Phương pháp chuyển động ảo

9

Phương pháp chuyển động ảo
(về một hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng)

Năm 1717, Johann Bernoulli giới thiệu một phương pháp mới lời giải tĩnh bài toán - phương pháp chuyển vị ảo. Phương pháp này đơn giản và thanh lịch; nó cho phép người ta tính toán các điều kiện cân bằng của các hệ cơ học phức tạp mà không cần dùng đến các phép tính rườm rà; nó có thể được sử dụng để giải cả tĩnh điện trượt nước bài toán và bài toán. Nó dựa trên tính chất của các lực phản ứng liên kết phát sinh từ định luật bảo toàn năng lượng: với một độ lệch nhỏ của hệ so với vị trí cân bằng, tổng công của các lực phản ứng liên kết bằng không.

Trong bài viết này, lấy bê tông bài toán làm ví dụ, chúng tôi sẽ cố gắng cho người đọc thấy hệ quả này của định luật bảo toàn năng lượng dẫn đến những kết quả tuyệt đẹp nào.

Bài toán 1
Điện tích Q được phân bố đều trên một quả cầu kim loại mỏng, cứng tuyệt đối có bán kính R. Lực F tác dụng lên một đơn vị diện tích bề mặt từ phần còn lại của điện tích là bao nhiêu?

Theo điều kiện, hình cầu được coi là hoàn toàn cứng nên bán kính thực tế R của nó không thể thay đổi. Tuy nhiên, hãy tưởng tượng rằng do lực đẩy của cùng một điện tích của quả cầu, lượng tăng lên một chút - một lượng vô cùng nhỏ δR. Nói cách khác, hãy tưởng tượng rằng mỗi điểm của quả cầu đã thực hiện một chuyển động cực nhỏ δR theo hướng vuông góc với bề mặt. Chúng tôi nhấn mạnh rằng sự thay đổi bán kính δR hoàn toàn là tưởng tượng; tuy nhiên, với sự trợ giúp của chuyển động tinh thần, tưởng tượng này của các điểm của hình cầu, chúng tôi đã giải được bài toán rất đơn giản, đồng thời, tất nhiên, δR sẽ không được đưa vào đáp số.

Điều gì xảy ra khi bán kính hình cầu tăng thêm δR? Một quả cầu tích điện có đặc tính của một tụ điện - nó giữ lại điện tích truyền vào nó. Thế năng bề mặt của một quả cầu có liên hệ với điện tích của quả cầu bởi sự tương ứng φ = Q/4πε₀εR. Mặt khác, theo định nghĩa điện dung φ = Q/C. Do đó, điện tích của quả cầu tích điện là C = 4πε₀εR. Năng lượng của tụ điện như vậy là W = Q2/2C = Q2/8πε₀εR. Khi bán kính của quả cầu tăng, năng lượng giảm: W′ = Q²/8πε₀ε(R + δR).

Do đó, năng lượng của quả cầu tụ điện, do tăng bán kính của quả cầu lên các giá trị δR, sẽ giảm đi các giá trị δR.

ΔW = W − W′ = Q² · δR / 8πε₀εR(R + δR).

Theo định luật bảo toàn năng lượng, sự thay đổi năng lượng này bằng tổng công A của lực đẩy tĩnh điện tác dụng giữa các phần tử riêng lẻ của bề mặt tích điện. Nếu F là lực tác dụng trên một đơn vị diện tích của quả cầu thì A = 4πR²F δR. Kể từ đây,

4πR²F · δR = Q² · δR / 8πε₀εR(R + δR).

Xét rằng δR ≤ R, từ đẳng thức này ta tìm được F = Q² / 32π²ε₀εR⁴.

Ý tưởng tạo ra một chuyển động tinh thần nhỏ vô hạn, được gọi là ảo, là cơ sở của phương pháp chuyển động ảo, được sử dụng trong quá trình lời giải bài toán.

10

Thông thường, các điều kiện cân bằng của một hệ thống trong tĩnh học được viết dưới dạng tổng của tất cả các lực và tổng mômen của tất cả các lực tác dụng lên mỗi điểm của hệ bằng 0. Đồng thời, các kết nối hiện có trong hệ thống (giá đỡ, thanh, ren, v.v.) đặc trưng cho lỗi xảy ra trong chúng bởi các lực phản lực. Việc cần phải tính đến phản lực khi viết điều kiện cân bằng trong trường hợp hệ thống gồm nhiều vật thể dẫn đến việc tính toán cồng kềnh. Tuy nhiên, có thể tránh xem xét hoàn toàn các lực lượng này.

