Ba tiêu chuẩn bài toán

51

IO. Matt

Ba tiêu chuẩn bài toán

Lý do của bài viết này là do học sinh đôi khi mắc phải những lỗi nghiêm trọng với lời giải tiêu chuẩn bài toán nào đó.

Bài toán 1. Giải hệ
$$\begin{cases} x^4 - 1330x - 23 = 0, \\ x^4 - 1319x - 144 = 0. \end{cases}$$

Đôi khi gợi ý “lời giải” sau: trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ nhất của hệ (1), chúng ta thu được phương trình $-11x+121=0$ và mở $x=11$. Tuy nhiên, dễ dàng nhận thấy rằng giá trị tìm được không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình nào sau đây: số hạng tự do của chúng không chia hết cho 11. Sai lầm là gì?

Vấn đề là phương trình
$$-11x+121=0,$$
có một lời giải $x=11$ duy nhất, chỉ là hệ quả của hệ (1), nó không bằng nó: thực ra mọi lời giải của hệ (1) là nghiệm của phương trình (2), nhưng không phải ngược lại. Do đó, hiện tại chúng ta chỉ có thể lựa chọn: nếu hệ (1) có lời giải thì nó là duy nhất và là nghiệm của phương trình (2). Thay $x=11$ vào hệ (1) hoặc suy luận như trên, ta đưa ra lựa chọn cuối cùng: hệ (1) không có lời giải.

Bài toán 2. Tại giá trị nào của tham số $k$ là tổng các căn bậc hai của phương trình
$$4x^2 - 28x + k = 0$$
bằng 22,5?

Obviously the same task as above:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.$$

Nếu $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình (3) thì theo định lý Vieta
$$x_1 + x_2 = 7 \text{ и } x_1x_2 = k/4.$$ Sau đó từ (4) $k=53$.

Nhưng con số này không thể được coi là đáp số bài toán 2, vì nó thu được trong mệnh đề bổ sung rằng nghiệm tồn tại, tức là phương trình (3) có lời giải. Tuy nhiên, đối với $k=53$ phân biệt của phương trình (3) $14^2-4k$ là âm còn phương trình lời giải thì không. Do đó, đáp số đúng trong bài toán 2 là “trong mọi trường hợp”.

Bài toán 3. Hàm ở điểm nào
$$y = (2+\sin x)(6-\sin x)$$

nhận giá trị lớn nhất trên trục số?

Một học sinh đã đề xuất “thanh lịch lời giải” sau đây cho bài toán này (vấn đề duy nhất là nó không chính xác):

Như đã biết, nếu một số dương cho trước phải phân tích thành hai số hạng sao cho tích của chúng rộng nhất thì các số hạng này phải được coi là giống nhau (bài toán số 501 trong SGK “Đại số và Giải tích cơ bản 9”). Từ
$$(2+\sin x) + (6-\sin x) = 8,$$

hàm (5) lấy giá trị lớn nhất trên $R$ tại $2+\sin x=6-\sin x$, tức là tại $x=2$ - vô lý! Vì vậy, học sinh này đã chọn hàm số (5) không có giá trị cực trị.

Giải bài toán này một cách tổng quát (sử dụng tùy ý), dễ dàng nhận thấy hàm (5) có các giá trị cực trị tại các điểm mà $\cos x=0$, cụ thể là $y_{\min}=7$, $y_{\max}=15$.

Lỗi trong lập luận đầu tiên là gì? Nhưng thực tế là trong bài toán 3 nó không phải về các con số, mà là về các hàm và chúng ta cần một câu lệnh khái quát hóa những điều trên, nó nghe như thế này: nếu mọi thứ về một hàm xác định $f$ có một điểm nào đó $x_0$ giá trị $\frac{c}{2}$, thì hàm đó
$$g(x) = f(x) \cdot [c-f(x)]$$
(Phần kết xem trang 60)