Симметрия в задачах по физике

65

Симметрия в задачах по физике

С понятным симметричным веществом — в природе, техническе, искусстве, наук. Вспомним симметрию, свойственнуюабочке и кленовому листу, симметрию форм автоматизации и самоleta, симметрию вритичском построениистихотворения или музыкальнойфразы, симметрию орnamентов, симметрию в atomной структуре молекул и кристаллов. В частности, симметриядовольно часто встречается в задачахпо физике.

Что такое симметрия? Многие затрудняются дать ответ на этот вопрос, хотя проявления симметрии в различных конкретных случаях воспринимаются практическими всеми. В повседневной практике с понятным симметрии обычно сопоставляют нечто уравновешенное, гармоничное, обладающее хорошим соотношением пропорций. При конкретном применении этого понятия говорят, например, о симметрии относительно оси, симметри при отражении в зеркале, симметри квадрата, правильно шестиугольника и т. д.

Решая задачи, мы нередко используем симметрию, не оговариая этого факта, как нечто само собой разумелошее. Так, представляется очень видным, что центр тяжесто однородной прямогоЛЬной пластины находится в точке пересечения ее диагоналей, что поле вне заряженного металлического шара можно рассматривать как поле точного заряда, находящейся в центре шара, что математически магниток совершает колебания, симметричные относительно направления силы тяжестеки.

В решениях задач можно встретить фразы типа «из сообщаженной симметрии ясно, что…» или «на основании симметрии можно заключить…». Вот несколько конкретных примеров.

Задача 1. Чемыре одинаковых мощных заряда q размещены в вершинах квадрата. Какой заряд Q проименоположного знака надо помещить в центре квадрата, чтобы система зарядов оказалась в равновесии?

Равновесие означает, что сумма сил, приложенных к каждой заряду, равна нулю. При этом достаточно рассмотреть равновесие одного из пятей зарядов. Спрашивает, какого? ИЗ сообщаженной симметрии ясно, что рассматривать заряд Q не имеет смысла, так как он будет находиться в равновесии независимо от своей величины. Опять таки из симметрии очень видно, что все заряды q эквивалентны, так что с равным основанием можно выбрать любой из них. Расстояние на пример, заряд, находящейся в точке A (рис. 1). Изображим силы $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ и $\vec{F}_4$, действующие на него со стороны остальных четырех зарядов. Спроектируем эти силы на направление AB и запишем условие

66

Рис. 2.

равновесия:
$$\vec{F}_4 - \vec{F}_1 \cos 45^\circ - \vec{F}_2 \cos 45^\circ - \vec{F}_3 = 0,$$
или, используя закон Кулона (одинаковый для всех слагаемых множителей $1/(4\pi\varepsilon_0)$ попутно сокращаем):
$$\frac{Qq}{a^2/2} - \sqrt{2} \frac{q^2}{a^2} - \frac{q^2}{2a^2} = 0$$
(здесь $a$ — длина стороны квадрата). Отсюда следует, что
$$Q = \frac{q}{4} (2\sqrt{2} + 1).$$

Задча 2. Четыре черенах находятся в вершинах квадрата со стороны $a$. Они начинают одновременно двигаться с постояной по внешне скоростью $v$, причем первая черенах все время держит курс на вторую, вмора на премью, премья на чемвертую, чемвертая на первую. Встремятся ли черенах? Если встречется, то через какое время?

Прежде всего заметим, что с точки зреня условия задачи все черенах полностую равноправны, эквивалентны друг другу. Из сообщений симметрия ясно, что в любой момент времени черенах будут образовать квадрат, а скорости их будут направлены по сторонам квадрата (рис. 2). Орентация и размеры таких квадратов будут изменяться со временем — до тех пор, пока квадрат не стянется в точку $O$