Một tính chất quan trọng của phản lực là công tổng của chúng khi hệ có một độ lệch nhỏ so với vị trí cân bằng bằng 0. Tính chất này của các lực phản ứng gắn liền với định luật bảo toàn năng lượng: vì việc duy trì các kết nối ở vị trí cân bằng không đòi hỏi tiêu thụ năng lượng (các lực phản ứng được áp dụng, nhưng không có sự hiểu biết về các điểm của hệ thống), nên do hoạt động của các kết nối nên không có công hoặc thu được. Do đó, chúng ta đi đến phát biểu rằng đối với bất kỳ sai lệch nhỏ nào của hệ so với trạng thái cân bằng xảy ra thì tổng công do các phản lực thực hiện đều bằng không.

Nhưng ngoài các lực phản lực vào các điểm của hệ tác dụng và các ngoại lực. Công của chúng khi có cùng một độ dịch chuyển nhỏ so với vị trí cân bằng là bao nhiêu? Vì hệ thống đầu tiên kết thúc theo cách tương tự, nên đối với bất kỳ chuyển động nào của hệ thống đều cần phải thực hiện một số công dương. Về nguyên tắc, công này có thể được thực hiện bởi ngoại lực và phản lực liên kết. Nhưng như chúng ta đã biết, tổng công do tất cả các phản lực thực hiện bằng không. Do đó, để hệ rời khỏi trạng thái cân bằng, tổng công của các ngoại lực gây ra bất kỳ sự dịch chuyển nào xảy ra phải dương. Do đó, chúng ta có thể xây dựng các điều kiện cho việc không thể chuyển động, tức là các điều kiện cân bằng, vì yêu cầu tổng công của các ngoại lực phải không dương đối với bất kỳ chuyển động ảo nào xảy ra: $\Delta A \leq 0$.

Giả sử rằng với độ dịch chuyển $\vec{\Delta r}_1, \vec{\Delta r}_2, \dots, \vec{\Delta r}_N$ tổng công của các ngoại lực là $\Delta A_1$. Điều gì xảy ra nếu hệ thống thực hiện chuyển động $-\vec{\Delta r}_1, -\vec{\Delta r}_2, \dots, -\vec{\Delta r}_N$? Những chuyển động này phát sinh giống như những chuyển động đầu tiên; tuy nhiên, công của các ngoại lực lúc này sẽ đổi dấu: $\Delta A_2 = -\Delta A_1$. (Trong bài toán với một quả cầu, quy trình như vậy sẽ không tương ứng với lực căng, mà tương ứng với một quả cầu dốc.) Lập luận tương tự như trường hợp trước, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng bây giờ các điều kiện cân bằng có dạng $\Delta A_1 \geq 0$, tức là công của các ngoại lực sẽ không âm. Cách duy nhất để “điều hòa” hai điều kiện mâu thuẫn này là yêu cầu tổng công của các ngoại lực bằng 0 đối với bất kỳ sự dịch chuyển ảo nào của hệ khỏi vị trí cân bằng: $\Delta A = 0$.

Trong hình thức này, chúng tôi sẽ sử dụng nguyên tắc chuyển động ảo trong lời giải bài toán hơn nữa. Nó thường được xây dựng như sau:

Để cân bằng của bất kỳ hệ cơ học nào có các kết nối lý tưởng, điều cần và đủ là tổng các phần tử công tác dụng lên hệ lực đối với bất kỳ chuyển vị ảo nào xảy ra đều bằng 0.

Ý nghĩa của nguyên lý chuyển vị ảo trước hết nằm ở chỗ để tìm điều kiện cân bằng sử dụng nguyên lý này, không cần phải xét một số lượng lớn phản lực của các kết nối đảm bảo sự cân bằng của các hệ phức tạp. Không cần phải đi sâu vào cơ chế tạo ra những kết nối này. Chỉ cần có các chuyển vị cần thiết cho phép thiết lập các ràng buộc, tính tổng công tương ứng của các ngoại lực và đánh đồng nó bằng 0 là đủ.

Trường hợp đặc biệt của nguyên lý chuyển động ảo là

11

Hãy tưởng tượng rằng điểm ứng dụng trong mơ $\vec{F}$ di chuyển theo chiều dọc xuống một khoảng $\delta H$. Trong trường hợp này, tải $m$ sẽ di chuyển lên trên một khoảng $\delta h = \frac{1}{4} \delta H$ (kết quả này rất giống với Hình 1). Theo nguyên lý chuyển động ảo
$$|\vec{F}| \delta H = |\vec{mg}| \delta h = (4 |\vec{F}| - |\vec{mg}|) \delta h = 0.$$
Từ đây
$$|\vec{F}| = |\vec{mg}| / 4.$$
(Với lời giải này bài toán chúng ta đã không viết ra các điều kiện để các lực bằng nhau ở vị trí cân bằng; điều này thể hiện tính ưu việt một cách hỗn loạn của phương pháp dịch chuyển ảo.)

