О плоских кривых

Квант 1988, №11-12 с. 59, 61, 62, 63 Тег I9CG

О ПЛОСКИХ КРИВЫХ

Кандидат физико-математических наук
С. Л. ТАВАЧНИКОВ

Точки самопересечения,
двойные касательные и точки
перегиба

Бросьте на стол длинуную вервочную
петлю, и она образует замкнутую кривую. Такие кривые — наш основной
предмет исследования.

Точки, в которых кривая пересекает себя, называются точками самопересечения. Например, у «восьмерки» такая точка одна, а у окружности их нет. Двойной касательной называется такая прямая, которая касается кривой дважды. Двойные касательные бывают двух видов: внешние, если небольшие кусочки кривых в точках касания лежат по одному сторону от касательной, и внутренние — если по разные стороны (рис. 1). Все кривая вовсе не должна лежать по одному сторону внешней двойной касательной — этим свойством обладают лишь ее малые участки.

Нас будут интересовать еще точки перегиба кривой. Представим, что мы движемся по кривой и поворачиваем, например, влево — красный участок на рисунке 2. В некоторых точке направление поворота может измениться — синий участок. Эта точка, граничная между синим и красным участком, и называется точкой перегиба. Если у кривой нет точек перегиба, то она все время поворачивается в одному сторону (рис. 3).

Обойдем кривую, раскрашивая ее в два цвета, как на рисунке 2, и вернемся в исходную точку. Красные и синее участки чередуются, поэтому тех и других равное число. Количество точки перегиба равно общему числу красных и синих участков, т. е. четно. Мы докажали первый теорему о плоских замкнутых кривых:

число точек перегиба четно.

проходим дважды. Чтобы подсчитать вклад двойных касательных, разобем их общее число на три слагаемых в соответствии с рисунком 7. Вклад двойных касательных за обход окакется равным $2(p_1+2p_2)-2(q_1+2q_2)$ . После обход число точек пересечения луча с кривой не изменилось, поэтому
$-r-2n+2p_1+4p_2-2q_1-4q_2=0.$
Obойdem теперь кривую в противоположном направлении. При этом стрелки на рисунке 7 помещают направления, т. е. числа $p_2$ и $p_3$ , $q_2$ и $q_3$ помещаются местами. Мы получим уравнение
$-r-2n+2p_1+4p_3-2q_1-4q_3=0.$
Для доказательства теоремы остается сложить два полученные равенства и результат разделить на 4.
Эта теорема содержит необходимые условия того, что числа $p, q, r$ и $n$ равны числам внешних и внутренних двойных касательных, точек перегиба и двойных точек плоской кривой. А как обстоит дело с достаточно?
Пусть у кривой нет ни двойных точек, ни точек перегиба, т. е. $r=n=0$ . тогда кривая выпуклая, и у нее нет также и двойных касательных. Однако равенство $p=q+r/2+n$ не запрещает равных положительных $p$ и $q$ . Значит, условия теоремы не являются достаточно.
Тем не менее, это условие становится достаточно, когда у кривой есть точки перегиба:
если $r$ — четное положительное число $p=q+r/2+n$ , то существует замкнутая плоская кривая с данными $p, q, r, n$ .
Случай кривых без точки перегиба более сложный:
если $r=0$ , то число внутренних двойных касательных $q$ четно и $q \leqslant (2n+1)(n-1)$ ;
если $q \leqslant n(n-1)$ и $p=q+n$ , то существует замкнутая плоская кривая $c=r=0$ и данными $p, q, n$ .
Доказательства этих теорем выходит за рамки статьи. Сами результаты довольно «свежие» — они получены американским математиком Б. Гальперном около 10 лет назад. А основная теорема этого пункта до-

казана датским математиком Ф. Фабрициусом-Бьерре в 1962 году.

У правания
3. Придумайте кривую, у которой $p=3$ , $q=0$ , $r=2$ , $n=2$ .
4. Дана точка, не лежащая на плоской кривой. Доказите, что число касательных, проведенных через эту точку, четно. Подсказка: проведем прямую через точку и будем ее поворачивать.
5. Даны две плоские кривы. Пусть $p$ — число их общих внутренних двойных касательных, а $q$ — число внешних двойных касательных, $n$ — число точек пересечения кривых. Доказите, что $p=q+n$ .

