Гармонические колебания

64

Гармоничские колебания

Кандидат физико-математических наук
Е. Е. ГОРОДЕЦКИЙ

Механизм возникновения свободных гармоничских колебаний в любой механической системе всегда один и тот же. Это появление возникло с целью отложения системы от положения устойчивого равновесия. В этой статье речь пойдет только о гармоничских колебаниях. Хотя природа возникла ссылая в каждом конкретном случае может быть своей, уравнения движения, описывающие колебания, одинаковы.

Вольщинство задач на колебания выглядают примерно так. Дана некоторая система, которая может совершать колебания около своего положения.

ная равновесия. Известен способ возникления колебаний, т. е. заданы начальные условия. Вопрос первый: найти частоту (или период) колебаний. Вопрос второй: найти их амплитуду и начальное фазу и записать зависимость колеблощейся величины от времени. Вопрос третий: найти, через какое время (или какую долю периода) колеблощаяся величина принимает заданное значение. Ответы на эти вопросы проиллюстрируем нахождение известном примере приложенного матрика. Задно формулируем общий алгоритм решения задач такого типа.

Задча 1. Дана система, изображенная на рисунке 1. Масса тела m, жесткость пружины k. Тело местили из положения равновесия правого на величины x₀ и толкнуты влево, сообщив ему скорость v₀. Найдите частоту, амплитуду и начальное фазу колебаний. Треня нет.

Запишем для тела второй закон Ньютона в проекциях на ось X:

65

$$F_{\text{упр}} = ma,$$
где $F_{\text{упр}}$ — сила упругости, действующая на тело со стороны пружины, $a$ —ускорение тела. Если отклонение тела от положения равновесия в произвольный момент времени $t$ равно $x$, то по закону Гука $F_{\text{упр}} = -kx$. Ускорение тела по определенному второй произвольной координаты по времени: $a = x''$. Тепер уравнение двijеки тела можно записать в виде $mx'' + kx = 0$.

Это уравнение, впрочем как и уравнение любых других колебаний, представляется собой сумму двух членов: один из них включает неизвестную функцию времени (в данном случае $x$), а другой — вторую произвольную этой функцию по времени ($x''$).

Как известно, решением такого уравнения является гармоничская функция

$$x = x_m \sin(\omega t + \varphi_0).$$

Здесь $x_m$ — амплитуда, $\omega$ — частота (точнее — циклическая частота), $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний. Неосредственной подстановкой решения в уравнение легко найти частоту колебаний:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Заметим (и это очень важно), что полученный ответ является частным случаем обшено правила. Оно состоит в следующем. Если уравнение колебаний получено, то квадрат частоты колебаний равен отношению коэффициента при неизвестной функции (в данном случае $x(t))$ к коэффициенту при второй произвольной этой функции по времени ($x''(t))$.

А как же амплитуд $x_m$ и начальная фаза $\varphi_0$? Для определения этих величины давайте снова вернемся к условия: тело сместили на $x_0$ вправо и толкнул со скоростью $v_0$лево. Здесь

$$\text{Puc. 1.}$$

речь идет о том, как именно возбудили колебания, т. е. о начальных условиях. В различных задачах они могут быть заданы по-разному, но смысл их всегда один и тот же: для начального момента времени заданы конкретные значения каких-то величины. В нашем случае заданы значения смесиния тела и его скорости (точнее — проекции скорости на ось $X$):

при $t = 0$ $x = x_0$ и $v = -v_0$.

Так как зависимости смесиния от времени нам уже известна:

$$x = x_m \sin(\omega t + \varphi_0),$$

нетрудно найти и скорость:

$$v = x' = x_m \omega \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Положим в этих выражениях $t = 0$:

$$x_0 = x_m \sin \varphi_0,$$

$$-\frac{v_0}{\omega} = x_m \cos \varphi_0.$$

Это два уравнения с двумя неизвестными: $x_m$ и $\varphi_0$. Поделив одно уравнение на другое, получим

$$tg \varphi_0 = -\frac{x_0 \omega}{v_0},$$

или

$$\varphi_0 = \arctg \left(-\frac{x_0}{v_0} \sqrt{\frac{k}{m}}\right).$$

Возведя оба уравнения в квадрат и сложив, найдем

$$x_m^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2},$$

или

$$x_m = \sqrt{x_0^2 + \frac{mv_0^2}{k}}.$$

Задча 2. Телу наружение (см. задачу 1), находящемуся в положении равновесия, сообщили направленнуюправо скорость $v_0$. Найдите: а) через какую часть перiodа потенциальная энергия системы впервые станет в три раза больше кинетической, б) через какое время скорость тела впервые обратится в поль.

a) При колебаниях тела наружне система обладает запасом потенциальной энергии уравнений

$$W_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{kx_m^2 \sin^2(\omega t + \varphi_0)}{2}$$

и кинетической энергии

$$W_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{mx_m^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \varphi_0)}{2}.$$

В искомый момент $t$

67

В положении равновесия глубина порружения тела в воду $l_0$ определяется равенством силы тяжестии $mg$ и выталкивающей силы $F = \rho_B Sl_0 g$ (здесь $\rho_B$ — плотность воды):

$$mg = \rho_B Sl_0 g.$$

При колебаниях, например в момент, когда глубина порружения тела равна $l_0 + y$, второй закон Ньютона записьвается в виде:

$$mg - \rho_B S(l_0 + y)g = ma,$$

где $a = y''$. Вычитая из второго уравнения первое, получаем

$$- \rho_B Sgy = my''.$$

или

$$y'' + \frac{\rho_B Sg}{m} y = 0.$$

Это — уже знакомое вам уравнение колебаний. Его решение имеет вид:

$$y = y_m \sin(\omega t + \varphi_0),$$

где $\omega = \sqrt{\frac{\rho_B Sg}{m}}$.

Для определения амплитуды и начальной фазы обратимся к начальному условиям:

при $t = 0$ $y = 0$ и $v = v_0$.

Так как $v = y' = y_m \omega \cos(\omega t + \varphi_0)$, получаем

$$y_m \sin \varphi_0 = 0$$ и $y_m \omega \cos \varphi_0 = v_0$.

Отсюда

$$\varphi_0 = 0$$ и $y_m = \frac{v_0}{\omega} = v_0 \sqrt{\frac{m}{\rho_B Sg}}$.

Задача 5. Цилиндрический способ с газом закрыт поршнем массой $m$ и площадью поперечного сечения $S$ (рис. 4). В равновесии поршень находится на высоте $l$ от дна сосуда. В какой-то момент поршень смешают из положения равновесия вниз на величины $h_0$ и отпускают. Определите частоту, начальное фазу и амплитуду колебаний:

$$\omega = \sqrt{\frac{mg + p_a S}{ml}},$$

$\varphi_0 = \frac{\pi}{2},$ $y_m = h_0$.

Задача 6. Найдите частоту колебаний жидкости, наилтой в U-образную трубку (рис. 5). Масса жидкости $m$, плотность $\rho$, площадь сечения трубки $S$.

Здесь проще всего воспользоваться энергетическими соображениями.