Vấn đề 3
Hộp K (Hình 2) chứa một cơ chế truyền động chưa được thiết kế. Khi xoay tay cầm P theo chiều dọc, vít B nâng lên nhẹ nhàng. Với một vòng quay hoàn toàn (bán kính quay $r$), vít sẽ di chuyển lên trên một khoảng $h$.
Tải trọng lớn $m$ được đặt lên vít. Cần phải tác dụng số nào vào tay cầm để giữ cho hệ thống có tải ở trạng thái cân bằng?
Giả sử rằng hệ ở trạng thái cân bằng khi tác dụng một lực có giá trị tuyệt đối bằng $f$ vào tay cầm.
Hãy tưởng tượng rằng tay cầm thực hiện một vòng quay cực nhỏ qua một góc $\delta \varphi$. Công thực hiện bởi lực $f$ bằng
$$\delta A_1 = f \frac{2\pi r}{2\pi} \delta \varphi = fr \cdot \delta \varphi.$$
Tải $m$ tăng lên độ cao $\delta h = \frac{h}{2\pi} \cdot \delta \varphi$. Buộc mg không hoạt động
$$\delta A_2 = -mg \frac{h \cdot \delta \varphi}{2\pi}.$$
Theo nguyên lý chuyển động ảo
$$\delta A_1 + \delta A_2 = fr \cdot \delta \varphi - mg \frac{h \cdot \delta \varphi}{2\pi} =$$
$$= (fr - mg \frac{h}{2\pi}) \delta \varphi = 0,$$

12

Hình 3.

chúng ta tìm thấy $f$ ở đâu:

$$f = mg \frac{h}{2\pi r}.$$

(Bằng các phương pháp thống kê chung, bài toán trong phần xem xét hoàn toàn không thể giải được, vì không biết gì về cơ chế truyền tải ẩn trong hộp.)

Vấn đề 4

Một vòng của một chuỗi chũm chọe nặng có khối lượng $m$ được đặt trên hình nón tròn thẳng chính, chiều cao của nó là $H$ và bán kính của đế là $R$ (Hình 3). Dây chuyền dao động trong mặt phẳng nằm ngang. Tìm lực căng của xích $T$.

Gọi bán kính của đường tròn tạo bởi sợi xích là $r$. Chúng ta hãy thực hiện một chuyển động ảo của chuỗi dưới dạng toàn bộ theo chiều dọc hướng xuống một khoảng $\delta H$. Độ giảm thế năng của dây chuyền bằng $mg\delta H$. Bán kính của dây xích với chuyển động như vậy tăng $\delta r$. Sự tăng bán kính của chuỗi và sự pha trộn của nó có liên quan đến hệ thức $\delta r/\delta H = R/H$.

Công của các lực căng $T$ trong quá trình chuyển động ảo được coi là của dây xích (công ảo) bằng

$$\delta A_1 = (2\pi(r + \delta r) - 2\pi r)T = 2\pi \cdot \delta r T.$$

Công ảo do trọng lực thực hiện bằng

$$\delta A_2 = -mg \cdot \delta H.$$

Từ điều kiện

$$\delta A_1 + \delta A_2 = 2\pi \cdot \delta r \cdot T - mg \cdot \delta H = 0$$

chúng tôi tìm thấy

$$T = \frac{mg}{2\pi} \frac{\delta H}{\delta r} = \frac{mgH}{2\pi R}.$$

Vấn đề 5

Có một sợi dây xích chứa $n$ các mắt xích không trọng lượng giống hệt nhau, có bản lề (Hình 4). Bỏ qua ma sát, xác định lực căng mà sợi dây nối điểm 1 và 2 sẽ chịu được nếu có một khối lượng $m$ được treo vào dây xích.

Hãy tưởng tượng rằng tải $m$ đã giảm xuống một khoảng cách $\delta h$. Từ các thông điệp của đối xứng, rõ ràng là trong trường hợp này đường chéo của mỗi liên kết được kéo dài thêm $\delta h/n$. Do đó, độ giãn ảo của sợi dây giữa điểm 1 và 2, bằng độ dịch chuyển ảo của điểm 2, cũng bằng $\delta h/n$.