Число врашення кривой
Обойдем плоскую кривой и вернемся в начальну точку. Во время обхода касательный вектор как-то поворачивая и в конце вернулся в исходное положение. Значит, касательный вектор совершил целое число поворотов. Это (неотрицательное целое) число называется числом врашення кривой. Например, число врашення окружности равно 1, а число врашення восмьерки равно нулю.

У правание 6. Чему равны числа врашення кривых из упражнения 1?

При неперивном изменении кривой число врашення не меняется. Действительно, при маломшевлении число врашення может измениться только мало. Но число врашення целое, а целое число может измениться лишь скачком. Поэтому при неперивном изменении кривой число врашення вообше не изменяется. Это свойство можно использовать при вычислении числа врашення. Например, кривую на рисунке 8 можно «раздуть» в окружность, поэтому ее число врашення также же, как у окружности, т. е. 1.

Доказанная теорема достаточно необходимый признак того, что одну кривую можно деформировать в другую: их числа врашення должны быть равны. И здесь снова встает вопрос о достаточно: верно ли, что если числа врашення равны, то кривые можно деформировать друг в друга? Ответ на этот вопрос положительный, но мы не будем этого доказать.*)

*) См., например, статью C. В. Матвеева «Расправление контуров на плоскости» («Квант», 1983, № 4).

Упражнения
7. Чему равно число врашення кривой без двойных точек?
8. Докажите, что если число врашення кривой равно нулю, то у кривой есть точки перегиба.

Существует другой способ, который почти автоматически приводит к вычислению числа врашення кривой. Выберем на кривой направление и сделаем в каждой двойной точке «перегіруку», как изобразено на рисунке 9. Кривая распадается на несколько непересекающихся кривых (рис. 10). Подсчитаем число таких кривых, ориентированных по и против часовой стрелке, и найдем модуль разности этих двух чисел. Это и есть число врашення исходной кривой. Например, для кривой на рисунке 10 число врашення равно 2—1=1.

Мы определили число врашення и показали, как его вычислять. А как оно связано с числом двойных точек кривой? Что бы ответить на этот вопрос, заметим, что каждая перегірука увеличивает число кривых на рисунке не больше чем на 1. Поэтому если у исходной кривой было n двойных точек, то в конце получится не более n+1 кривых. Итак,

число врашення не превозходит числа ее двойных точек плоск 1.
Это неравенство получено знаменитым американским математиком X. Уитни.

Упражнение 9. Докажите следующую теорему:
число врашення кривой имеет ту же четность, что и число ее двойных точек плоск 1.

Степень кривой относительно точки
Поская кривая делит плоскость на части. Возьмем точку O в одной из этих частей. Пусть точка A обходит кривую; будем следить за лучом OA. Когда точка A вернется в исходное положение, луч OA совершит целое число оборотов. Это (неотрицательное целое) число называется степень кривой относительно точки O. Если точка O перемещается по плоскости, не попадая на кривую, то степень не меняется. Если точка «перерыгивает» через кривую, степень может измениться.

Применение перестроек из предыдущего пункта позволяет вычислять и степень кривой относительно точки. Делается это так же, как при вычислении числа врашения; — после перестроек кривая распадается на несколько непересекающихся кривых, а затем подсчитывает число этих кривых, содержащих внутри точку O и ориентированных по и против часовой стрелки. Модуль разности этих двух чисел и есть степень кривой. На рисунке 10 в каждой из частей, на котором написано нечетное значение степени (рис. 12). Пусть есть еще одна кривая, пересекающая данную. Эта вторая кривая тоже оказывается окрашенной в два цвета, причем сине и красные участки на ней чередутся. Значит, тех и других равное число. Точки пересечения кривых разделяют разноцветные участки, поэтому их столбко, сколько тех и других вместе. Следовательно,

число точки пересечения двух замкнутых плоских кривых четно.

Эта последняя теорема возвращает нас к началу статии, где мы доказали четность числа точек перегиба. кривая нашего рассказа замкнулась и нам поаставить точку.

Упражнение 11. Занумерум произвольным образом точки самопересечения кривой. Будем обходить кривую, записываем номер двойных точек в том порядке, в котором они встречаются при обходе. Например, кривым на рисунке 13 ответают последовательности 123123 и 112233. В каждой подбонной последовательности каждое число встречается дважды. Докажите, что между любыми двумя одинаковыми числами стоит четное число член последовательности (теорема Гаусса).

Подсказка: сделайте одну перестроку и воспользоваться последней теоремой.