Решения задач М456—М460; Ф472—Ф477

44

Решения задач
M456—M460; Ф472—Ф477

M456. В каждой вершине выпуклого многообразника сходятся 3 ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Доказим, что вокруг этого многообразника можно описать сфера.

Рис. 1.

Пусть $A$ — вершина многоугольника, $AB, AC, AD$ — выходящие из нее ребра. Поскольку точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, через них можно проводить сферу; обозначим эту сферу через $S_A$ (рис. 1).

Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины. Докажем, что сферы $S_A$ и $S_B$ совпадают. Отсюда сразу вытекает, что сферы $S_X$ совпадают для всех вершин $X$, то есть все вершины лежат на одной сфере.

Пусть $BE$ и $BF$ — ребра, выходящие из вершины $B$. Они лежат в двух гранах $CAB$ и $DAB$, граничших с ребром $AB$. Пусть, например, ребро $BE$ лежит в грани $CAB$, а ребро $BF$ — в грани $DAB$ (заметим, что точка $E$ может совпадать с $C$ и, аналогично, точка $F$ может совпадать с $D$). По условиям точки $C, A, B, E$ лежат на одной окружности. При этом три точки $C, A$ и $B$ лежат на окружности, которая получается при пересечении сферы $S_A$ плоскостью, проходящей через точки $C, A, B$. Так как через три различные точки можно проводить не более одной окружности, то две построенные окружности совпадают, то есть точка $E$ лежит на сфере $S_A$. Аналогично доказывается, что точка $F$ лежит на сфере $S_A$. Значит, сфера $S_A$ проходит через точки $B, A, E, F$, то есть она совпадает со сфером $S_B$, что и требовалось.

И. Бернистей

M457. На плоскости дана несаморесекающая замкнутая ломана, никакие три вершины коморой не лежат на одной прямой. Наозем пари несоседних звенев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар четно.

Рис. 2.

Рассмотрим какие-нибудь два последовательных звена $AB$ и $BC$ ломаной. Продолжим эти звеня за вершину $B$; получим лучи $BK$ и $BL$ (рис. 2). Обведенное таких двух лучей назовем узолком. Такой уголок можно построить при каждой вершине ломаной. Легко понять, что количество особенных пар равно количество пересечений звенев с уголками. Мы утверждаем, что каждай и уголок пересекается с ломаной в четном числе точек. В самом деле, пройдет из соседней с $B$ вершины $A$ ломаной в другую оседнюю с $B$ вершину $C$, мы видим, что наша ломана в ходи т внутри уголка столкко же раз, сколько в ходи т из него (поскольку точки $A$ и $C$ обе находится в не уголка). Значит, и число особенных пар звенев тоже четно.

С. Фомин

M458. Написан многочлен $x^{10} + x^9 + x^8 + \dots + x^2 + x + 1$. Двое церам в макую церу. Сначала пересечаем любую из звездочек некоморыми числом, затем второй элемент числом любую из оставшихся звездочек, затем снова пересечаем любую из звездочек

Дa, может. Покажем, как для этого второй игрок должен играть.

Всего нужно заменить на числа 9 звездочек — 5 при нечетных степенях и 4 при четных. Каждый ходом второй игрок должен стать любой коэффициент при степении, имеющей противоположную четность по отношению к коэффициенту, который только что поставил его противник. Тогда после семи ходов останется 2 звездочек при степенях $x^k$ и $x^l$, причем хотя бы одно из чисел $k$ и $l$ нечетно, и ход будет у второго игрока. Пусть $P$ — многочлен, который

45

Числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будем действительным корней, то вызываемет первый церок, а если будем хотя бы один корень—вызываемаем второй. Может ли второй церок выиграть при любой церемония?

Если многочлен $f(x)$ ни кончается отрезка $[a,b]$ пучимаем значения чисел знаков, то при некистории $c \in [a,b]$ он обвичается $b = f(c)=0$

Рис. 3.

