Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

53

Bài tập

1. Trạng thái của một khí lý tưởng thay đổi theo chu trình ABCDA, thể hiện ở hình 6. Bảng trình bày một số thông số của khí phù hợp với các điểm của chu trình.

Tùy chọn 1
(Khoa Toán và Cơ học)

1. Đối với những giá trị thực $a$ mỗi bất đẳng thức lời giải
   $(0,4)^{x^2+1} \geq (6,25)^{a-3x}$ là giải pháp cho $x^2-6x+4 < a^2$?
2. Giải phương trình
   $1+\log_{x-2}(4x-11)=2\log_{4x-11}(4x^2-19x+22)$.
3. Giải phương trình
   $2\sin x=\sqrt{4+\cos 3x}$.
4. Trong một hình thang đều ngoại tiếp một đường tròn có bán kính $R$, tỉ số giữa chiều dài cạnh bên và đáy chính là một số cho trước $k$. Tìm chiều dài nhỏ hơn đáy.
5. Hai mặt phẳng cắt được đặt đối xứng với tâm của một quả cầu có bán kính $R$. Tìm tập hợp các giá trị có thể có của các vị trí toàn bộ bề mặt của phần quả bóng nằm giữa hai mặt phẳng với diện tích bề mặt của quả bóng. Giả sử tỉ số là 7/8, hãy xác định khoảng cách từ tâm quả cầu đến mặt phẳng cắt.

Tùy chọn 2
(Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển)

1. Trong mô hình toán học về tăng trưởng kinh tế của nền kinh tế, sản phẩm của một số sản phẩm dùng để tiêu dùng và tăng trữ lượng tài sản cố định, $P$ (tiêu thụ hàng ngày sản phẩm bình quân đầu người của những người tham gia sản xuất) và $x$ (số lượng công nhân làm việc trong sản xuất) có mối quan hệ phụ thuộc hàm số
   $P=\frac{x(M-x)}{x}$,
   trong đó $M$, $b$ là các hằng số đặc trưng cho năng lực sản xuất của nền kinh tế. Đối với $M=250$, $b=8464$, xác định số lượng công nhân tương ứng với giá trị cao nhất $P$, trong một trang trại có 80, 90, 120 và 150 việc làm.

2. Giải bất đẳng thức
   $x>\log_{1/2}(4-x)+\log_{2}(6^x+(x-1)2^x)$.

3. Giải bất đẳng thức
   $2+\sin x=\frac{3(1+\cos x)}{\sin x}$.

4. Hình thang tuyến tính ở giữa được chia cho một trong các đường chéo theo tỷ lệ $k$ và chia hình thang thành hai phần, phần nhỏ hơn là diện tích $S$. Tìm diện tích của hình thang.

5. Trong một hình lục giác đều, lấy góc giữa các thanh của các cạnh bên là $\beta$ và cạnh của đáy là $a$. Tìm diện tích của phần đường chéo của hình trụ chứa tâm của đế. (Mặt cắt chéo là một phần của hình gốc bởi một mặt phẳng đi qua hai cạnh bên không nằm trên cùng một mặt.)
   Tùy chọn 3
   (Khoa Vật lý)

6. Xác định $a$ sao cho tổng bình phương của tất cả lời giải của phương trình
   $2\log_a|x-1|-\log_a x=1$
   là 34.

7. Giải bất đẳng thức
   $4x+\sqrt{(6-x)(7-3x)}>0$.

8. Giải phương trình
   $\sin^2 2x-2\cos 2x=1+4\sin^4\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

9. Trong một hình thang đều, cạnh bên là $c$ và đường chéo là $l$, chia diện tích hình thang theo tỷ lệ 3/5. Tìm các đáy của hình thang.

10. Trong một hình lục giác đều, giả sử ranh giới bên bằng góc $a$ với mặt phẳng

55

2. Trong một bình hình trụ kín đặt thẳng đứng, một piston ngăn cách hai khối khí bằng nhau. Nếu nhiệt độ của khí bằng nhau thì thể tích phần dưới nhỏ hơn thể tích phần trên của bình 3 lần. Cần thay đổi nhiệt độ của khối khí ở phía dưới bao nhiêu lần để nhiệt độ ở phía trên không đổi sao cho thể tích phần dưới nhỏ hơn thể tích phần trên 4 lần? Khí được coi là lý tưởng.

3. Số lượng pin tối thiểu có suất điện động $G=10$ V và điện trở trong $r=4$ Ohm phải được mắc song song là bao nhiêu và điện trở của jester phải là bao nhiêu để đảm bảo hoạt động của tải được thiết kế cho điện áp $U=2$ V và công suất $P=25$ W?

4. Một chùm tia laser hẹp song song truyền trong môi trường có chiết suất $n_1$ ở khoảng cách $l$ tính từ trục đi qua tâm của một quả cầu trong suốt có bán kính $R$. Chiều rộng của chùm tia nhỏ hơn nhiều so với bán kính của quả bóng. Tìm góc lệch của chùm tia so với hướng ban đầu nếu quả bóng được làm bằng chất kém đậm đặc hơn với chiết suất $n_2$.

