Bạn có quen thuộc với ống kính không?

Kvant 1978, số 6 tr. 58, 59, 61, 62, 63, 64 Thẻ 901E

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

A. Dozorov

Có lẽ không có cậu bé nào trên thế giới không chơi với kính lúp (ống kính). Tuy nhiên, các cô gái cũng vậy. Bạn có biết rõ về ống kính không? Điều này có thể dễ dàng được xác minh bằng thực nghiệm.

Nếu bạn có một thấu kính thủy tinh được giới hạn bởi hai bề mặt lồi (một trong số đó có thể phẳng hoặc thậm chí lõm), hãy sử dụng nó để tạo ra hình ảnh Mặt trời trên mặt giấy trắng. Các tia từ Mặt trời ở rất xa Trái đất, chiếu tới Trái đất theo chùm tia gần như song song. Thấu kính thu thập các tia này tại một điểm gọi là tiêu điểm của nó. Khoảng cách từ thấu kính đến tiêu điểm gọi là tiêu cự. Xác định tiêu cự của thấu kính chí. Hãy nghĩ xem tại sao thấu kính thủy tinh đôi khi được gọi là “thủy tinh đang cháy”?
Đi tới bật TV, đặt ống kính giữa màn hình và một tờ giấy trắng. Bằng cách trộn tấm, bạn sẽ có được hình ảnh rõ ràng của màn hình tivi trên đó. Hình ảnh này sẽ như thế nào?

Nhân tiện, họ nói rằng máy ảnh hoạt động theo cách tương tự, chỉ có điều ở đó phim chụp ảnh hoặc nhựa chụp ảnh đóng vai trò của một tờ giấy trắng.

Không khó để có được hình ảnh của một cửa sổ, một ngọn đèn đang bật hoặc một tòa nhà ở xa. thậm chí có thể bạn đã “chụp ảnh” được sản phẩm của mình theo cách này.

Cố gắng xoay thấu kính dọc theo một trục vuông góc với mặt phẳng cắt ngang của thấu kính. Hình ảnh có xoay không?

Sau khi nhận được bất kỳ hình ảnh nào trên mặt giấy, hãy lấy nó ra để xem xét. Sau đó đóng lại

Hãy nhìn vào bức ảnh màu đỏ của những giọt sương trên lá. Hóa ra giọt nước cũng là thấu kính. Bản thân giọt nước càng nhỏ thì hình ảnh trong giọt càng lớn.

Ảnh của A. Maktsenko

nửa thấu kính. Điều gì đã thay đổi? Tất nhiên, hình ảnh vẫn ở vị trí cũ và cùng kích thước, nhưng độ sáng của nó giảm đi. Hãy cố gắng giải thích điều này.

Về nguyên tắc, bất kỳ sản phẩm nào của vật thể có bề mặt không phẳng đều tạo thành thấu kính. Vì vậy, những quả bóng thủy tinh phóng đại rất tốt, và hóa ra những quả bóng càng nhỏ thì sự chú ý của anh ta càng lớn. Quả bóng nhỏ là bộ phận chính của chiếc kính hiển vi đầu tiên.

Nếu bạn có một quả bóng như vậy, bạn có thể tự làm cho mình một chiếc kính hiển vi bỏ túi không phẳng. Để thuận tiện, tốt hơn hết bạn nên cố định bóng vào khung. Đồ vật được đề cập phải được đặt càng gần quả bóng càng tốt.

Que thủy tinh (bạn có thể tìm thấy chúng trong phòng hóa học của trường) cũng là thấu kính.

Ngay cả bề mặt gợn sóng của nước cũng hoạt động giống như một thấu kính. Bật đèn trong phòng tắm, đổ đầy nước vào bồn tắm và khuấy nhẹ nước - những chú thỏ ánh sáng sẽ chạy dọc theo đáy bồn tắm.

Hãy thực hiện các thí nghiệm mà chúng ta đã nói đến và nghĩ về những thí nghiệm thú vị khác mà bạn có thể thực hiện với ống kính.