М459. В некоторых странах из каждого города в любой другой можно проехать, минут остальные города. Известна стоимость каждого макого проезда. Составлены два матрицы по городам страны. В каждой из этих матрирутов каждой город входимровно по одному разу. При составлении первого матрирута руководствовались следующим принципом: начальный пункт матрирута выбирается произвольно, а на каждом следующем шале среды города, через комorbие матрируем еще не проходил, выбирается том, поезда в комorbий из предыдущого города имеет наименьшую стоимость (если максимогородов несколько, то выбирается любый из них), и так до тех пор, пока не будут проедены все города. При составлении второго матрирута начальный город может выбирается произвольно, а на каждом следующем шале среды города, через комorbие матрируем еще не проходил, выбирается том, поезда в комorbий из предыдущого города имеет наименьшую стоимость. Доказим, что общая стоимость проекта по верному матрируту не больше общей стоимости проекта по верному матрируту.

Пусть $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ — билеты первого матрирута, $b_1, b_2, \dots, b_{n-1}$ — билеты второго матрирута ($n$ — число гордов). Обозначим стоимость любого билета $c$ через $\Pi(c)$, а стоимость проезда из города $A$ в город $B$ через $\Pi(B)$. Утверждение будет доказано, если нам удалось построить отображение $f: \{a_1, \dots, a_{n-1}\} \rightarrow \{b_1, \dots, b_{n-1}\}$, обладающее следующими двумя свойствами:

a) отображение $f$ взаимно однозначно;
b) для любого билета $a$ из первого матрирута $\Pi(a) \leqslant \Pi(f(a))$.

Мы укажем способ, по которым строится отображение $f$, обладающее свойством 6). Чтобы доказать его взаимно однозначность, мы показем, что этот способ приводит к построению отображения $g: \{b_1, \dots, b_{n-1}\} \rightarrow \{a_1, \dots, a_{n-1}\}$, — такого, что для любого билета $a$ из первого матрирута $g(f(a)) = a$.

Способ построения отображения $f$. Пусть $a$ — некоторый билет первого матрирута, взятый в городе $A$. Обозначим через $X_1(A)$ множество городов, которые в первом матрируте встречаются позже $A$, а через $X_2(A)$ — множество городов, встречающихся позже $A$ во втором матрируте. Возможны следующие два случая:

1. $X_1(A) \cap X_2(A) \neq \emptyset$.
   В этом случае наоземен билет $a$ первого матрирута счастливым и положим $f(a) = b$, где $b$ — билет второго матрирута, купленный в городе $A$ (см. рис. 4, a).

2. $X_1(A) \cap X_2(A) = \emptyset$.
   В этом случае наоземен билет $a$ первого матрирута несчастливым. Выберем из множества $X_1(A)$ такой город $B: B \in X_1(A)$, что $X_1(A) \cap X_2(B) = \emptyset$. Легко понять, что этими двумя условиями город $B$ определяется единственным образом. Действительно, предположив, что существует два города $B_1$ и $B_2$, такие, что $B_1 \in X_1(A)$, $B_2 \in X_1(A)$ и $X_1(A) \cap X_2(B_1) = \emptyset$, $X_1(A) \cap X_2(B_2) = \emptyset$, мы получим противоречие: поскольку из условия задачи следует, что для любых двух городов $C$ и $D$ либо $C \in X_2(D)$, либо $D \in X_2(C)$, должны быть либо $B_2 \in X_1(A) \cap X_2(B_1)$, либо $B_2 \in X_1(A) \cap X_2(B_2)$. Положим теперь $f(a) = b$, где $b$ — билет второго матрирута, купленный в выбранном городе $B$ (рис. 4, b).

48

Ф472. Нарисовать примерный график зависимости от времени показания волтметра после размыкания ключа K (рис. 7). Волтметр и камушка индукционности идеальны, R=100Ом, U=300В.

Рис. 7.

Рис. 8.

