Московский институт электронного машиностроения

78

Московский институт электронного машиностроения

Математика

Вариант 1

1. Что значит $a \geq b$? Доказать, что если $a > b$ и $b \geq c$, то $a > c$.
2. Найти площадь треугольника $ABC$, если заданы координаты его вершин: $A (3; -1)$, $B (1; -3)$, $C (-6; 6)$. Укажите все перемещения плоскости, при которых треугольник $ABC$ отображается на себя.
3. Решить уравнение
   $$\sqrt{1 - \sqrt{2}} \sin x + 2 \cos x = 0.$$
4. Решить неравенство
   $$4^x - 2^{x+1} - 3 < 0.$$
   Верно ли, что $\sqrt{2}$ является его решением?
5. Пусть $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$, где $f_1(x) = 2x - \sqrt{9 - x^2}$, $f_2(x) = \log_1(x^2 + x - 2)$.
   Найти область определения функций $f(x)$, а также наиболее и наиболее значения функций $f_2(x)$ на отрезке [3; 6].

Вариант 2

1. В хирургическом отделении работает 40 врачей. Сколько способами из них можно образовать бригаду в составе:
   a) хирурга и ассистента;
   b) хирурга и 4-х его ассистентов?
2. На плоскости заданы точки $A (-6; 3)$, $B (-7; 7)$, $C (-3; 6)$ и $D (-2; 2)$. Доказать, что четырехугольник $ABCD$ ромб, и вычислить его площадь. Укажать все перемещения плоскости, при которых ромб $ABCD$ отображается на себя.
3. Решить уравнение
   $$\sqrt{4 - \sqrt{3}} \cos x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sin x = 0.$$
4. Решить неравенство
   $$\frac{2^{x+1} - 5 \cdot 3^x}{2^x - 3^{x+1}} < 1.$$
   Верно ли, что $\lg \frac{1}{32}$ является его решением?
5. Функция $f$ задана формулой
   $$f(x) = \frac{|3x - 4| + 2x^2 - 4x - 1}{|2x + 1| - 2};$$

a) найти область определения функций $f$;
b) найти произвольную функцию $f$ в интервале $- \infty; -2 [$; чему равно $f' (-4)$?
b) имеет ли функция $f$ предель при $x \rightarrow \frac{1}{2}$ и при $x \rightarrow -\frac{3}{2}$?
г) при каком значении $a$ функция $g$, заданная правлом
$$g(x) = \begin{cases} f(x), \text{ если } x \neq \frac{1}{2}, \\ a, \text{ если } x = \frac{1}{2}, \end{cases}$$

имеет произвольную в точке $x = \frac{1}{2}$?
Вариант 3

1. Дана система неравенств
   $$\begin{cases} 2x - y > a, \\ 3x + 2y > 3a. \end{cases}$$
   a) при $a = 0$ указываются бы одно решение системы;
   b) верно ли, что все решения этой системы удовлетворяют неравенству $5x + y > 4a$?
   b) верно ли, что все решения этой системы удовлетворяют неравенству $x + 3y > 2a$?
2. При повороте координатной плоскости на угол $\alpha$ с центром в точке $M$ точка $A (2; 3)$ переходит в $A_1 (5; 2)$, а $B (2; 5)$ в $B_1 (7; 2)$. Найти образ точки $C (2; 4)$. Найти образ еще одной точки (по Ващему выбору). Найти величины угла $\alpha$ и координаты точки $M$.
3. Решить уравнение
   $$\sqrt{3 - 5 \cos x - 7 \sin^2 x} + \cos x = 0.$$
4. Решить неравенство
   $$\frac{x - 1}{9} - 3^{x-1} \log_2 56 + \log_2 7 < 0.$$
   Верно ли, что $\frac{1}{\lg 9}$ является его решением?
5. Функция $f$ задана формулой
   $$f(x) = a \ln x - 3x^2, \text{ где } a > 0.$$
   a) Найти наиболее значение и промежутки монотности функций $f$;

6. при $a = 32$ найти хотя бы одно решение неравенства
   $$f(x) > 0;$$
   b) при каких $a$ неравенство $f(x) > 0$ имеет хотя бы одно решение?
   г) доказать, что при $a < 300$ график функции $f$ не пересекается с графиком функций $g$, заданной формулой
   $$g(x) = \frac{18a - 3x^2}{2}.$$
   Вероно ли это утверждение при $a = 400$?
   B. Тоня