Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XXII

74

Olympic Toán Quốc gia lần thứ XXII

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. VAVILOV,
Tiến sĩ Vật lý và Toán học
S. V. REZNICHENKO

Giai đoạn cuối cùng của Olympic Toán học toàn Liên minh lần thứ XXII dành cho học sinh diễn ra vào tháng 4 năm 1988 tại Donetsk. 29 đội đã tham gia: 14 đội tài nguyên đồng minh, một đội từ mỗi khu trong số bốn khu vực của RSFSR, các đội từ Moscow, Leningrad, Donetsk và 8 đội từ các trường nội trú chuyên biệt tại các trường đại học hàng đầu của đất nước - tổng cộng 172 học sinh (51 học sinh lớp 8, 56 học sinh lớp chín và 65 học sinh lớp mười).

Như thường lệ, những người tham gia Olympic được tổ chức bốn vòng bài toán, với năm giờ dành cho lời giải.

Mỗi bài toán Olympic được đánh giá bằng điểm sao cho tổng số điểm trong vòng của mỗi lớp bằng ba mươi (xem Bảng 1).

Bảng 1.

Việc phân chia điểm cho Olympic được thực hiện sau khi bài làm của những người tham gia đã được kiểm tra, và do đó nó phản ánh độ khó thực sự bài toán. Tuy nhiên, những dữ liệu này chỉ khác một chút so với ước tính ban đầu của Zhorny. Bạn có thể tìm thấy cách so sánh những người tham gia với các bài toán Olympic trong Bảng 2, trong đó cho thấy số người đã giải được từng câu trong số bài toán.

Xin lưu ý rằng, rõ ràng, bài toán 7 và 8 ở lớp chín quá khó, và bài toán 1 và 5 ở lớp mười quá dễ đối với học sinh Olympic. Ở lớp tám và lớp mười, giải nhất được trao cho lời giải 7-8 bài toán, và ở lớp chín - cho lời giải 6-7 bài toán. Giải ba thuộc về một học sinh lớp 8 đạt ít nhất 29 điểm ở cả hai vòng thi, một học sinh lớp 9 đạt ít nhất 21 điểm và một học sinh lớp 10 đạt ít nhất 34 điểm. Bảng 3 cho thấy số lượng người đoạt giải ở mỗi lớp.

Ban tổ chức giai đoạn cuối của Olympic Toán học toàn Nga do người đứng đầu phòng giáo dục công cộng khu vực Donetsk, I. M. Sakhno. Đại diện danh dự của Zhorni là Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraine, Giáo sư Đại học quốc gia Moscow V.V. Gnedenko, đại diện của Zhorni là Hiệu trưởng Đại học bang Donetsk, Giáo sư V.P. Shevchenko và phó của ông là Trưởng khoa Toán của DSU, Phó Giáo sư P.M. Veliko và Phó giáo sư của Đại học quốc gia Moscow V.V. Vavilov. Thế vận hội được tổ chức trên cơ sở trường nội trú điều dưỡng số 8 và trường trung học cơ sở số 96 ở Donetsk. Những người tổ chức Olympic đã đối xử với những người tham gia Olympic và các thành viên của trường bằng sự nồng nhiệt và quan tâm sâu sắc. Rất cám ơn tất cả họ.

75

Trong thời gian rảnh rỗi, học sinh làm quen với lịch sử của Donetsk, các điểm tham quan của nó và tham dự Nhà hát Opera và Ballet Donetsk cũng như rạp xiếc. Cuộc gặp gỡ với các thành viên ban biên tập tạp chí «Kvant» thật thú vị.
Một trận chiến toán học truyền thống giữa các đội học sinh và ban giám khảo cũng đã diễn ra. Ba đội đã tham gia vào màn trình diễn sân khấu hấp dẫn này: hai đội học sinh và một đội ban giám khảo. Các nhiệm vụ lần này khá đơn giản (khoảng mức độ của phần «Kvant» cho học sinh nhỏ]), nhưng có khá nhiều (khoảng 30) và trả lời nhanh chóng. Đội học sinh do Vitaly Volgodsky dẫn đầu (Omsk, s.sh. số 99) đã giành chiến thắng, còn ban giám khảo giành vị trí thứ hai.
Dưới đây là một số bài toán của cuộc thi này.