Ф473. Рисунок 9 сделан со стробоскопической формуле движения двух стальвающих шариков одинаковых диаметров, но разных масс. Стрелкой на рисунке показано направление движения одного из шариков do стольновения.

1. Определить отношение масс шариков.
2. Указать, в каком направлении движения второго шариков.

При разомкнутом ключе ток, текущий по цепи, равен $I_1 = \frac{U}{2R} = 1,5$ А. При этом волтметр показывает падение напряжения на сопротивлении III: $U_1 = I_1R = 150$ В.

После замыкания ключа в катушка возникает э. д. с. индукции, преяractвощая изменению магнитного потока через катушка, то есть преяractвощая изменению тока $I_1$, текущего по катушки. Так что в первый момент после замыкания ключа через катушка течение ток $I_1 = 1,5$ А. Найдем показание волтметра в этот момент. Очевидно, волтметр изменяет падение напряжения на сопротивлении II: $U_2 = I_2R$. Определим значение $I_2$. Из равенств

$$\begin{align*} I_0 &= I_1 + I_2, \\ U &= I_0R + I_2R \end{align*}$$

(см. рис. 7) находится

$$I_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{U}{R} - I_1\right) = 0,75$$ А.

Таким образом, в первый момент после замыкания ключа волтметр показывает

$$U_2 = I_2R = 75$$ В.

После установки ток в цепи волтметр, очевидно, будет показывать напряжение

$$U'_2 = U - I'_0R = U - \frac{U}{R + \frac{R}{2}}R = \frac{1}{3}U = 100$$ В.

Итак, сразу после замыкания ключа показание волтметра скачом падет от 150 В до 75 В, а затем постепенно нарастает до 100 В (рис. 8).

И. Слободецкий

◆

Пусть $m_1$ — масса первого шарика, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}'_1$ — его скорости соответствующего до и после стольновения, $m_2$ — масса второго шарика, а $\vec{v}_2$ и $\vec{v}'_2$ — его скорости до и после стольновения. Согласно закону сохранения импульса

$$m_1\Delta\vec{v}_1 + m_2\Delta\vec{v}_2 = 0,$$ или $m_1\Delta\vec{v}_1 = -m_2\Delta\vec{v}_2,$

(1)

где $\Delta\vec{v}_1 = \vec{v}'_1 - \vec{v}_1$ — изменение скорости первого шарика, $\Delta\vec{v}_2 = \vec{v}'_2 - \vec{v}_2$ — изменение скорости второго шарика при стольновении. Из (1) получаем

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|\Delta\vec{v}_2|}{|\Delta\vec{v}_1|}.$$

Следовательно, для того чтобы относение масс шариков, нужно построить векторы $\Delta\vec{v}_1$ и $\Delta\vec{v}_2$ и затем взять обратное относение их моделей.

49

Скорости шариков равны перемещениям шариков за время т между последовательными всышками лампы, деленным на т. Так как значение т одинаково для общих шариков как до, так и после столкновения, то в масштабе 1: $\frac{1}{\tau}$ векторы, изображющие скорости шариков, просто равны векторам перемещений шариков за время между последовательными всышками лампы. Воспользуемся этим для того, чтобы найти $\Delta v_1$ и $\Delta v_2$.

Мы знаем, как двигался один из шариков до столкновения. Для того чтобы построить вектор $\Delta v_1$, необходимо также знать, как двигался этот шарик после столкновения — по ветви II, III или IV? Для того чтобы выяснить это, нам придется переработь все возможные варианты (их всего три). При правильном выборе траекторий движения шариков векторы $\Delta v_1$ и $\Delta v_2$ согласно равенству (1) должны быть направлены в прямой проигнорложенные стороны.

Преждое чем приступить к построению, заметим, что $\Delta v$ не меняется при «обращении» движения шарика, то есть если do столкновения шарик 1 двигался по ветви I, а после столкновения — по ветви II, то $\Delta v$ такое же, как и в том случае, если do столкновения он двигался по ветви II, а после столкновения — по ветви I.