(Để bắt đầu, xem trang 28)

Đặt $P$ và $S$ lần lượt là các điểm được xác định bởi phương trình (1) với $\lambda = 1$ và phương trình (2). Tọa độ của vectơ $\vec{SP}$ bằng hiệu tọa độ của điểm $P, S$ :

$\begin{cases} x = \frac{1}{2} \cos \frac{q}{2} \cos \varphi, \\ y = \frac{1}{2} \cos \frac{q}{2} \sin \varphi, \\ z = \frac{1}{2} \sin \frac{q}{2}. \end{cases}$

Từ phương trình (3), rõ ràng là vectơ $\vec{SP}$ thay đổi tuần hoàn với chu kỳ 4l. Độ dài của nó $|\vec{SP}|$ , như bạn mong đợi, vẫn bằng $\frac{1}{2}$ (kiểm tra!). Do đó, các thuộc tính của vectơ này thay đổi thành một vòng quay và khi $\varphi$ thay đổi theo giá trị 2π, hướng của vectơ sẽ thay đổi theo hướng ngược lại và khi $\varphi$ thay đổi trong phạm vi từ 0

(Cuối cùng xem trang 81)

Định lý Fermat giúp tìm điểm cực trị của hàm số $f$ như sau. Theo định lý này, các điểm cực trị chỉ có thể là những điểm bên trong của vùng $D(f)$ tại đó đạo hàm tồn tại và bằng 0, hoặc những điểm tại đó đạo hàm không được xác định. Tất cả các điểm như vậy được gọi là “quan trọng” đối với một chức năng nhất định.

Sau khi tìm được điểm tới hạn và khoảng đơn điệu của một hàm số nhất định, người ta thường có thể tìm được điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm này. Do đó, trong ví dụ được xem xét ở trên, tại điểm tới hạn $x$ 1, hàm đạt mức tối thiểu do thực tế là nó dừng trong khoảng [0; 1] và quay lại [1; +∞].

Tuy nhiên, trong hầu hết bài toán thực tế, bạn không cần phải tìm cực trị mà là giá trị nhỏ nhất của một số hàm (nguyên liệu thô, vật liệu, chi phí) hoặc giá trị nhỏ nhất (sản phẩm, giá trị gần đúng, v.v.). Sự khác biệt giữa các khái niệm này là gì?

Khi chúng ta nói rằng hàm $f$ có cực trị tại điểm $x_0$ , giả sử, mức tối đa, do đó chúng ta mô tả hành vi của hàm trong close_TO, rằng nó sẽ giết chết trong khoảng [0; 1] và quay lại [1; +∞].

Cũng lưu ý rằng nếu một hàm được cho trên một khoảng thì nó có thể không có giá trị tối thiểu hoặc giá trị nhỏ nhất trên khoảng này. Ví dụ: đây là hàm $y(x)$ trên khoảng [0; 1]: nó không đạt đến giá trị nhỏ nhất cũng như giá trị nhỏ nhất. Thật vậy, ở đầu bên trái của khoảng $y(x)$ trở nên nhỏ tùy ý nhưng không nhận giá trị 0 và ở đầu bên phải “không đạt” giá trị 1. Một ví dụ khác: hàm

$y(x) = \frac{x-2}{(x-1)(x-3)},$

được chỉ định trên khoảng [1; 3]. Khi $x$ tiến đến 1, các giá trị của hàm sẽ tăng vô hạn (hàm được cho là tiến đến “mặt phẳng vô cực”). Khi $x$ tiến tới 3, các giá trị của hàm sẽ tăng vô hạn (hàm có xu hướng “âm vô cực”!) Ở đây thậm chí không có giá trị nào mà hàm có thể “đạt tới”.

Lưu ý rằng đối với các hàm khả vi được xác định trên một khoảng, sự không nhất quán như vậy không thể phát sinh.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ.

Ví dụ 2 (MEIS *, 1977). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm $y(x)=x-2\ln x$ trên khoảng [1; $e$ ].

