Задачи М1131—М1140; Ф1143—Ф1147

33

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формирования задачи мы обещаю указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправить не позднее 1 февраля 1989 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Решения задачи из разных номеров или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 11—12—88» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1131» или «Ф1143». В графе «… адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указываать номер школьи и класс, в котором выучитесь.

Задачи M1131 — M1135 предназначены.

Задачи
M1131—M1140, Ф1143—Ф1147

M1131. Пусть $n$ — натуральное число и $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ подмножества некоторого множества $B$. Предположим, что
a) каждое множество $A_i$ ($i=1, 2, ..., 2n+1$) содержитровно $2n$ элементов;
b) каждое множество $A_i \cap A_j$ ($1 \leq i < j \leq 2n+1$) содержитровно один элемент;
b) любой элемент множества $B$ принадлежит не менее чем двум из множества $A_i$ ($i=1, 2, ..., 2n+1$).
Для каких значений $n$ можно поставить в соответствии каждому элементу множества $B$ одно из чисел — 0 или 1 — так, чтобы каждое из множества $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ содержалоровно $n$ элементов, соответствующих числу 0?

M1132. Функция $f$ определяна на множестве целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям:
$$f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n),$$
$$f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n),$$
$$f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n).$$
Найдите число всех таких значений $n$, для которых $f(n) = n$ и $1 \leq n \leq 1988$.

M1133. Докажите, что множество решений неравенства
$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

является объединением непересекающихся промежутков, сумма длины которых равна 1988.

M1134. Пусть $AD$ — высота в прямой гольном треугольнике $ABC$, $\angle A = 90^\circ$. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольника $ABD$ и $ACD$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите неравенство $S_{ABC} \geq 2S_{AKL}$.

M1135. Пусть $a$ и $b$ — целые положительные числа, что $a^2 + b^2$ делится на $ab + 1$ без остатка. Докажите, что $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ — квадрат целого числа.

M1136*. Докажите для неотрицательных чисел $A, M, S$ неравенство
$$3 + (A + M + S) + \left(\frac{1}{A} + \frac{1}{M} + \frac{1}{S}\right) + \left(\frac{A}{M} + \frac{M}{S} + \frac{S}{A}\right) \geq \frac{3(A + 1)(M + 1)(S + 1)}{AMS + 1}.$$

Д. П. Мавло

Эту задачу автор посвятил 100-летию Американского математического общества (American Mathematical Society — AMS), которое отмечается в этом году.

M1137. В выпуклом $n$-угольнике все углы равны и из некоторой точки, расположенной внутри $n$-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что этот $n$-угольник правильный.

К. П. Кохас

34

М1138*. Докажите, что для любого натурального $n$ между числами $n^2$ и $n^2+n+3\sqrt{n}$ найдется три натуральных числа, произведение двух из которых делится на треть.

Л. Д. Курляндчик

М1139. a) Поверхность выпуклого многогранника можно разрезать на несколько квадратов. Докажите, что у этого многогранника не больше 8 вершин.
6) Какое наиболее число вершин может иметь выпуклый многогранник, поверхность которого можно разрезать на правильные треугольники?

В. Э. Матизен

M1140. Нарисуем на плоскости одну или несколько пересекающихся кривых (кривые могут иметь точки самопересечения, рис. 1). В каждой точке пересечения можно думя способами выполнить «перестройку» (рис. 2). Если проделать перестройку во всех точках пересечения, то получится несколько пересекающихся кривых (рис. 3).
a) Докажите, что число пересекающихся кривых, которые могут получиться, не больше числа области, на которых делили плоскость исходные кривые (на рисунке 1 таких области 7).
6) Всегда ли можно сделать перестройки так, чтобы в результате получалась одна кривая?
в) Выберем на каждой кривой направление обхода и будем производить перестройки в соответствии с этим направлениями так, чтобы стрелки «отталкивались» друг от друга (рис. 4). Может ли в результате получаться одна кривая?

С. Л. Табачников

Ф1143. Имеется очень большое количество цилиндрических сосудов с водой, погруженных один в другой так, что каждый следующий плавает в пределыщем. Площадь дна самого маленького сосуда равна $s_0$ и много меньше площади дна самого большого. В самый маленький сосуд должен объем воды $v_0$. На сколько опустится этот сосуд относительно земли? (После долива воды все сосуды продолжают плавать.)
Г. В. Григорьев

Ф1144. На плоскости расположено $N$ одинаковых бильярных шаров. Один шар толкнул, и, испытав несколько соударений, он остановился в той же точке, из которого начал движение. При каком минимальном $N$ это возможно? Соударения считать абсолютино упругими.

А. А. Белопольский

Ф1145. Один конец нерастяжимой невесомой нити, продетой через маленькую бисинку массой $m$, закреплен в точке $A$, а другой привязан к невесомому колццу, которое может свободно скользить вдоль горизонтального стержня (рис. 5). В начальной момент бисинку удерживает у колца, нить прямолинейна и не натянута. Бисинку отпускают. Найти скорость бисинки в момент разрыва нити, если известно, что нить выдерживает максимальное натяжение $T_0$. Длина нити $L$, расстоя-