Đạo hàm logarit

25

Toán 10
Ghi chú này dành cho học sinh lớp mười. Nó phác thảo một số thông tin hữu ích về số e.

Đạo hàm logarit

Trong sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10” trên trang. 208 một công thức cho hàm logarit tùy ý được rút ra. Công thức này thu được ở đó bằng cách sử dụng định lý về hàm nghịch đảo tùy ý và công thức cho hàm mũ tùy ý. Trong lưu ý này, chúng ta sẽ thu được công thức cho hàm logarit không tổng hợp tùy ý - tìm giới hạn tương ứng.

Không, trước tiên chúng ta sẽ xác định
Số e

Xét đồ thị cong của hàm y = $\frac{1}{x}$, đoạn [1; t] trục Ox và các đường thẳng x=1, x=t (hình 1). Diện tích của gradient cong này là hàm của t—chúng tôi biểu thị nó bằng S(t). Hàm này trên khoảng [1; ∞] trả về và liên tục.

Chứng minh tính liên tục của hàm S(t) được ngầm ẩn trong đoạn 59 sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của giải tích 9-10”: nó cho thấy hàm S(t) khả vi; mọi hàm khả vi đều liên tục. Mặt khác, tính liên tục của S(t) có thể được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm liên tục. Hãy thử điều này.

Vì S(2)<1 (hình 2) và S(4)>1 (hình 3; $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$), nên giữa các số 2 và 4 chỉ có một số duy nhất - nó được ký hiệu bằng chữ e, sao cho S(e)=1.

Chúng ta. 200 của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10”, số e được định nghĩa khác. Có thể chứng minh rằng hai định nghĩa này là tương đương nhau.

Vì e>0 và khác 1 nên logarit cơ số e có thể được xác định. Các logarit này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là ln, nghĩa là ln a=log_e a. Vì e>1,

hàm y=ln x trên khoảng ]0; ∞[ trả về.

Hai bất đẳng thức quan trọng

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đây đúng:

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}. \quad (1)$$

Suy ra từ bất đẳng thức (1) rằng

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

(đây là cách xác định số e trong các khóa học đại học về phân tích toán học).

Thật vậy, chúng ta lấy bất kỳ số nào ε>0 và đặt N=[$\frac{e}{\epsilon}$]. Khi đó với mọi số tự nhiên n>N, bất đẳng thức sau đúng:

$$n > \frac{e}{\epsilon} \quad \text{и}$$

$$\left| \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n - e \right| = e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \left(1 + \frac{1}{n} - 1\right) < \frac{e}{n} < \epsilon.$$

Chúng ta hãy sửa bất kỳ số tự nhiên n nào, đặt q=1+$\frac{1}{n}$ và dis-

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.