Bài toán M1131—M1140; F1143—F1147

33

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi hứa sẽ cho biết ai đã đề xuất nó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 2 năm 1989 đến địa chỉ: 103006 Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số khác nhau hoặc trong các môn học khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 11—12—88” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M1131” hoặc “F1143”. Ở cột “…địa chỉ người gửi”, vui lòng ghi riêng họ và tên của bạn. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải trong phong bì này).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết mã số trường và lớp bạn sẽ học.

Bài toán M1131 - M1135 được dự định.

Bài toán
M1131—M1140, F1143—F1147

M1131. Cho $n$ là một số tự nhiên và $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ là tập con của một tập hợp $B$ nào đó. Hãy giả sử rằng
a) mỗi bộ $A_i$ ($i=1, 2, ..., 2n+1$) chứa chính xác $2n$ phần tử;
b) mỗi bộ $A_i \cap A_j$ ($1 \leq i < j \leq 2n+1$) chứa chính xác một phần tử;
b) bất kỳ phần tử nào của tập hợp $B$ thuộc về ít nhất hai trong số tập hợp $A_i$ ($i=1, 2, ..., 2n+1$).
Với những giá trị nào của $n$, mỗi phần tử của tập hợp $B$ có thể được gán một trong các số - 0 hoặc 1 - sao cho mỗi phần tử trong tập hợp $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ chứa chính xác $n$ phần tử tương ứng với số 0?

M1132. Hàm $f$ được xác định trên tập hợp các số nguyên dương và thỏa mãn các điều kiện sau:
$$f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n),$$
$$f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n),$$
$$f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n).$$
Tìm số lượng tất cả các giá trị của $n$ mà $f(n) = n$ và $1 \leq n \leq 1988$.

M1133. Chứng minh rằng tập lời giải bất đẳng thức
$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

là tập các khoảng rời nhau có tổng độ dài là 1988.

M1134. Đặt $AD$ là chiều cao trong tam giác vuông $ABC$, $\angle A = 90^\circ$. Một đường thẳng đi qua tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ và $ACD$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại các điểm $K$ và $L$. Chứng minh bất đẳng thức $S_{ABC} \geq 2S_{AKL}$.

M1135. Đặt $a$ và $b$ là số nguyên dương sao cho $a^2 + b^2$ chia hết cho $ab + 1$ không có số dư. Chứng minh rằng $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ là bình phương của một số nguyên.

M1136*. Chứng minh bất đẳng thức cho số không âm $A, M, S$
$$3 + (A + M + S) + \left(\frac{1}{A} + \frac{1}{M} + \frac{1}{S}\right) + \left(\frac{A}{M} + \frac{M}{S} + \frac{S}{A}\right) \geq \frac{3(A + 1)(M + 1)(S + 1)}{AMS + 1}.$$

D. P. Mavlo

Tác giả dành tặng bài toán này cho lễ kỷ niệm 100 năm thành lập Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ (AMS), được tổ chức vào năm nay.

M1137. Trong một $n$-giác lồi, tất cả các góc đều bằng nhau và từ một điểm nhất định nằm bên trong $n$-giác, tất cả các cạnh của nó đều có thể nhìn thấy được ở các góc bằng nhau. Chứng minh rằng $n$-gon này là chính quy.

K. P. Kohas

34

M1138*. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ nằm giữa các số $n^2$ và $n^2+n+3\sqrt{n}$ đều có ba số tự nhiên, tích của hai số đó chia hết cho một phần ba.

L. D. Kurlyandchik

M1139. a) Bề mặt của khối đa diện lồi có thể cắt thành nhiều hình vuông. Chứng minh rằng khối đa diện này có nhiều nhất 8 đỉnh.
6) Số đỉnh tối đa mà một khối đa diện lồi có thể có là bao nhiêu, bề mặt của nó có thể cắt thành các hình tam giác đều?

V. E. Matizen

M1140. Hãy vẽ một hoặc nhiều đường cong giao nhau trên mặt phẳng (các đường cong có thể có các điểm tự giao nhau, hình 1). Tại mỗi điểm giao nhau, bạn có thể thực hiện “tái tạo” theo một số cách (hình2). Nếu bạn thực hiện tái cấu trúc tại tất cả các điểm giao nhau, bạn sẽ nhận được một số đường cong giao nhau (hình 3).
a) Chứng minh rằng số đường cong giao nhau thu được không lớn hơn số vùng mà các đường cong ban đầu chia mặt phẳng (có 7 vùng như vậy trong hình 1).
6) Có phải luôn luôn có thể sắp xếp lại để kết quả là một đường cong?
c) Chọn hướng di chuyển trên mỗi đường cong và điều chỉnh theo hướng này sao cho các mũi tên “đẩy” nhau (hình 4). Kết quả có thể là một đường cong duy nhất?

S. L. Tabachnikov

F1143. Có một số lượng rất lớn các bình hình trụ đựng nước, được nhúng vào nhau sao cho mỗi bình tiếp theo nổi trong giới hạn. Diện tích đáy của bình nhỏ nhất là $s_0$ và nhỏ hơn nhiều so với diện tích đáy của bình lớn nhất. Bình nhỏ nhất phải có thể tích nước $v_0$. Con tàu này sẽ đi xuống bao xa so với mặt đất? (Sau khi thêm nước, tất cả các bình tiếp tục nổi.)
G. V. Grigoriev

F1144. Có $N$ quả bóng bi-a giống hệt nhau trên máy bay. Một quả bóng được đẩy và sau khi trải qua nhiều lần va chạm, nó dừng lại ở điểm bắt đầu chuyển động. Điều này có thể thực hiện được ở mức tối thiểu $N$ nào? Các va chạm được coi là đàn hồi tuyệt đối.

A. A. Belopolsky

F1145. Một đầu của một sợi chỉ không trọng lượng không thể giãn được luồn qua một hạt nhỏ có khối lượng $m$ được cố định tại điểm $A$, còn đầu kia được buộc vào một vòng không trọng lượng có thể trượt tự do dọc theo một thanh nằm ngang (hình 5). Tại thời điểm ban đầu, hạt được giữ ở vòng, sợi chỉ thẳng và không bị giãn. Hạt được giải phóng. Tìm vận tốc của hạt tại thời điểm sợi chỉ bị đứt, biết sợi chỉ có thể chịu được lực căng cực đại $T_0$. Chiều dài sợi $L$, khoảng cách