5. Câu hỏi lý thuyết. hành động của Bohr. Sự phát xạ và hấp thụ năng lượng của nguyên tử.

Tùy chọn 2

1. Một khối có khối lượng $m_1$ nằm trên một mặt phẳng nằm ngang, trên đó có một khối có khối lượng $m_2$. thông qua một hệ thống các khối không trọng lượng, một tải trọng có khối lượng $m_3=m_1+m_2$ (hình 1) tác dụng lên chúng. Hệ số ma sát giữa các thanh là $\mu$, giữa thanh dưới và bề mặt ma sát không có hệ số. Tìm tỉ số khối lượng của các thanh chuyển động với gia tốc bằng nhau. Các sợi không co giãn và không trọng lượng.

2. Hai pít-tông trượt không ma sát bên trong một bình hình trụ nằm ngang chia thể tích của nó thành 3 phần. Ở một phần có một loại khí lý tưởng có khối lượng mol $M_1$, phần còn lại - có khối lượng mol $M_2$, ở phần thứ ba - có khối lượng mol $M_3$. Khối lượng của các chất khí lần lượt là $m_1$, $m_2$, $m_3$ và nhiệt độ của chúng lần lượt là $T_1$, $T_2$, $T_3$. Tìm mối liên hệ giữa các thể tích khí trong bình.

3. Một pin gồm nhiều pin mắc nối tiếp được nối một lần với tải có điện trở $R_1$, và lần khác được nối với tải có điện trở $R_2$. Có bao nhiêu pin được nối vào pin và sức điện động của một pin là bao nhiêu, nếu trong cả hai trường hợp, nguồn điện như nhau được giải phóng khi tải? Điện trở trong của một pin là $r$.

4. Trên hình 2 có: $A$ - một vật thể, $A'$ - ảnh của nó. Tìm vị trí của đường thẳng và tiêu điểm của nó.

5. Câu hỏi lý thuyết. Hiệu ứng ảnh.

Bài toán thi vấn đáp

Khoa Toán và Cơ học, Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển, Khoa Hóa học và Địa chất

1. Một vật rơi tự do từ độ cao $h=270$ m. Chia chiều cao này thành ba phần, sao cho mỗi phần đều có thời gian như nhau để vượt qua.

2. Dây nhả một vật có khối lượng $m_1=90$ kg khi nó được nâng thẳng đứng với một gia tốc nào đó, và một vật có khối lượng $m_2=110$ kg khi chuyển động xuống dưới với cùng gia tốc. Khối lượng tối đa mà sợi dây này có thể nâng được với vận tốc không đổi là bao nhiêu?

3. Hai quả cầu được treo trên những sợi dây mỏng song song và chạm vào nhau. Quả bóng nhỏ hơn được rút lại một góc nhất định so với vị trí ban đầu đầu tiên và được thả ra. Sau khi va chạm, hai quả bóng bay lên có độ cao như nhau. Xác định khối lượng của quả bóng nhỏ hơn nếu khối lượng của quả bóng lớn hơn là $M=0,6$ kg và va chạm là đàn hồi tuyệt đối.

4. Không khí bị mắc kẹt trong phong vũ biểu dạng cốc, khiến phong vũ biểu hiển thị $H_0=740$ mm pt trong điều kiện bình thường. Điều., và khoảng cách từ mức ruthium trong ống đến đầu bịt kín là $l_0=10$ cm (hình 3). Giá trị thực của áp suất khí quyển ở nhiệt độ $t=20$ °C là bao nhiêu, nếu trong trường hợp này phong vũ biểu hiển thị $H=730$ mm pt. Nghệ thuật.? Tránh sự mở rộng của Tellian về rutia và sự thô lỗ.

5. Một số tồn tại trong không khí trong điều kiện bình thường. Khi nhiệt độ không khí tăng $\Delta t_1=10$ °C (nhưng áp suất không đổi), trọng lượng cơ thể tăng $\Delta P_1=0,02$ N. Trọng lượng cơ thể sẽ thay đổi như thế nào khi nhiệt độ không khí tăng lên $t_2=50$ °C và áp suất tăng lên $p_2=800$ mm pt. Nghệ thuật.? Tránh mở rộng cơ thể.

6. Sau khi đun nóng bếp trong phòng, nhiệt độ tăng từ $t_1=15$ °C lên $t_2=27$ °C. Số lượng phân tử không khí trong căn phòng này đã thay đổi bao nhiêu phần trăm?

7. Hai điện trở giống hệt nhau có điện trở $R$, mỗi điện trở sẽ được kết nối với một nguồn có EMF và điện trở trong $r$, đầu tiên là song song và sau đó nối tiếp. Trong trường hợp nào điện năng tiêu thụ ở mạch ngoài lớn hơn?

8. Một vôn kế có thang đo $U=100$ V có điện trở $R=10$ kOhm. Điện trở cao nhất là bao nhiêu $R=10$ kOhm.