке $B$?

Ф522. Цель, показанная на рисунке 6, подключена к сети переменного тока с напряжением $U_0 = 220$ В. Каково напряжение между точками $A$ и $B$?

А. Зильберман