Теперь мы можем приступить к построению. Предположим, что к шарику 1 относится ветви I и II, а к шарику 2 — ветви III и IV. Построив в этом случае векторы изменений скоростей шариков (рис. 10), получим, что они не направлены вдоль одной прямой (на рисунке 10 для удобства векторы $v$ построены в масштабе 1: $\frac{1}{3\tau}$). Следовательно, нашей предположение не верно. Проверяя так же другие возможности варианты, убеждаемся, что к шарику 1 относится ветви I и IV, а к шарику 2 — ветви II и III (рис. 11). Измерив длины векторов, изображенных $\Delta v_1$ и $\Delta v_2$, найдем:

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|\Delta v_2|}{|\Delta v_1|} = \frac{1}{3}.$$

Теперь ответим на второй вопрос. Обозначим $\tau_1$ время между моментом столкновения шариков и последней до столкновения всышкой лампы. Тогда ясно, что перемещение шарика за это время должно составлять $\tau_1/\tau$ часть перемещения шарика за время т между всышками. Измерив соответствующие перемещения шарика, найдем, что $\tau_1/\tau$ равно 11/19. Таким же оно должно быть и для второго шарика. Неосредственный изменением убеждаемся, что этому условию удовлетворяет ветвь III. Следовательно, шарик 2 до столкновения двигался по ветви III.

И. Словодечкий

Ф474. Цень, показанная на рисунке 12, собрана из одинаковых резисторов и волтемеров. Первая волтемер показывает $U_1 = 10$ B, а третий — $U_3 = 8$ B. Каково показание второго волтемера?

Ясно, что волтметры не идеальны — в противном случае точки через резисторы не протекали бы, и показания волтемеров были одинаковыми.

Показания волтемров пропорциональны токам, текущим через них. Значит, токи, текущие через резисторы I, II и III, относятся как

$$I_1 : I_2 : I_3 = (U_1 : U_2 : U_3) : (U_2 + U_3) : U_3.$$

Поскольку резисторы одинаковы, падения напряжения на них пропорциональны токам. Для резисторов II и III имеем:

$$\frac{U_1 - U_2}{U_2 - U_3} = \frac{I_1}{I_3} = \frac{U_2 + U_3}{U_3},$$

51

Ф476. Природный уран состоящим из смеси двух изомотов с относительной амортизации 235 и 238 и относением концентрации 7:1000. Для увеличения концентрации $^{235}$U, который примещается в амортизаторх, используется истенение газообразного соединения $UF_6$ (шестифтористный уран) в вакуум через маленькое отверстия (эффузия). Газ пропускается через трубу T с пористыми стенками (рис. 17). Процедший через стенки трубы газ откачивается из сосуда C. Определять относение концентрации $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в относительной массе фтора равна 19.

Ф477. Резиновое колючо массы m лежит на главной горизональной плоскости. Колючо немного расстоящаем так, что оно сохраняет форму окружности и центр его осмается неподвижным. После эмодного колючо отнуском. Описать дальнейшее поведение колца. Козффициент уррузости резинового железа равен k.

Подставив численные значения, найдем
$$R_x \approx 0.22 \text{ Om}, \quad R - R_x \approx 18 \text{ Om}.$$
При этом $U_{AB} \approx 0.6 \text{ B}$, и при изменении Э. d. с. Е в пределах ±1 В значение $U_{AB}$ меняется чем на 0,03 В. Расчитанная нами схема может быть использована как стабилизатор небольших напряжений; впрочем, практические лучшие использовать вместе потенциометра вторую цепь из лампочки и резистора, включенных в обратном порядке.