Đây $y'=1-2/x$ . Đánh đồng đạo hàm bằng 0 và giải phương trình thu được, ta tìm thấy: $x=2$ . Vì $1<2<e$ , điểm này rất quan trọng. Hơn nữa, phân tích công thức $y'=1-2/x$ , chúng ta thấy đạo hàm không được xác định tại $x=0$ mà điểm này nằm ngoài khoảng [1; $e$ ]. Điều này có nghĩa là hàm được xác định và khả vi trên khoảng [1; $e$ ] và do đó, theo quy tắc trên, bắt buộc phải lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, và mỗi giá trị này sẽ nằm ở một trong ba điểm: $x=1$ , $x=e$ (điểm biên), $x=2$ (điểm tới hạn). Chúng ta có: $y(1)=1$ , $y(2)=2-2\ln 2$ , $y(e)=e-2$ . Sau khi ước tính những con số này, chúng ta có thể chỉ ra rằng $y(2)$ là nhỏ nhất và $y(1)$ là giá trị lớn nhất của hàm này trong khoảng [1; $e$ ], nhưng việc so sánh $2-2\ln 2$ và $e-2$ không hề dễ dàng. Hãy để chúng tôi kiểm tra hành vi của các chức năng trên phân khúc này. Xây dựng sơ đồ dấu của đạo hàm và sự tăng giảm của hàm $y$ (Hình 2), ta thấy hàm $y$ tiêu diệt [1; 2] và tăng thêm [2; $e$ ]. Điều này có nghĩa là giá trị tối thiểu của hàm $y$ tồn tại và đạt được ở $x=2$ (và đây là điểm tối thiểu). Giá trị cao nhất cũng tồn tại và đạt được tại một trong các điểm $x=1$ , $x=e$ (nhưng không có điểm nào trong số đó là điểm tối đa!). So sánh $y(1)=1$ và $y(e)=e-2$ , chúng ta thấy rằng $e-2<2,9-2=0,9<1$ . Điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất của hàm là $y(1)=1$ .

Theo cách tương tự (bằng dấu của đạo hàm), tất cả các điểm tới hạn của hàm đều được kiểm tra khi cần tìm tất cả các cực trị của hàm và chỉ ra bản chất của chúng. Nguyên tắc chung ở đây là thế này.

Nếu tại điểm $x_0$ đạo hàm đổi dấu từ “cộng” thành “trừ” thì $x_0$ là lũy thừa cực đại của hàm số;

Nếu tại điểm $x_0$ đạo hàm đổi dấu từ “trừ” thành “cộng”, thì $x_0$ là lũy thừa cực tiểu của hàm số;

*) Viện Truyền thông Điện tử Moscow.

nếu đạo hàm tại điểm $x_0$ bằng 0, nhưng dương cả đến điểm $x_0$ và xa hơn nó, hoặc âm cả đến điểm $x_0$ và xa hơn nó, thì hàm số không có cực đại hay cực tiểu tại điểm $x_0$ (những điểm như vậy được gọi là “vượt quá”).

Ví dụ 3. Tìm cực trị và giá trị nhỏ nhất, nhỏ nhất của hàm $y(x)=3x^5-5x^3+1$ trên khoảng [−2; 2].

Đánh đồng đạo hàm $y'(x)=15x^4-15x^2$ với 0, ta thu được ba điểm tới hạn: $x=-1$ , $x=0$ , $x=1$ . Xây dựng sơ đồ dấu của đạo hàm và hành vi của hàm số (Hình 3), ta thấy hàm $y$ có điểm cực đại tại điểm $x=-1$ , điểm ngắt tại $x=0$ và điểm cực tiểu tại điểm $x=1$ . So sánh giá trị của hàm $y$ tại các điểm $x=-2$ , $x=-1$ , $x=1$ và $x=2$ , ta thấy giá trị lớn nhất của hàm trên một đoạn cho trước là $y(2)=57$ và nhỏ nhất là $y(-2)=-55$ .

“Văn bản” bài toán đến mức cực đoan

Ở trên chúng tôi tập trung nghiên cứu hàm số sử dụng đạo hàm. Nhu cầu nghiên cứu như vậy sẽ nảy sinh với lời giải nhiều “văn bản” ứng dụng bài toán. Sơ đồ chung của lời giải những bài toán này như sau. Chúng tôi mô tả các điều kiện bài toán với các biến và phương trình, đồng thời tính toán hàm có cực trị phải tìm được. Hàm này thường phụ thuộc vào nhiều biến, nhưng với sự trợ giúp của phương trình, chúng ta biểu thị tất cả các biến theo một biến, thay thế chúng vào biểu thức của hàm và thu được hàm của một biến, sau đó chúng ta thực hiện nghiên cứu bằng phương pháp tiêu chuẩn.

Ví dụ 4 (MEIS, 1977). Tìm hình nón có thể tích lớn nhất, tạo thành Comorodo ta có độ dài cho trước $l$ .

Thể tích của hình nón được biểu thị bằng chiều cao $H$ và bán kính đáy hình nón $R$ như sau:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H.$

Công thức này bao gồm hai biến

Hình 2.

Hình 3a.

Hình 36.

Hình 4.

