Đại học bang Yaroslavl

73

vòng tròn nguyên thủy $y=1$ của một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số

$$y = 1 + \cos^2 x$$

trên khoảng $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ và dòng này.

15. Sẽ có sự nhất quán?

$$a_n = \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + n + 1}$$

đơn điệu?

16. Chứng minh rằng với một số tự nhiên tùy ý $n \geq 2$

$$\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right)\left(1 - \frac{1}{16}\right) \cdot \dots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n}.$$

17. Tính giới hạn

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 5^n}.$$

18. Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà chữ số sau lớn hơn chữ số trước?

19. Các đường thẳng $l_1, l_2, l_3$ song song và không nằm trong cùng một mặt phẳng. Có $m$ điểm được tính trên $l_1$, $l_2 - n$ điểm và $l_3 - k$ điểm. Có bao nhiêu hình tam giác có đỉnh tại các điểm này?

20. Tổng bình phương độ dài tất cả các cạnh và tất cả các đường chéo của một đa giác đều bằng $n^2r^2$, trong đó $n$ là số cạnh của đa giác và $r$ là bán kính của hình tròn ngoại tiếp. Chứng minh điều đó.

21. Chứng minh rằng tỉ số của tổng bình phương độ dài các đường trung tuyến của một tam giác với tổng bình phương độ dài các cạnh của nó bằng $\frac{3}{4}$.

22. Tính diện tích của một hình thang cân nếu chiều cao của nó là $h$ và nhìn thấy cạnh của nó từ tâm của đường tròn ngoại tiếp một góc $\alpha$.

23. Có thể dựng một tam giác từ các đoạn thẳng bằng các đường trung tuyến của tam giác không?

24. Tính độ dài các đường chéo của sự song song dựng trên các vectơ $\vec{a} = 5\vec{p} + 2\vec{q}$ và $\vec{b} = \vec{p} - 3\vec{q}$, nếu biết rằng $\|\vec{p}\| = 2\sqrt{2}, \|\vec{q}\| = 3$ và $(\vec{p}, \vec{q}) = \frac{\pi}{4}$.

V. Vyshensky, N. Perestyuk, A. Samoilenko

Đại học Bang Yaroslavl được thành lập năm 1918 theo nghị định do V.I. Lênin. Do tình hình đất nước khó khăn sau nội chiến, năm 1924 trường được tổ chức lại thành viện sư phạm. Năm 1970 - năm kỷ niệm 100 năm ngày sinh của V.I. Lênin - trường đại học tiếp tục hoạt động. Hiện nay trường có 5 khoa: toán, vật lý, kinh tế, sinh học và tâm lý học, lịch sử và luật.

Khoa Toán có hai khoa - toán học và toán ứng dụng.

Sinh viên Khoa Vật lý chuyên về vật lý lý thuyết, vật lý chất rắn và vật lý phóng xạ.

Toán học

Khoa Toán

1. Từ động dục $P$ ($-3; 9$) của đường cong $y=x^2$ các đường vuông góc bị lược bỏ trên trục tọa độ. Theo tỷ lệ nào, tính từ trục x, đường cong $y=x^2$ chia diện tích hình chữ nhật được tạo bởi các đường vuông góc này và các trục tọa độ?

2. Góc ở đỉnh của một tam giác đều nội tiếp trong một đường tròn cho trước phải bằng bao nhiêu để chu vi của nó lớn nhất?

3. Giải phương trình

$$x + 4)\log_4(x + 1) - (x - 4)\log_2(x - 1) = \frac{8}{3}\log_2(x^2 - 1).$$

4. Chứng minh bất đẳng thức

$$n^{n+1} > (n+1)^n (n \geq 3, n \in \mathbb{N}).$$

Khoa Vật lý

1. Tìm thấy

$$\lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{x^4 - 4x^2 + 4}{x^3 - 2x}.$$

2. Bề mặt bên của một đường thẳng tứ giác đều bằng $a^2$. Tìm số lớn nhất của dòng này.

3. Giải bất đẳng thức:

$$\frac{2 - 4\log_9 x}{\sqrt{2x^2 - x - 6}} \geq 0.$$

4. Giải phương trình:

$$81(\sin 2x - 1)\cos 3x - 9(\sin x - \cos x)^2 = 0.$$

M. Dobrokhotova