А. Зильберман

Обозначит $n_1$ и $n_2$ число молекул соответственно $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в единице объема газа $UF_6$. За время $t$ через отверстие площади s проходит число $N_1$ молекул $^{235}$UF$_6$, равное
$$N_1 = v_{N1}stn_1,$$
и число $N_2$ молекул $^{238}$UF$_6$, равное
$$N_2 = v_{N2}stn_2,$$
где $v_{N1}$ и $v_{N2}$ — проекции средних скоростей молекул $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ на ось $x$, направленную perpendicularно отверстию.
Отношение $N_1/N_2$ — отношение концентраций молекул $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в отк�aваемом газе — равно
$$\frac{N_1}{N_2} = \frac{v_{x1}n_1}{v_{x2}n_2}.$$
Очевидно, что $\frac{v_{x1}}{v_{x2}} = \frac{v_1}{v_2}$, где $v_1$ и $v_2$ — средние квадратичные скорости движения молекул газов. Так как $v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$, где $m$ — масса молекул, то $\frac{N_1}{N_2} = \frac{n_1}{n_2} \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ ($m_1$ и $m_2$ — массы молекул $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ соответственно). Отсюда
$$\frac{N_1}{N_2} = \frac{7}{1000} \sqrt{\frac{352}{349}} \approx \frac{7,03}{1000}.$$
И. Слободецкий

Из сообщений симметрины представляется ясным, что колючо будет колебаться — растягивать и скжиматься, сохраняя форму окружности, и центр его будет оставаться неподвижным. Чтобы убедиться правильности этих представлений, достаточно рассмотреть движение какой-нибудь одной точки (или малого элемента) колца и убедиться в том, что она действительно совершает колебания.

Выделим малый элемент A колца. Когда колючо растянуто, на элемент A со стороны соседних участков колца действуют силы $|\vec{f}|$ упругости, направленные по касателью

52

ным. Равноведействующая $|\vec{F}|$ этих сил направлена к центру колба (рис. 18). Под действием этой силы элемент $A$ смешается к положению равновесия; при этом длина его уменьшается. Просочив по инерции положение равновесия (когда длина его нормальная — резина не растянута), элемент продолжает движаться к центру. При этом со стороны участков на него начало действовать скимающее его силы упругости, равноведействующая которых направлена от центра колба к положению равновесия. Таким образом, направление силы перiodических меняется на противоположное.

Посмотрим, как связаны между собой величины $|\vec{F}|$ этой силы и величины $\Delta r$ смешения элемента от положения равновесия.

Силы упругости $|\vec{f}|$ пропорциональны растяжению (удлинению) $\Delta l$ элемента, а растяжение $\Delta l$ пропорционально смешению $\Delta r$ элемента от положения равновесия (рис. 19).

Следовательно, сила $|\vec{F}|$ пропорциональная смешению $\Delta r$ элемента $A$ от положения равновесия. А как известно, под действием такой силы тело совершает гармонические колбания около положения равновесия. Значит, действительное колбацо будет колбааться около положения равновесия — положения, в котором оно не растянуто и не скатао.

Найдем период этих колбаций. В момент максимального растяжения все механическая энергия $E_1$ колба равна его потенциальной энергии — энергии упругой деформации:

$$E_1 = \Pi = \frac{k \Delta l^2}{2} = \frac{k [2\pi(r + \Delta r) - 2\pi r]^2}{2} = 2k\pi^2a^2$$

($a = \Delta r$ — амплитуда колбаций каждой точки колба).

При прохождения колбаом положения равновесия его полная механическая энергия $E_2$ равна сумме kinетических энергий всех его точки:

$$E_2 = K = \sum_i \frac{m_i v_{\max}^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}$$

($v_{\max}$ — скорость каждой точки колба при прохождения положения равновесия). Так как трене отсутствует, то согласно закону сохранения механической энергии $E_1 = E_2$:

$$2k\pi^2a^2 = \frac{mv_{\max}^2}{2}$$

Отсюда найдем $v_{\max}$:

$$v_{\max} = 2\pi a \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Но при гармонических колбациях $v_{\max} = \omega$. Значит, $\omega = 2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}$, и период колбаций точки колбаа, а следовательно, период колбаций всего колба равен

$$T = \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

A. Абрамян