(R và H), nhưng sử dụng điều kiện là những cái được tạo thành có độ dài l, có thể loại bỏ một trong các biến. Chính xác thì cái nào? Về nguyên tắc thì không có gì khác biệt, nhưng trong thực tế chúng ta phải tính đến việc chúng ta sẽ phải cắt dữ liệu khỏi phương trình $V'=0$ , vì vậy tốt hơn là nên để biến mà qua đó V được biểu thị đơn giản nhất. Trong trường hợp này, chúng ta có: $R^2+H^2=l^2$ , do đó $R^2=l^2-H^2$ và cả $H^2=l^2-R^2$ . Chúng tôi nhận được:

$V(H) = \frac{1}{3} \pi (l^2-H^2) H,$

$V(R) = \frac{1}{3} \pi R^2 \sqrt{l^2-R^2}.$

Có thể thấy bỏ H thì tốt hơn

$V(H) = \frac{1}{3} \pi l^2 H - \frac{1}{3} \pi H^3,$

$V'(H) = \frac{1}{3} \pi l^2 - \pi H^2.$

Hàm V được xác định (theo nghĩa bài toán) cho $H \in [0; l]$ . Chỉ có một điểm tới hạn: $H = l/\sqrt{3}$ . Xây dựng sơ đồ dấu của một hàm tùy ý và hành vi của nó (Hình 4), chúng ta thấy rằng $H = l/\sqrt{3}$ là điểm cực đại và tại đó đạt được giá trị cực đại của hàm V, vì trước điểm này V quay trở lại và sau điểm này nó giảm.

Lưu ý rằng nếu bài toán hỏi bán kính đáy nào thì thể tích của hình nón lớn nhất, thì lời giải của chúng tôi sẽ không thay đổi. Trước tiên chúng ta sẽ tìm $V(H)$ , điểm cực đại (và giá trị lớn nhất)

$H = l/\sqrt{3}, \text{ а потом}$
$R = \sqrt{l^2 - (l/\sqrt{3})^2} = l\sqrt{2/3}.$

Nhấn mạnh

1 (MITXT*), 1977). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $y(x) = x^4-8x^2-9$ trên khoảng [-1; 3].

2 (MINKH**), 1977). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $y(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$ trên khoảng [0; $\pi/3$ ].

*) Viện Công nghệ Hóa chất Mátxcơva.
**) Viện Kinh tế Quốc dân Moscow.

(MSU, Cơ học và Toán học, 1977). Cho hàm $f(x) = \cos x \sin^2 x$ , $x \in [-\pi; \pi]$ . Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của hàm $f$ trên đoạn này lớn hơn - 0,39.
(MEIS, 1977). Giá của một viên kim cương tỷ lệ thuận với bình phương khối lượng của nó. Nếu một viên kim cương được cắt thành hai phần thì tổng giá trị của hai phần đó nhỏ nhất?
(MEIS, 1977). Cho điểm $A(0; 3)$ và $B(4; 5)$ . Tìm điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho $S = |AM| + |MB|$ là nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $y(x) = \sin(x)$ .
Cần xây dựng một số ngôi nhà với tổng diện tích sinh hoạt là 40.000 m2. Chi phí xây dựng một ngôi nhà có diện tích sinh hoạt $S$ bao gồm chi phí cho công năng, tỷ lệ với $\sqrt{S}$ và chi phí cho phần thuê, tỷ lệ với $S \sqrt{S}$ . Khi xây một ngôi nhà có diện tích 400 m2, 80% chi phí sẽ dành cho công năng sử dụng. Nên xây bao nhiêu căn nhà để giữ chi phí ở mức thấp nhất có thể?
Công suất tiêu hao cho chuyển động của tàu hơi nước tỷ lệ thuận với lập phương tốc độ của nó. Tìm tốc độ tiết kiệm nhất của tàu hơi nước khi chuyển động ngược dòng, tốc độ của nó là $a$ km/h.
Có một loại pin có điện trở trong $r$ . Điện trở nào nên được kết nối với pin để năng lượng giải phóng trên nó là tối thiểu?
Một viên gạch có khối lượng $m$ nằm trên mặt phẳng nằm ngang. Với lực (modulo) tối thiểu là bao nhiêu và nó phải được kéo một góc bằng bao nhiêu so với mặt phẳng để nó chuyển động nếu hệ số ma sát là $k$ ?
(MISIS*), 1977). Xác định các khoảng tăng giảm, cực trị và xây dựng đồ thị của hàm số

a) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ ;
b) $f(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2$ ;
c) $f(x) = x^4 - \frac{20}{3}x^3 + 8x^2$ ;
d) $f(x) = x^2(x - 1)^2$ ;
e) $f(x) = 3x^3 - x + 2$ .

