Lời giải bài toán M596, M598, M599; F599—F603

36

M596. Cho trước một lăng kính năm cánh có đáy $A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$. Tất cả các cạnh của đáy và tất cả các đoạn $A_iB_j$ ($i, j = 1, 2, 3, 4, 5$) được bao quanh bởi màu đỏ hoặc xanh lam sao cho trong mọi tam giác có các đỉnh tại các đỉnh của lăng kính có các cạnh được bao quanh đều có hai cạnh có màu khác nhau. Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh của các đáy đều được bao quanh bằng nhau.

Hình 1.

Hình 2.

M598. Cho một mặt phẳng $P$, một điểm $P$ trên mặt phẳng này và một điểm $Q$ bên ngoài mặt phẳng $P$. Tìm tất cả các điểm $R$ trong mặt phẳng $P$ sao cho tỷ lệ $(|PQ| + |PR|)/|QR|$ là lớn nhất.

Hình 1.

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng tất cả các cạnh của đáy dưới được bao quanh bởi cùng một màu. Thật vậy, để anh ta tìm hai cạnh của đế dưới, được bao quanh bởi các màu khác nhau, sau đó ở đế dưới anh ta sẽ tìm thấy hai cạnh liền kề, được bao quanh bởi các màu khác nhau (Hình 1). Chúng ta có thể coi đây là các cạnh $A_1A_2$ và $A_2A_3$, với cạnh đầu tiên được bao quanh bởi màu đỏ và cạnh thứ hai được bao quanh bởi màu xanh lam. Từ gót của các đoạn $A_2B_k(k = 1, 2, \dots, 5)$ có ​​ít nhất ba đoạn cùng màu, ta sẽ giả sử rằng màu này là màu đỏ. Trong số ba đỉnh ở đáy trên mà các đoạn này dẫn đầu, anh ta sẽ tìm thấy hai đỉnh lân cận. Chúng tôi biểu thị chúng bằng $B_i$ và $B_j$. Rõ ràng, cạnh $B_iB_j$ phải có màu xanh lam, nếu không trong tam giác $A_2B_iB_j$ tất cả các cạnh sẽ có màu đỏ (xem Hình 1). Đoạn $A_1B_i$ cũng phải có màu xanh lam, nếu không thì tất cả các cạnh của tam giác $A_1A_2B_i$ đều có màu đỏ. Đoạn $A_1B_j$ cũng phải có màu xanh lam để tất cả các cạnh của tam giác $A_1A_2B_j$ không có màu đỏ. Nhưng trong trường hợp này, tất cả các cạnh của tam giác $A_1B_iB_j$ sẽ có màu xanh lam. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn.

Tương tự, người ta chứng minh được rằng các cạnh của đế trên có màu giống nhau.

Bây giờ giả sử rằng các cạnh của đế dưới có màu đỏ và các cạnh của đế trên có màu xanh lam. Sau đó, không quá hai đoạn màu xanh xuất hiện từ bất kỳ đỉnh nào của đáy dưới (nếu không, hai đoạn màu xanh xuất phát từ một đỉnh của đáy dưới sẽ kết thúc ở các đỉnh lân cận của đáy trên, tạo thành một tam giác với đoạn “màu xanh” nối chúng - xem Hình 2). Như vậy, trong số các đoạn $A_iB_j$ có nhiều nhất $2 \cdot 5 = 10$ màu xanh lam. Lập luận tương tự được thực hiện với các cơ sở khác cho thấy cũng không có quá mười đoạn màu đỏ. Nhưng tổng số phân đoạn $A_iB_j$, không khó để đếm, là 25 và chúng tôi nhận thấy rằng không có quá 20 phân đoạn trong số đó. Sự mâu thuẫn. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tất cả các cạnh của các đáy chung của lăng kính đều được sơn cùng một màu.

Lưu ý rằng phát biểu bài toán đối với bất kỳ lăng kính nào có số đỉnh ở đáy là số lẻ đều không đúng với lăng kính có số đỉnh chẵn ở đáy (cho một ví dụ).