1. Xây dựng một đường gãy khép kín hình bát giác cắt mỗi liên kết của nó một lần.
2. Cái nào lớn hơn: diện tích hình tròn viết bằng hình vuông có diện tích 1, hay diện tích hình vuông viết bằng hình tròn có diện tích 1?
3. Một cậu bé không có 12 kopeck để mua kem, và cậu bé kia không có đủ tiền để mua kem, 1 kopeck. Khi họ cộng tiền lại, hóa ra họ vẫn không có đủ tiền để mua một cây kem. Kem giá bao nhiêu?
4. Thành phố nào nằm xa hơn về phía đông: Vladivostok hay Khabarovsk? Thành phố nào nằm xa hơn về phía bắc: Moscow hay Petropavlovsk-Kamchatsky?
5. Tiếp tục trình tự:
   111, 213, 141, 516, 171,…
6. Đồng hồ đổ chuông 6 lần trong 30 giây. Mất bao lâu để họ đánh được 12 lần?
7. Dựng 7 điểm sao cho môi trường của ba điểm bất kỳ là hai, khoảng cách giữa chúng là 1 cm.
   Bây giờ chúng tôi đưa ra bài toán loại cuối cùng.
   Nhiệm vụ
   Ngày đầu tiên
   lớp 8
8. Sách gồm 30 truyện 1, 2,…, 30 trang. Truyện được in từ trang đầu tiên, mỗi truyện đều bắt đầu từ một trang mới. Số lượng câu chuyện lớn nhất có thể bắt đầu trên một trang lẻ là bao nhiêu?
9. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét hai hình tứ giác lồi mới F₁ và F₂, mỗi hình có hai đỉnh đối diện - trung điểm của các đường chéo ABCD và hai đỉnh còn lại - trung điểm của các cạnh đối diện của ABCD. Biết diện tích của tứ giác F₁ và F₂ bằng nhau. Chứng minh rằng một trong các đường chéo của tứ giác ABCD chia đôi diện tích của nó.
   A. Anjan
10. Chứng minh rằng phương trình
    x−y+z=1
    có vô số lời giải trong số các số tự nhiên phân biệt từng cặp x, y, z sao cho tích của hai số bất kỳ đều chia hết cho một phần ba.
    D. Mitkin
    4.*) Dòng đầu ghi 19 số tự nhiên không quá 88, dòng thứ hai ghi 88 số tự nhiên không quá 19. Chúng ta biết bằng phân số của một hoặc nhiều số được viết liên tiếp trên một dòng. Chứng minh rằng có thể chọn các đoạn thẳng sao cho tổng các số trong các đoạn này bằng nhau.
    A. Anjan
    lớp 9
11. Giải phương trình với số nguyên
    (1+1/m)m+1 = (1+1/1988)1988
    B. Kukushkin
12. Chứng minh rằng với các góc α, β, γ của một tam giác tùy ý,
    2(√α/α + √β/β + √γ/γ) ≤ (1/β + 1/γ)sin α +
    (1/γ + 1/α)sin β + (1/α + 1/β)sin γ.
    D. Tereshin
13. Ở trường, cần tổ chức bồi thẩm đoàn để học sinh lớp 9 A và học sinh lớp 9 B hành động đồng thời và mỗi ngày có đúng một bồi thẩm đoàn được thay thế. Học sinh mỗi lớp lần lượt ra làm giám khảo theo danh sách trong tạp chí của lớp, sau người cuối cùng trong danh sách thì người đầu tiên lại làm giám khảo. Có thể lập lịch đánh giá các cặp học sinh sao cho trong một khoảng thời gian nhất định, mỗi học sinh lớp 9 “A” được tách khỏi mỗi học sinh lớp 9 “B” một lần và sau đó cặp đầu tiên sẽ được xét xử, nếu có 29 học sinh lớp 9 “A” và 32 học sinh lớp 9 “B”?
    K. Cherass
    *) Các nhiệm vụ được đánh dấu hoa thị được bao gồm trong “Nhiệm vụ «Kvant»”.

76

4. Trên cạnh BC của tam giác phụ ABC có góc tù tại đỉnh C, chọn điểm D khác B và C. Qua điểm M nằm trong đoạn BC và khác D kẻ đường thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp S của tam giác ABC tại điểm N. Qua các điểm M, D, N vẽ đường tròn cắt đường tròn S, trừ điểm N, vẫn tại điểm P. Tìm vị trí M sao cho đoạn MP nhỏ nhất.

I. Sharyzin

lớp 10

1. Cho tam giác nhọn ABC vẽ các đường cao BD và CE. Các đường vuông góc BF và CG được thả từ đỉnh B và C xuống đường thẳng ED. Chứng minh rằng EF=DG.

S. Strukov

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$S = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$$

với điều kiện x, y, z là các số dương có tổng bình phương bằng một.