(MISIS, 1977). Trên khoảng $[0; \pi]$ hàm $y = 1 - \cos x$ được đưa ra. Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ của giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số này với trục $Ox$ .
(MISIS, 1977). Yêu cầu chế tạo một bể hình trụ kín có thể tích $V$ . Kích thước của nó phải là bao nhiêu để cần ít vật liệu nhất cho quá trình sản xuất?
(MBTY**), 1977). Tất cả các đỉnh của tam giác vuông đều thuộc hình cầu bán kính $R$ . Chiều cao của biển báo thuộc hình cầu bán kính $R$ phải là bao nhiêu. Chiều cao của biển báo thuộc hình cầu bán kính $R$ phải là bao nhiêu. Chiều cao của biển báo thuộc hình cầu bán kính $R$ phải là bao nhiêu. Chiều cao của biển báo thuộc hình cầu bán kính $R$ phải là bao nhiêu. Chiều cao của biển báo thuộc bán kính $R$ phải là bao nhiêu. Chiều cao của biển báo thuộc bán kính $R$ phải là bao nhiêu.

*) Viện Thép và Hợp kim Moscow.
**) Trường Kỹ thuật Cao cấp Mátxcơva.

(MISIS*), 1977). Tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của hàm số

a) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$ trên đoạn $[-4; 0]$ ;
b) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 9$ trên đoạn $[-1; 1]$ ;
b) $f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 1$ trên đoạn $[-3; -1]$ .

(MBTY, 1977). Một trong các đế của hình trụ là một phần của quả bóng, còn đế kia thuộc về đường tròn lớn của quả bóng này. Bán kính của quả bóng là $R$ . Chiều cao của hình trụ phải là bao nhiêu để thể tích của nó nhỏ nhất?
(MINCH, 1977). Tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của hàm

a) $f(x) = 2.2^{3x} - 9.2^{2x} + 12.2^x$ trên đoạn $[-1; 1]$ ;
b) $f(x) = 2\ln^3 x - 9\ln^2 x + 12\ln x$ trên đoạn $[e^{3/4}; e^3]$ ;
g) $f(x) = 2\log_2^3 x - 15\log_2^2 x + 36\log_2 x$ trên đoạn $[4; 16]$ .

(MISIS, 1977). Từ số lượng hình nón bao quanh một quả bóng cho trước, hãy tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất.
(Bản đồ, 1977). Tàu neo đậu cách điểm gần nhất của Berezer 9 km. Từ tàu bạn cần cử một thủy thủ đến trại cách đó 15 km, tính dọc theo bạch dương, tính từ điểm berezer gần tàu nhất (trại nằm trên bạch dương). Nếu một thủy thủ có thể đi bộ với tốc độ 5 km/giờ và đi bộ với tốc độ 4 km/giờ thì anh ta nên hạ cánh ở điểm nào trên Berezer để đến trại trong thời gian ngắn nhất?
(Bản đồ, 1977). Một góc vuông có thể được thêm vào một tam giác đều có đáy $a$ và chiều cao $h$ sao cho hai đỉnh của nó nằm trên đáy của tam giác và hai đỉnh còn lại nằm trên các cạnh. Chiều cao của hình chữ nhật phải là bao nhiêu để nó có giá trị nhỏ nhất (-3; 0) và (0; 5)?
(MISIS, 1977). Hình được giới hạn bởi đường thẳng $y = x^2$ , $y = 2x^2$ , $x = 6$ song song với diện tích lớn nhất sao cho hai đỉnh của nó nằm trên hình chữ nhật $y = x^2$ , $y = 2x^2$ . Tìm khu vực này.
(MISIS, 1977). Trong hình được giới hạn bởi đường thẳng $y = 3x$ và parabol $y = x^2$ , một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất được dựng sao cho hai đỉnh của nó nằm trên hình chữ nhật $y = 3x$ , $y = 2x^2$ . Tìm khu vực này.
(MISIS, 1977). Trong hình được giới hạn bởi đường thẳng $y = 3x$ và parabol $y = x^2$ , một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất được dựng sao cho hai đỉnh của nó nằm trên hình chữ nhật $y = 3x$ , $y = 2x^2$ . Tìm khu vực này.

*) Viện Kỹ thuật Xây dựng Mátxcơva.