A. Savin

Chúng ta biểu thị bằng $x$ khoảng cách từ điểm $P$ đến điểm $R$ và đặt $\alpha = \sqrt{QPR}$ (Hình 1). Khi đó quan hệ xác định trong quan hệ đã cho được viết như sau:

$$\frac{x + |PQ|}{\sqrt{x^2 + |PQ|^2 - 2x|PQ| \cos \alpha}}.$$

Lưu ý rằng khi $x$ được cố định, tỷ lệ này sẽ lớn nhất khi $\cos \alpha$ lớn nhất và điều này sẽ xảy ra trong trường hợp mặt phẳng $PQR$ vuông góc với mặt phẳng $P$ (Hình 2). Do đó, chúng ta có thể giả sử mặt phẳng $PQR$ vuông góc với mặt phẳng $P$ và $\angle QPR$ là góc giữa đường thẳng $PQ$ và mặt phẳng $P$.

Biểu thức (*) lớn nhất đồng thời với bình phương $\frac{(x + |PQ|)^2}{x^2 + |RQ|^2 - 2x|PQ| \cos \alpha}$ của nó. Để tìm mức tối đa của biểu thức này, chúng ta tiếp tục theo $x$:

38

F600. Trong mạch điện ở Hình 1, các công tắc lần lượt đóng và mở tại những thời điểm khi hướng trên tụ điện thứ nhất bằng 0. Vẽ đồ thị hiệu điện thế trên cuộn cảm theo thời gian.

Hình 1.

Hình 2.

F601. Trên Mặt Trăng, trong một hình trụ thẳng đứng được đóng bởi một piston nặng có argon ở nhiệt độ $T_1$.

trong đó $\vec{a}$ là gia tốc mà một người chuyển động so với mặt đất. Giải các phương trình này cùng nhau, chúng ta tìm thấy

$$a = \frac{2M}{m} g - g.$$

So với cầu thang của một người có gia tốc

$$\vec{a}' = \vec{a} + \vec{g} = \frac{2M}{m} \vec{g}.$$

O. Ovchinnikov

Khi đóng công tắc, tụ điện $C_1$ và cuộn dây tạo thành mạch tụ điện; Điện áp trên cuộn dây và tụ điện thay đổi theo thời gian theo định luật điều hòa:

$$u = U_1 \sin \omega_1 t,$$

trong đó $\omega_1 = 1/\sqrt{LC_1}$ là tần số ngưng tụ, $U_1$ là biên độ. Chu kỳ $T_1$ điện áp (và dòng điện) của tụ điện trong mạch này bằng $2\pi/\omega_1 = 2\pi/\sqrt{LC_1}$. Do đó, điện áp $u$ trở thành 0 tại thời điểm $t_1 = T_1/2 = \pi/\sqrt{LC_1}$. Lúc này cường độ dòng điện trong mạch đạt cực đại và toàn bộ năng lượng của mạch nằm trong từ trường của cuộn dây.

Khi mở công tắc nối tiếp với tụ điện $C_1$, tụ điện $C_2$ được bật và hình thành mạch tụ điện có độ tự cảm $L$ và điện dung $C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$. Điện áp trên cuộn dây trong mạch điện như vậy thay đổi theo định luật

$$u = U_2 \sin \omega_2 (t - t_1),$$

ở đâu $\omega_2 = 1/\sqrt{LC} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{LC_1 C_2}}$. Điện áp về 0 thông qua cơn mưa của thời kỳ ngưng tụ, tức là tại thời điểm

$$t_2 = t_1 + \frac{T_2}{2} = \pi \left( \sqrt{LC_1} + \sqrt{L \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}} \right).$$

Khi đó chìa khóa sẽ đóng lại, điện áp trên cuộn dây lại thay đổi theo định luật (*).

Hãy tìm sự tương ứng giữa $U_1$ và $U_2$. Tại những thời điểm khi điện áp trên tụ đạt cực đại thì dòng điện trong mạch bằng 0 và toàn bộ năng lượng tập trung vào trường năng lượng của tụ. Do đó, theo định luật bảo toàn năng lượng

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{CU_2^2}{2},$$

Ở đâu

$$U_2 = U_1 \sqrt{\frac{C_1}{C}} = U_1 \sqrt{1 + \frac{C_1}{C}}.$$

Bây giờ không khó để vẽ đồ thị điện áp trên cuộn cảm theo thời gian. Nó được thể hiện trong Hình 2.

I. Slovodetsky

Quá trình sản xuất diễn ra trên Mặt trăng nên áp lực bên ngoài có thể được chuyển hóa.

Độ biến thiên nội năng của chất khí bằng lực tác dụng lên chất khí. Lực này chính là trọng lượng của piston.