Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

57

Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

Khoa Vật lý

1. Một khối bê tông nặng $m=2200$ kg được nâng đều từ một bể chứa từ độ sâu $h=11$ m bằng cần trục. Xác định công cơ học cần thiết để nâng khối lập phương này cho đến khi cạnh trên của nó chạm vào mặt nước. Mật độ bê tông $q=2200$ kg/$m^3$.
2. Một vật nặng không phải rôto được gắn vào đường kính treo cố định thẳng đứng trong ma ní. Đồng thời, tải bắt đầu dao động với tần số $v=5$ Hz. Lò xo có đường kính sẽ bị giãn ra bao nhiêu sau khi tải ngừng dao động hoàn toàn? Bỏ qua khối lượng của lò xo.
3. Điểm nằm trong mặt phẳng tiêu điểm của đường tán xạ, tiêu cự của nó là $F=10$ cm, cách trục quang chính của đường đó $a=2$ cm. Tìm vị trí ảnh của điểm này trên mặt. Bạn sẽ nhận được kết quả phân tích và đồ họa.

Khoa Toán

1. Một vật chuyển từ trạng thái nghỉ ở trạng thái cân bằng. Xác định quãng đường vật đi được trong giây thứ tám sẽ lớn hơn quãng đường vật đi được trong giây thứ ba bao nhiêu lần.
2. Một ấm điện có hai cuộn dây. Khi bạn bật một trong số chúng, nước trong ấm sẽ sôi trong $t_1=15$ phút, khi bạn bật cái còn lại - trong $t_2=30$ phút. Sẽ mất bao nhiêu phút để nước trong ấm sôi khi cả hai cuộn dây được bật song song?
   Khoa công nghiệp và sư phạm
3. Bình được đổ đầy nước nóng đến nửa bình, đóng lại và không khí bắt đầu được bơm ra khỏi bình. Mô tả những quá trình sẽ được quan sát.
4. Khi sửa chữa bộ nguồn, đường xoắn ốc của nó được rút ngắn đi 0,1 so với chiều dài ban đầu. Nguồn điện sẽ thay đổi bao nhiêu lần?
   Khoa Khoa học
5. Quả đạn phát nổ khi chạm đất $t_1=10$ giây sau khi được bắn ra. Quả đạn thứ hai phát nổ $t_2=5$ giây sau khi được bắn ra. Quả đạn thứ hai phát nổ ở độ cao bao nhiêu nếu điều kiện cần nổ không thay đổi?
6. Không khí sẽ thực hiện bao nhiêu công, có khối lượng là $m=200$ g, khi được nung nóng đẳng áp ở mức $\Lambda T=20$ K? Bao nhiêu nhiệt sẽ được truyền vào không khí? Nhiệt dung riêng của không khí ở áp suất không đổi là $c=14$ kJ/(kg K).
7. Năng lượng nào phải được tiêu thụ để giải phóng $m=1$ g đồng trong quá trình điện phân hòa tan đồng sunfat? Quá trình điện phân được thực hiện ở hướng $U=4$ V. Đương lượng điện hóa của đồng là $k=0,33$ mg/Kl. Tổn thất do sưởi ấm không được tính đến.

Đã chuẩn bị xuất bản
L. A. Viryukov

Viện kỹ thuật điện Leningrad được đặt theo tên. V. I. Ulyanova (Lênin)

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Cho hàm $f(x)=3x(x-1)^2$.
   1.1. Tìm cực trị của hàm số $f$ tại $x<1$.
   1.2. Giải bất đẳng thức $f(x)<6(x-1)$.
   1.3. Phương trình $f(x)=kx$ có bao nhiêu nghiệm khác nhau tùy thuộc vào $k$?
   1.4. Có những cặp điểm khác nhau trên đồ thị của hàm $f(x)$ đối xứng với đường thẳng tương đối $3x=1$ không?

2. Bốn ngôi làng $A, B, C$ và $D$ nằm ở đầu hình chữ nhật $8\times 10$ km (xem hình). Đề xuất kết nối chúng với mạng lưới đường theo sơ đồ nêu tại hình ($|AL|=|BL|=|CK|=|DK|$).

2.1. Chứng minh rằng tổng chiều dài của cả năm đoạn đường là $L(x)=x+2\sqrt{164-20x}+x^2$.
2.2. Tìm $x$ nếu $L(x)=24$.
2.3. Tại giá trị nào của $x$ thì tổng chiều dài của con đường là nhỏ nhất?
3. Các hàm này là $f(x)=x^2$, $g(x)=\ln x$.
3.1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $f-g$.
3.2. Giải phương trình $f(g(x))=g(f(x))$.
3.3. Với những giá trị nào của $k$ thì phương trình $f(x)=kg(x)$ có lời giải duy nhất?

Tùy chọn 2

1. Cho hàm $f(x)=\log_3(9-3^x)-1$.
   1.1. Tìm miền xác định của hàm $f$.
   1.2. Giải phương trình $f(x)=0$.
   1.3. Giải bất đẳng thức $f(x)<2x$.
   1.4. Với những giá trị nào của tham số $a$ thì phương trình $f(x)=a-x$ có ít nhất một nghiệm?
2. Tam giác đều ABC có góc $a$ ở đáy AC nội tiếp một đường tròn bán kính 1 có tâm tại điểm $O$.
   2.1. Tìm diện tích $S(a)$ của tam giác ABC.
   2.2. Hãy để $t=\text{tg}\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng $S(a)=\frac{2}{t-t^3}$.
   2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S(a)$.
   2.4. Dấu kết thúc ABC có thể áp dụng những ý nghĩa gì?
3. Trụ trao đổi 1 có bán kính đáy $R$. Hình trụ thứ hai có bán kính lớn hơn 0,1 và chiều cao lớn hơn hình trụ thứ nhất 0,2.
   3.1. Tìm $V(R)$—thể tích của hình trụ thứ hai.
   3.2. Tại cái gì $R$ kích cỡ $V(R)$ tối thiểu?

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. V. Fomin