(тогда черенах и встречятся). Опять таки из сообщений симметрия точка $O$ — общий центр всех упомянутых квадратов. Для того чтобы найти время $t$, через которого произойдет встречка черенах, разложим вектор скорости $v$ черенах на составляющую $\vec{v}_1$, направленную к центру $O$, и перpendикулярную составляющую $\vec{v}_2$. Тогда
$$t = \frac{a/\sqrt{2}}{|\vec{v}_1|} = \frac{a/\sqrt{2}}{|\vec{v}|/\sqrt{2}} = \frac{a}{|\vec{v}|}.$$

Задача 3. Оdnородный брусок массы $m$ высит на трех вертикальных проволоках равной длины, расположенных симметрично (рис. 3). Определять натяжения проволок, если средняя проволока стальная, а две другие медные. Считать, что модель Юнга стали в два раза больше modуля Юнга меди, а поперечные сечения проволок одинаковы.

Из сообщений симметрия ясно, что удлинение $\Delta l$ всех трех проволок одно и то же. По закону Гука силы натяжения стальной и медной provолок равны соответственно
$$|\vec{F}_c| = \frac{\Delta l}{l_0} SE_c \text{ и } |\vec{F}_M| = \frac{\Delta l}{l_0} SE_M,$$

рис. 3.

рис. 4.

68

торых будет уменьшаться по мере удаления от заряда $+q$. Картина сільовых линей и эквивпотенциальных поверхностей электрического поля, созданного точным зарядом $+q$ и наведенными на плоскости зарядами, показана на рис. 6, $a$ (сплошные сине линия — сливые линия поля, пунктирные — сечения эквивпотенциальных поверхностей).

Если эту несимметричную картину дополить до симметричной (рис. 6, 6), то получим картину электрического поля, образованного двумя точными зарядами $+q$ и $-q$, находящимся на расстоянии $2r$ друг от друга. Это означает, что сверху от плоскости электрического поле, созданное точным зарядом $+q$ и наведенных зарядами, совпадает с полем точных зарядов $+q$ и $-q$. Следовательно, искомая сила притяжения заряда $+q$ к плоскости равна силе взимодействия зарядов $+q$ и $-q$:

$$\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{4r^2}.$$

Задача 7. Мячи бросают с поверхностями земли под углом $\alpha$ с начальной скоростью $\vec{v}_0$ (рис. 7, $a$). На расстоянии $l$ от точки бросания находится вертикальная стена. Мячи упруто ударяется о стенку и отскакивает обратно. На каком расстоянии $x$ от стенки он приземлист?

Уберем мысленно стенку и продолжим траекторию полета мячка (пунктирная линия на рис. 7, 6). При упругом ударе о стенку абсолотная величина скорости мяча не изменяется, а угол падения $\beta$ равен углу отражения $\beta_1$. Следовательно, участки траектории $AB$ (в отсутствие стенки) и $AC$ (при наличии стенки) с им метричны относительно прямой $AA_1$ (относительно стенки). Отсюда получаем:

$$x = OB - l = \frac{v_0^2}{|g|} \sin 2\alpha - l.$$

Задача 8. Мячиду мощами $A$ и $B$ включено сопротивление $R$. Кроме мощи между каждой парой мощек, включая сода и мощи $A$ и $B$, также присоединено сопротивление $R$. Наимену результатующей общее сопротивление мощами $A$ и $B$.

Разместим мысленно указанные $N-2$ точки на прямой $OO_1$, относительно которого точки $A$ и $B$ симметричны. Тем самым мы перейдем от несимметричной картины, показанной на рис. 8, $a$, к симметричной картине, приведенной на рис. 8, $b$ (на рис. 6). Из сообщений симметрия ясно, что потенциальы всех точки на прямой $OO_1$ одинаковы, поэтому эти точки можно разведить. Тогда искомое сопротивление $R_{AB}$ можно найти по формуле:

$$\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R} + \frac{N-2}{2R}.$$

Отсюда

$$R_{AB} = 2R/N.$$

Вернемся к вопросу, поставленному ранее: что такое симметрия? По какому основному признаку можно устотеть ее присутствие в том или ином случае? Известный немецкий математик Герман Вейль предложил прекрасное и простое определение симметрицы, согласно которой симметричный называется какой предмет, который можно как-то изме