Bài toán M976—M980; F988—F992

31

Nhiệm vụ

M976—M980; F988—F992

M976. Từ đỉnh $A$ của hình vuông $ABCD$ hai vòng được vẽ, tạo thành một góc $45^\circ$ giữa chúng. Một cạnh $BC$ tại điểm $E$, đường chéo $BD$ tại điểm $P$, mặt kia cắt cạnh $CD$ tại điểm $F$, đường chéo $BD$ tại điểm $O$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $AEF$ gấp đôi diện tích tam giác $APO$.

E. G. Gotman

M977. Có thể thu được $x$ bằng cách sử dụng các phép tính cộng, trừ và nhân từ các đa thức $f(x)$ và $g(x)$ nếu a) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2+2$; b) $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2-2$; c) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=2x$; d) $f(x)=2x^2+x$, $g(x)=x^2$.

S. I. Kublanovsky

M978. Có thể đặt hai hình tam giác đều có cạnh lớn hơn $\sqrt{2}/3$ trong một hình vuông có cạnh 1 mà không chồng lên nhau không?

E. A. Karlov, I. K. Dimitrov (Bulgaria)

M979. Đặt $k$ và $n$ là các số tự nhiên, $k \leqslant n$. Giả sử tập $k$ gồm các số dương $a_1,a_2,...,a_k$ chỉ nhỏ hơn 1 nếu đối với bất kỳ phân vùng $n=n_1+n_2+\dots+n_k$ nào của số $n$ thành các số nguyên không âm thì ít nhất một trong các số $a_i n_i$ là số nguyên ($i=1,2,...,n$).

a) Đối với $k$ và $n$ nào có bộ độc quyền?

b) Những bộ này là gì?

E. A. Gorin

M980. Một điểm $O$ được lấy bên trong một đa giác lồi, 6) một đa giác có các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$. Chứng minh rằng trong số các góc $n(n-1)/2$ $A_i O A_k$ ($i,k=1,2,...,n$) ít nhất $n-1$ có giá trị từ $90^\circ$ đến $180^\circ$.

V. G. Boltyasky

F988. Một vận động viên khúc côn cầu trượt băng trên một chiếc ván trượt. Được biết, băng tan dưới sườn núi đến độ sâu $h=0,03$ mm. Chiều rộng sườn $d=2$ mm. Tìm lực ma sát giữa ván trượt và ván trượt. Nhiệt dung riêng của băng tan là $\lambda=3,3 \cdot 10^5$ J/kg, mật độ của băng là $\rho=0,9$ g/cm$^3$. Coi độ dẫn nhiệt của nước đá là nhỏ.

M. G. Gavrilov (Cuối cùng, xem trang 34)