Chúng ta hãy viết điều kiện để công ảo bằng 0:

$$T \cdot \delta h/n - mg \cdot \delta h = 0$$

(T là lực căng của sợi dây). Từ đây

$$T = nmg.$$

Trong các ví dụ được thảo luận ở trên, chúng tôi đã sử dụng phương pháp dịch chuyển ảo cho cơ học lời giải bài toán. Tuy nhiên, như chúng tôi đã nói, phạm vi áp dụng của phương pháp thành phố này rộng hơn. Ví dụ, công thức tính áp suất dư bên trong một bong bóng hình cầu là

$$p = \frac{4\sigma}{r}$$ - có thể dễ dàng suy ra

13

sử dụng phương pháp dịch chuyển ảo.

Để một bong bóng xà phòng có bán kính $r$ ở trạng thái cân bằng. Hãy tăng bán kính của nó lên ảo $\delta r$. Khi đó công ảo của lực dư sẽ bằng $\delta A_1 = F_{n36} \cdot \delta r = 4\pi r^2 p_{n36} \delta r$ (lực $F_{n36}$ của lực dư hướng vuông góc lên bề mặt bong bóng). công ảo của lực căng bề mặt bằng độ biến thiên năng lượng bề mặt:

$$\delta A_2 = 2\sigma \cdot 4\pi (r^2 - (r + \delta r)^2) = -16\pi \sigma r \delta r$$

(bong bóng xà phòng có hai bề mặt).

Theo nguyên lý chuyển động ảo

$$\delta A_1 + \delta A_2 = 4\pi r^2 p_{n36} \delta r - 16\pi \sigma r \delta r = 0.$$

Từ đây

$$p_{n36} = \frac{4\sigma}{r}.$$

Vấn đề 6

Hãy sử dụng phương pháp chuyển động ảo cho lời giải bài toán trên máy điện.

Một chất lỏng có hằng số điện môi $e$ được đổ vào một thùng chứa lớn hơn. Hai tấm thẳng đứng song song chạm vào bề mặt chất lỏng (Hình 5). Khoảng cách giữa các tấm $d$. Các tấm được nối với một nguồn có hiệu điện thế $U$. Chiều cao của cột $h$ giữa các bản sau khi cân bằng được thiết lập là bao nhiêu?

Ta xét hệ ở trạng thái cân bằng. Đặt kích thước của tấm là $a \times b$. Hãy thực hiện thay đổi ảo về chiều cao của cột chất lỏng bằng $\delta h$. Khi đó công của lực hấp dẫn là $\delta A_1 = -mg \cdot \delta h/2 = -\rho g hdb \cdot \delta h/2$.

(Chúng ta bỏ qua sự thay đổi khối lượng của cột chất lỏng do “rút” chất lỏng từ bình vào khoảng trống giữa các bản, vì công tương ứng của trọng lực để nâng khối lượng này lên độ cao $\delta h$ tỷ lệ với $(\delta h)^2$.)

Công của lực điện trường bằng độ biến thiên năng lượng của tụ điện tạo thành bởi các bản có độ cao cột thay đổi ảo $\delta h$:

$$\delta A_2 = \delta E = \delta \frac{CU^2}{2} = \frac{U^2}{2} \cdot \delta C$$

(kể từ $U = \text{const.}$).

Coi phần lấp đầy và phần độc lập của tụ điện là hai tụ điện mắc song song, với điện dung tổng ta thu được biểu thức

$$C = \frac{S_1}{4\pi d} + \frac{\varepsilon S_2}{4\pi d} = \frac{(a-h)b}{4\pi d} + \frac{\varepsilon hb}{4\pi d} = \frac{ab}{4\pi d} + \frac{(\varepsilon-1)hb}{4\pi d}.$$

Kể từ đây,

$$\delta C = \frac{(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{4\pi d}.$$

Như vậy,

$$\delta A_2 = \frac{U^2(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{8\pi d}.$$

Nguyên lý chuyển động ảo mang lại

$$\frac{U^2(\varepsilon-1)b \cdot \delta h}{8\pi d} - \rho g hbd \frac{\delta h}{2} = 0.$$

Từ đây

$$h = \frac{U^2(\varepsilon-1)}{4\pi gd^2}.$$

Cuối cùng, để bạn có thể kiểm tra xem mình đã thành thạo phương pháp chuyển động ảo đến mức nào, chúng tôi khuyên bạn nên giải hai bài toán:

(Cuối cùng xem trang 26)