L. Kurlyandchik

3. Một đường đứt nét, tất cả các đỉnh của nó nằm trên bề mặt của khối lập phương có cạnh 2 và mỗi mắt xích bằng 3, nối hai đỉnh xa nhất của khối lập phương. Số lượng liên kết nhỏ nhất mà một đường đứt quãng có thể có là bao nhiêu?

S. Duzhin

4.* Cho n, m, k là các số tự nhiên, m ≥ n. Chứng minh rằng nếu

$$1 + 2 + ... + n = mk,$$

thì các số 1, 2, …, n có thể chia thành k nhóm sao cho tổng các số trong mỗi nhóm là m.

A. Anjan

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Chứng minh rằng mọi hình thang có cạnh a nội tiếp trong một đường tròn cho trước thì có cùng tỷ lệ đường cao và đường giữa.

V. Chinik

6.* Số 1 và 2 được viết lên bảng. Cho phép cộng các số mới như sau: nếu trên bảng có số a và b thì có thể cộng số ab+a+b. Có thể có được cách này?

a) số 13121;
b) số 12131?

A. Berzin

7. Cho các số radion x, y thỏa mãn phương trình

$$x^5 + y^5 = 2x^2y^2.$$

Chứng minh rằng 1−xy là bình phương của số radion.

V. Kukushkin

8.* Cả nước có 21 thành phố. Giao thông hàng không giữa chúng được thực hiện bởi một số công ty hàng không, mỗi hãng được kết nối theo cặp với các hãng hàng không miễn phí đến năm thành phố (trong trường hợp này, một số hãng hàng không có thể bay giữa hai thành phố). Cứ hai thành phố được kết nối bởi ít nhất một hãng hàng không miễn phí. Với số lượng hãng hàng không tối thiểu có thể thực hiện được điều này?

D. Fomin

lớp 9

5. Chứng minh rằng trong một dãy số chung $a_n = 1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n$ có vô số hợp số lẻ.

D. Mitkin

6.* Một đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ tại các điểm A và C cắt tiếp tuyến vẽ tại điểm B tương ứng tại các điểm M và N. Trong tam giác ABC vẽ đường cao BP (điểm P nằm trên cạnh AC). Chứng minh rằng đường thẳng BP là tia phân giác của góc MPN.

V. Chinik

7. Các số không âm a, d và các số dương b, c thỏa mãn điều kiện b+c ≥a+d. Giá trị nhỏ nhất mà biểu thức $\frac{b}{c+d} + \frac{c}{a+b}$ có thể có là bao nhiêu?

D. Tamarkin, D. Tereshin, A. Chernykh

8. Một bảng hình vuông có kích thước n×n chứa các số thực và tổng các số ở bất kỳ hàng và trong bất kỳ cột nào đều bằng 0. Bạn có thể thực hiện thao tác sau với bảng: bất kỳ hàng nào cũng cho phép bạn thêm vào một trong các cột và trừ khỏi một cột khác (phần tử thứ i của hàng được cộng (trừ) vào phần tử thứ i của cột; các phần tử trong hàng được đánh số từ trái sang phải, trong cột - nhìn từ trên xuống). Chứng minh rằng bằng cách sử dụng một số thao tác như vậy, bạn có thể thu được một bảng chỉ gồm các số 0.

V. Merkulov

lớp 10

5. Một đường đứt nét mở với số lượng liên kết hữu hạn được nội tiếp theo một hình parabol sao cho

77

Rằng điểm đầu của nó trùng với đỉnh của parabol và hai đường thẳng bất kỳ tạo thành đỉnh của đường đứt nét tạo thành các góc bằng nhau với tiếp tuyến của parabol tại đỉnh này. Chứng minh rằng đường đứt nét như vậy nằm ở một phía của trục parabol.

A. Borisov

6. Tại giá trị tối thiểu nào $n$ thì hệ thống
   $$\begin{cases} \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n = 0, \\ \sin x_1 + 2 \sin x_2 + \ldots + n \sin x_n = 100 \end{cases}$$
   có lời giải?

A. Azamov

7.* Chuỗi $\{a_n\}$ được cho khớp
$$a_0 = 0, a_n = P(a_{n-1}), n = 1, 2, \ldots,$$
trong đó $P(x)$ là đa thức có hệ số tự nhiên. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ và $k$ có ​​ước chung lớn nhất $d$ thì ước chung lớn nhất của các số $a_m$ và $a_k$ là $a_d$.

V. Lev

8.* Chứng minh rằng với mọi tứ diện bất đẳng thức đều đúng
$$r < \frac{ab}{2(a+b)},$$
trong đó $a, b$ là độ dài của hai cạnh giao nhau và $r$ là bán kính của quả cầu nội tiếp.

I. Sharyn