Bài toán M641—M645; F653—F657

34

Bài toán

M641—M645; F653—F657

M641. Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Điểm M và N là trung điểm của cạnh CD và DE. Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại điểm l. Chứng minh rằng:
a) tam giác ABL và tứ giác DMLN có diện tích bằng nhau;
b) ALO=OLN=60°;
b) OLD=90°.

E. Gotman

M642. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng $a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots+2^n a_n$, trong đó mỗi số $a_k$ là 0, -1 hoặc 1 và $a_k \cdot a_{k+1}=0$ với mọi $0 \leq k \leq n-1$, và cách biểu diễn như vậy là duy nhất.

I. Chúc

M643. Các thẻ có số 1, 2, …, 32 được xếp theo thứ tự. Được phép loại bỏ số lượng thẻ dư thừa và đặt chúng giữa một số thẻ còn lại hoặc bên dưới chúng mà không làm thay đổi thứ tự của cả hai, nếu không thì tùy ý.

Hoạt động này được gọi là di chuyển. Chứng minh rằng trong 5 chuyển động có thể thực hiện được
a) sắp xếp lại các thẻ theo thứ tự ngược lại;
b) sắp xếp các thẻ theo thứ tự bất kỳ;
b) Chứng minh rằng không phải nước bài nào cũng có thể lấy được sau 4 nước đi.

V. Turchaninov

M644. a) Chứng minh rằng tồn tại một hình lồi 1980 có các cạnh có độ dài 1, 2, …, 1980, các góc có độ lớn bằng nhau.
b) Liệu 1981-gon như vậy có tồn tại không?

G. Gurevich

M645. Có ba hành lang ở tầng hầm (Hình 1; $|OA|=|OB|=|OC|=l$), tất cả các lối ra đều bị đóng. Thanh tra Warnicke và một người đại diện đang ở đó. Warnicke thay thế người đại diện nếu khoảng cách giữa họ không vượt quá $r$. Anh ta biết rằng tốc độ tối đa của người đại diện bằng một nửa tốc độ tối đa của chính anh ta. Lúc đầu, thanh tra viên đang ở điểm O và không nhìn thấy người đại diện. Làm sao

35

Varika phải hành động để đảm bảo rằng anh ta bắt được người đại diện nếu a) $r=l/3$, b) $r=l/4$, c) $*r>l/5$, d) $*r>l/7$. Bỏ qua chiều rộng của hành lang và kích thước của người. (Varika phải nghĩ ra một kế hoạch hành động sao cho dù người đại diện có biết trước thì vẫn không thể trốn thoát.)

V. Drinfeld. V. Sokolov

F653. Một số phần tử $Z$, được kết nối với pin có EMF §=10 V và điện trở trong $r=10$ kOhm, được kết nối với nguồn dòng điện bên ngoài như trong Hình 2. Đặc tính dòng điện-điện áp của mạch như vậy được thể hiện trong Hình 3. Vẽ đặc tính dòng điện-điện áp của phần tử $Z$.

V. Mozhaev

F654. Giá đỡ lớn $M$ đặt trên một chiếc bàn nhẵn. Một quả bóng khối $m$ được gắn vào giá ba chân bằng một sợi dây nhẹ có chiều dài $l$. Sợi chỉ bị lệch một góc nhỏ $\alpha$ và được thả ra (Hình 4). Vẽ đồ thị tốc độ của shativ theo thời gian. Bóng bàn có đế khung có khả năng đàn hồi tuyệt đối.

A. Zilberman

F655. Hiện nay, các cuộn dây điện từ có cuộn dây siêu dẫn được sử dụng. Những cuộn dây điện từ như vậy có thể tạo ra từ trường trong thời gian dài mà không tiêu tốn năng lượng. Tuy nhiên, nếu vì lý do nào đó mà một phần của cuộn dây điện từ mất đi đặc tính siêu dẫn thì sẽ xảy ra tai nạn. Tại khu vực này, dòng điện sẽ tỏa ra một lượng nhiệt lớn và sẽ xảy ra vụ nổ. Hãy nghĩ ra thiết bị đơn giản nhất để loại bỏ những tai nạn như vậy (đừng cố nghĩ ra bất kỳ mạch nào có rơle mở mạch - chúng sẽ không giúp ích gì).

G. Myakishev

F656. Thân xe ben hình chữ nhật được đổ đầy cát. Chiều cao của thân là $h=1$ m, chiều rộng là $d=3$ m, chiều dài là $l=6$ m. Lực nào tác dụng lên phía sau của xe ben khi xe chuyển động tự động đều và khi nó chuyển động với gia tốc $a=3$ m/s$^2$? Mật độ cát $\rho=1,5 \cdot 10^3$ kg/m$^3$, hệ số ma sát giữa các hạt cát $\mu=0,6$.

I. Slovodetsky

F657. Bán kính cong của hai bong bóng xà phòng giống hệt nhau va chạm vào nhau bằng $R$. Sau khi vách ngăn giữa các bong bóng vỡ ra, một bong bóng có bán kính $R_1$ được hình thành. Tìm áp suất khí quyển. Hệ số căng bề mặt của dung dịch xà phòng là $\sigma$.