Поговорим об определениях

Квант 1978, №6 с. 32-34 Тег 4708

И. Яелом

Поговорим об определенных

Из чего состоит математика? Разумеется, в первую очередь, из теорем и аксиом («Геометрия 6», п. 6). Важнейшую часть математики составляют доказательства. Знаментий трактат Н. Бурбаки «Начала математики»*) начинается со слов: «Со времен греков говорить „математика“ — значит говорить „доказательство“».

Наряду с этим фундаментальной роль играют в математике определения («Геометрия 6», п. 2) — ведь, прежде чем доказывать теоремы о тех или иных математических объектах, надо поннимать, что это за объекты. Да что «доказывать»! Даже для того, чтобы просто понять теорему «Касметельная к окружности перпендикулярна диаметру, проходящему через точку касания», мы должны знать, что такое «окружность», «касметельная к окружности», «точка касания», «диаметр», «перпендикуляр».

*) Группа французских математиков, объединенная под псевдоном «Николá Бурбаки», поставила перед собой цель — написать полный трактат по современной математике. Traктат издается отдельными выпусками в Париже с 1939 года. У нас в стране перевод трактата начал выходить в 1958 году. Traктат еще не закончен. Поскольку во времяписания трактата математика тоже движется вперед, возможно, он не будет завершен ни когда.

Рис. 1.

СТВИЯ — «Ближайший род», из которой мы выделяем функции, а «кажду элементу одного множества…» — «видовое отличие», характеризующей их.

Определения по схеме Аристотеля существуют не только в математике. Так, можно сказать, что слон — это млекопитающее, обладающее длиным хобом. Как известно, богатика — это наука о растенях.

Одно и то же понятие «через близкий род и видовое отличие» можно, конечно, определить по-разному. Так, квадрат можно определить как прямоугольник со взаимно перпендикулярными диагоналими или прямоугольник, в котором можно вписать окружность. Можно также один и тот же «вид» выделять из разных «родов». Например, квадрат можно определить как ромб, имеющий прямой удел (рис. 1).

Уражнения

Дайте еще несколько определений квадрата по схеме Аристотеля.
Определите по той же схеме прямоугольник, ромб, параллелограмм.
Дайте несколько разных определений по схеме Аристотеля какого-нибудь нематематического понятия.

Многие определения в математике не укладываются в схему Аристотеля. Например, в определениях «График функции y=ax³ (a≠0) называют кубический параболой», «Мы будемоворить, а больше b’’, если разность a — b положительна», «Модулем числа a называется само число a, если a ≥ 0, и число — a, если a < 0» вряд ли можно естественно указыть «Ближайший род» и «видовое отличие».

Каждеое определение является соглашением об употреблении некоторого термина или обозначения. Поэтому нельзя говорить об истинности-ложности или доказательстве определений. С другой стороны, о разумности, о полезности, об удобстве того или иного определения размышлять можно и должно.

Из любого определения автоматически вытекает (верная) теорема, имеющая вид «равnocислности» («Алгебра 7», п. 21). Например, из определения центральной симметрии. Известное вам определение («Геометрия 6», п. 17) можно сформировать и так: фиксируем точку O; каждой точке A плоскости поставим в соответствие точку A’ той же плоскости, симметрично точке A относительно O (рис. 2); описанное отображение плоскости на себя называется симметричным с центром O.

Аристотель (Рим, Национальный музей у Терм).деления квадрата на с. 32 следует теорема «Прямоугольник модели и молко модели является квадратом, когда его смесные стороны конгузнуты».

Одна и та же теорема может тривильно вытекать из определения при одном способе построения некоторой теории и требовать содержательных рассуждений — при другом способе. Например, в школьном курсе геометрия теорема «Если точка X лежит между точками A и B, то |AX| + |XB| = |AB|» прямой следует из определения («Геометрия 6», п. 5), а в геометрии, основанной на системе аксиом Гильберта, требуется довольно длиного доказательства.

Рассмотрим два определения по нуля центральной симметрии. Известное вам определение («Геометрия 6», п. 17) можно сформировать и так: фиксируем точку O; каждой точке A плоскости поставим в соответствие точку A’ той же плоскости, симметрично точке A относительно O (рис. 2); описанное отображение плоскости на себя называется симметричным с центром O.

Рис. 2.

Задача 1. Докажите, что отображение плоскости на себя тогда и только тогда является симметрией с центром $O$ , когда его единственный неподвижной точкой является точка $O$ (т. е. $O'=O$ и при $A \neq O$ имеем $A' \neq A$ ), любую прямую оно переводит в параллельную прямую и существует такая точка $B$ , для которой $|B'O|=|BO|$ .

Теорема, установлена в задаче 1, позволяет дать понятие центральной симметрией второе определение: отображение плоскости на себя называется симметрией с центром $O$ , если его единственный неподвижной точкой является точка $O$ , любую прямую оно переводит в параллельную прямую и существует такая точка $B$ , для которой $|B'O|=|BO|$ .

В первом определении мы конструкровали неокоторый объект (отображение плоскости на себя) и далее извищение. Второе определение имеет вид: объект неокоторогорода называется mak-mo, если он обладает такими-то свойствами.

Определения первого вида называют конструктивными или прямыми, определения второго вида — дескриптивными (от латинского descriptio — «описание») или косвенными.

Сразу же подчеркием: понятие конструктивного и дескриптивного определений мы недаром объявили только на примере — они вряд ли допускают строгое описание. Несмотря на их распливчатость, нечеткость, противопоставление конструктивных и дескриптивных определений часто бывают полезным.

Если какое-то понятие определено дескриптивно, то не обязательно соответствующий объект существует. Изовем, например, натуральное число, отличное от 1, перфективным, если оно равно сумме своих делителей. В этом случае данное нами определение никакого объекта не определяло, потому что в числе делителей числа $n$ входит и само $n$ ; перфективных чисел не существует*).

Таким образом, в отличие от конструктивных определений, любое дескриптивное определение требует еще доказательства, что соответствующий объект существует.

Рассмотрим еще один пример дескриптивного определения: прямые $a$ и $b$ , лежащие в одной плоскости, называются сходящими, если они не имеют общих точек и при движении точки по одной из этих прямых в одном из направлений расстояние от нее до другой прямой неограниченно убивает (рис. 3). Задает ли это определение какой-нибудь объekt? Другими словами, существует прямые? Оказывается, ответ на этот вопрос зависит от того, в какой геометрии мы «находимся», какую геометрию рассматриваем.

В включенной геометрии (или, что для данного вопроса все равно, при той аксиоматике, которая принята в школьном учебнике) сходящся прямых, конечно, не существует (позто муы и были вынуждены прямые на рисунке 3 изображить искусственными). В геометрии же Лобачевского также прямые существуют (они там называются паралельными).

Средневековая научная мысль, дав декриптивные определения: философский камень — это препарат, позволяющий превращать неблагородные металлы в золото; вечный дикезамель (perpetuum mobile) — это прибор, позволяющий производить работу без затрата энергии, — безупречно билась над построением не

*) Стонт, однако, в определение перфективного числа добавить одно слово: натуральное число, отличное от 1, называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей, — как ситuation меняется. Например, $6=1+2+3$ , $28=1+2+4+7+14$ . О совершенных числах в «Кванте» много писали (1971, № 8, c. 1; 1972, № 4, c. 39; 1973, № 10, c. 71; 1975, № 5, c. 7).